2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省沧州市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）‎ A．420人 B．480人 C．840人 D．960人 ‎【答案】C ‎【解析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，‎ 又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.‎ ‎2．已知命题，总有，则为( )‎ A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】B ‎【解析】由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题，总有的否定为：，使得，故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基础题型.‎ ‎3．有以下五组变量：‎ ‎①某商品的销售价格与销售量；‎ ‎②学生的学籍号与学生的数学成绩；‎ ‎③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；‎ ‎④气温与冷饮销售量；‎ ‎⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量.‎ 其中两个变量成正相关的是（ ）‎ A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正相关的定义即可逐一判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①销售价格越高，销售量通常会越低，所以不是正相关，故①错；‎ ‎②学生的成绩与学号无关，故②错；‎ ‎③医学证明不吃早餐的人容易患胃病，因此吃早餐和患胃病之间是负相关，故③错；‎ ‎④气温越高，冷饮销量越高，故是正相关，所以④正确；‎ ‎⑤电瓶车越重，耗电量越大，所以是正相关，故⑤正确，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查正相关的定义，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎4．点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为3，则点到轴的距离为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据抛物线的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，设，由抛物线的方程得，所以，所以，所以点到轴的距离为，故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义，熟记定义即可求解，属于基础题型.‎ ‎5．管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得到下面的茎叶图：‎ 由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可得：，‎ 所以，‎ ‎,‎ 所以，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方差，熟记公式即可，也可根据茎叶图的特征判断，属于基础题型.‎ ‎6．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，‎ 又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定a,b的比值，进而可确定双曲线的方程，属于基础题型.‎ ‎7．为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：‎ 语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计 男生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 女生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 经过计算，，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 B．有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 C．有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系 ‎【答案】C ‎【解析】先计算出的观测值，结合临界值表即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，的观测值，‎ 所以有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎8．定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件，‎ 所以恰好为“凸数”的概率为.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎9．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离，再与实轴比较大小，列出不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为，‎ 所以焦点到渐近线的距离为，整理得：，‎ 故.‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型.‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，如图输出的的值为2，则判断框中的条件可能是（ ）‎ A．？ B．？ C．？ D．？‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 第一步：由初始值得：；继续执行循环；‎ 第二步：，，此时，结束循环，故判断框中应填？‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.‎ ‎11．若函数在上有极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在上有实根，分类讨论即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由函数在上有极值点，‎ 可得在上有实根，‎ 又恒成立，所以方程必有实根，由得函数过点,‎ 所以当时，函数开口向下，对称轴在轴左侧，故此时与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;‎ 当时，与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;‎ 当时，函数开口向上， 又函数过点，所以无论对称轴在轴的任何一侧，都能满足函数与轴正半轴有交点，即方程在上有实根；‎ 综上，实数的取值范围是：‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.‎ ‎12．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先设，，三点坐标，由 ，，三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中线可表示出的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设，，，因为，，三点的横坐标依次成等差数列，‎ 所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，‎ 因为，在抛物线上，‎ 所以有，两式作差可得,‎ 所以,‎ 所以直线的方程为，即，‎ 由得：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故.‎ 故选Ｄ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及题中条件即可求解，属于常考题型．‎ 二、填空题 ‎13．函数，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，是的外角平分线，‎ 所以，所以，又，所以，‎ 又由椭圆的方程可得：，‎ 所以的周长为.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.‎ ‎15．如图，边长为的正三角形内接于圆，点为弧上任意一点，则的面积大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，点由点向点移动的过程中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的边长为，所以的高为设外接圆的半径为，则，所以，,所以点到的距离为，过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，所以点由点向点移动过程中，的面积越来越大；点由点向点移动过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点由点向点移动，所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比.‎ 因，所以的面积大于的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题型.‎ ‎16．