2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题17 函数、数列、三角函数中大小比较问题（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题17 函数、数列、三角函数中大小比较问题（测）（解析版）

专题17 函数、数列、三角函数中大小比较问题 测试卷 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ （一） 选择题(12*5=60分)‎ ‎1．下列关系式中正确的是(　　)‎ A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°‎ C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°‎ ‎【答案】C ‎【解析】sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y＝sin x在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.‎ ‎2. 设，，，则 A．<< B．<< C．<< D．<<‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以<<．‎ ‎3. 【河南省焦作市2020届高三模拟】已知，，，则的大小关系为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，得，，.令，所以.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且，即，所以.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数是解题的关键，属于中档题.‎ ‎4.设，，，则，，的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用三角函数中两个和的正弦公式，及倍角公式，不难将，，全部化为正弦函数，再利用正弦函数的单调性即可解答，∵，‎ ‎∵，，故选A.‎ ‎5. 若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．‎ ‎6. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为关于直线对称，所以关于y轴对称，因为在上单调递增 所以在上单调递减，，，‎ 因为>,<0，根据函数对称性及单调性可知，所以选D ‎7. 　定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(7)2π⇒>π，由题意得f(x)min＝f(1)，f(x)max＝f(6)，因此＝6－1⇒T＝10，且x＝6为f(x)图象的一条对称轴，f(x)在[1，6]上单调递增，f(3.5)＝0，所以f(2 014)－f(2 017)＝f(4)－f(7)＝f(4)－f(5)<0，f(2 014)＋f(2 017)＝f(4)＋f(7)＝f(4)＋f(5)>0，故选A.‎ ‎9. 是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的首项为，∵，∴,‎ ‎∵，∴，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎10. 【齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2020届高三联考】已知定义在上的函数满足,且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由，可得，又为偶函数， 的图像关于对称，‎ 所以 .又在内单调递减 ，‎ ‎ .‎ ‎11.【四川省绵阳市高中2020届高三诊断】2018年9月24日，英国数学家阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记 ‎，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可知，‎ 所以 ‎，‎ 当且时，，且，所以，故选C.‎ ‎12.已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．ff C．f>f D．f>f ‎【答案】B ‎【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝＝。由解得，‎ 所以g>g，所以>，即f>f。‎ ‎(二)填空题(4*5=20分)‎ ‎13.【山东省济南市历城第二中学2019届高三月考】给出下列四个命题：‎ ‎①中，是成立的充要条件； ②当时，有；‎ ‎③已知 是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为___________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】①在△ABC中，由正弦定理可得 , ∴sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，①正确； ②当1＞x＞0时，lnx＜0，所以不一定大于等于2，②不成立；③等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S7-S5=a6+a7＞0，S9-S3=a4+a5+…+a9=3(a6+a7)＞0，因此S9＞S3，③正确；‎ ‎④若函数为R上的奇函数，则其图象关于(0，0)中心对称，而函数y=f(x)的图象是把y=f(x-)的图象向左平移个单位得到的，故函数y=f(x)的图象一定关于点F(-，0)成中心对称，④不正确．综上只有①③正确．‎ ‎14.已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是__________(将所有符合题意的序号填在横线上)．‎ ‎①在区间上是增函数；②满足条件的正整数的最大值为3；③.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】函数在区间上是增函数，由f(-x)=sin(-ωx)=-sinωx=-f(x)，可得f(x)为奇函数，则①函数f(x)=sinωx在区间上是增函数，①正确；由解得，所以满足条件的正整数的最大值为3，故②正确；因为 由题意可得对称轴x≥，即有，故③正确；故答案为①②③.‎ ‎15、【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考】已知单调递增的等差数列，其前项和为，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，即，且 ‎．令，则①，．画出不等式组①表示的可行域(如图所示)，由得，平移直线．‎ 设直线经过可行域内的点A时， 的值为；经过可行域内的点B时， 的值为，则．由条件可得，所以．∴．∴的取值范围是．‎ ‎16.若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是_________.‎ ‎【答案】2014‎ ‎【解析】由 ,知与异号,又,显然是的递减数列,否则恒为正值,∴,结合等差数列前项和公式可得,要得到成立的最大自然数,须使得 ‎，∵，∴.‎ ‎(三)解答题(6*12=72分)‎ ‎17. 【北京市西城区高三上学期期末】已知函数．‎ ‎(I)求的最小正周期； (Ⅱ)求证：当时， ．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为 ‎ ‎ ， 所以的最小正周期 ． ‎ ‎(Ⅱ)因为 ，所以 ． 所以 ， 所以 ．‎ ‎18.【山东省济宁市2020届高三期末】已知数列的前项和为，向量，且和共线．‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，且数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】(I)(Ⅱ)见证明 ‎【解析】(I)和共线，，当时，，得， ‎ 当时，，即 数列是公比为2，首项为2的等比数列. ‎ ‎(Ⅱ)由(I)知，‎ 所以 所以 ‎19. 【河北省武邑中学2020届高三上学期第三次调研】已知等比数列的公比为()，等差数列的公差也为，且．‎ ‎(I)求的值； ‎ ‎(II)若数列的首项为，其前项和为， 当时，试比较与的大小.‎ ‎【答案】(1)； (2)当 时， ；当 时， ；当 时， .‎ ‎【解析】(I)由已知可得2，∵是等比数列，，∴.‎ 解得 或，∵， ∴ .‎ ‎(II)由(I)知等差数列的公差为， ∴ ， ‎ ‎ ，，‎ 当 时，；当 时，；当 时，. ‎ 综上，当 时，；当 时，；当 时，.‎ ‎20. 设函数f(x)＝lnx－x＋1。‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性。‎ ‎(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx。‎ ‎【解析】(1)由题设，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1。‎ 当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减。‎ ‎(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0。所以当x≠1时，lnx1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，‎ 解得x0＝。当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减。‎ 由(2)知1<0。‎ 所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx。‎ ‎21. 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn.‎ ‎(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；‎ ‎(2)比较an与Sn＋7的大小．‎ ‎【解析】(1)∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，‎ ‎∴数列{bn}是公差为1的等差数列．由a1＝，bn＝得b1＝－，‎ ‎∴Sn＝－＋＝－3n.‎ ‎(2)由(1)知：bn＝－＋n－1＝n－.由bn＝得an＝1＋＝1＋.‎ ‎∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.‎ ‎∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.‎ 又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，‎ ‎∴∀n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.‎ ‎22.设函数 ‎(1)若函数在处有极值，求函数的最大值；‎ ‎(2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)证明：不等式 ‎【答案】(1)函数的最大值为；(2)的取值范围是 ；(3)见解析. ‎ ‎【解析】(1)由已知得：，且函数在处有极值，‎ ‎∴，即 ∴ ‎ ‎∴，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴函数的最大值为；(2)由已知得：‎ ‎(i)若，则时，，∴在上为减函数，‎ ‎∴在上恒成立；(ii)若，则时，，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，‎ 当时，，∴在上为增函数，此时，∴不能使在上恒成立；综上所述，的取值范围是 ；(3)由以上得：，取，得 令，则，，‎ 因此. ‎