已知函数，其图象上存在两点，‎ ‎，在这两点处的切线都与轴平行，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，即是在上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，由函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根；即直线与曲线在上有两个不同交点.‎ 因，由得，由得;‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以有最小值；又，当时，，‎ 所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．命题：实数满足集合，：实数满足集合.‎ ‎（Ⅰ）若，为真命题，求集合，；‎ ‎（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）分别解和，即可求出结果；‎ ‎（2）由是成立的充分不必要条件，可得是的真子集，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，∴.‎ ‎∴.‎ 由，解得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵是成立的充分不必要条件，∴.‎ ‎∴解得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由命题的真假求对应的集合，以及根据集合之间的关系求参数范围，属于基础题型.‎ ‎18．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：‎ 年份 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 补贴额亿元 ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎8‎ 粮食产量万亿吨 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎21‎ ‎（Ⅰ）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【解析】（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；‎ ‎（2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知数据，可得，‎ ‎.‎ 代入公式，经计算，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求关于的线性回归直线方程为.‎ ‎（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.‎ ‎∴2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.‎ ‎19．某校高二（20）班共50名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：，，，，，，，绘制出频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数；‎ ‎（2）已知成绩为104分或105分的同学共有3人，现从成绩在中的同学中任选2人，则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数）‎ ‎【答案】（1）中位数为114，平均数为114.32（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和即可求出平均数；‎ ‎（Ⅱ）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为104分或105分的同学和成绩为106分、107分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图，知，‎ 所以学生成绩的中位数为.‎ 平均数为 ‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以成绩在之间的学生共有6人.‎ 设成绩为104分、105分的学生为，，，成绩为106分、107分的学生为，，‎ ‎.‎ 从6人中任选2人，共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，其中恰好2人都不低于106分的有，，共3种情况，‎ 所以从成绩在中的同学中任选2人，则恰好2人成绩都不低于106分的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、平均数的问题以及古典概型的概率计算公式的问题；频率分布直方图中的中位数两边概率之和相等，根据每组的中间值乘该组的频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型.‎ ‎20．已知曲线.‎ ‎（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；‎ ‎（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；‎ ‎（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ ‎，解得或.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴切线方程为或，‎ 即或.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴当时，切线的斜率取得最大值1，此时，‎ 即点坐标为.‎ 由题意，设，（，），则直线的方程为.‎ ‎∴.‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当，即时取“”号.‎ 将代入，解得，.‎ ‎∴直线的方程为，即时，面积的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.‎ ‎21．已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）直线必过轴上一定点，并求出定点坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】（1）可由题中条件，以及a,b,c三者之间关系可求出a,b的值，进而可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，即可证明；‎ 再表示出直线的方程，即可求出定点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（方法1）由题知，椭圆的两个焦点坐标为，，‎ 根据椭圆定义，可得 ，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（方法2）由题，可得解得 ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明：（1）①当直线斜率为0时，的方程为，∴，等式显然成立；‎ ‎②当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为，‎ ‎∵，，点为点关于轴的对称点，则.‎ 联立得.‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎∴等式成立.‎ ‎（2）①当直线斜率不为0时，∵，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，‎ 即.‎ 由（1），可知，，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎∴ .‎ ‎∴直线过定点；‎ ‎②当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.‎ 综上可知，直线必过轴上定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质，求标准方程通常需要结合题意列方程组求解即可；直线与椭圆的位置关系的问题，可联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理结合题中条件求解即可，计算量较大，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：对任意，恒成立.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明 ‎【解析】（1）对函数求导，由导函数大于0或小于0，即可求出单调区间；‎ ‎（2）根据的导函数，将恒成立转化为恒成立的问题来解决，构造函数，‎ 求其在给定区间内的最大值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为.‎ ‎.由，得.‎ ‎∴当时，，函数为减函数；‎ 当时，，函数为增函数.‎ ‎∴时，函数的单调递减区间为，‎ 单调递增区间为.‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴设（，）.‎ ‎∴.‎ ‎∵，易知在上为减函数.‎ ‎∴.‎ ‎∴在上为减函数.‎ ‎∴.‎ ‎∴恒成立.‎ ‎∴当时，对任意，恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法求函数的单调区间时，只需对函数求导，解对应的不等式即可求出单调区间；研究不等式恒成立的问题，一般需要构造函数，由导数方法研究新函数的最值即可求解，属于常考题型.‎