2017-2018学年湖南省师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）
湖南师大附中 2017－2018 学年度高二第一学期期末考试
数学(理科)
命题：贺仁亮 朱修龙 严勇华 周艳军
审题：高二数学备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：______________
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设 i 是虚数单位，则复数 2i
1－i
在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设向量 a＝(1，0)，b＝
1
2
，1
2 ，则下列结论中正确的是
A．|a|＝|b| B．a·b＝ 2
2 C．a∥b D．a－b 与 b 垂直
3．设 m，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
① α∥β
α∥γ
β∥γ；② α⊥β
m∥α
m⊥β；③ m⊥α
m∥β
α⊥β；④ m∥n
n α m∥α.
其中正确的命题是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
4．已知命题 p： x0∈R，使 sin x0＝ 5
2
；命题 q： x∈ 0，π
2 ，x>sin x，则下列判断正确的
是
A．p 为真 B．綈 q 为真 C．p∧q 为真 D．p∨q 为真
5．若曲线 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 上相异两点 P、Q 关于直线 kx＋2y－4＝0 对称，则 k 的值为
A．1 B．－1 C.1
2 D．2
6．已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋φ)的图象关于直线 x＝0 对称，则φ的值可以
是
A.π
2
B.π
3
C.π
4
D.π
6
7．若(2x＋ 3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 的值为
A．1 B．－1 C．0 D．2
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统
计数据表：
年收入 x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出 y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x，据此估计，该社区一户年收入
为 15 万元时家庭年支出为
A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元
9．若曲线 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝π
2
处的切线与直线 ax＋2y＋1＝0 互相垂直，则实数 a 等于
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积
可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位
的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则
输出 n 的值为
(参考数据： 3≈1.732；sin 15°≈0.258 8；
sin 7.5°≈0.130 5.)
A．12 B．24
C．36 D．48
11．若双曲线x2
a2
－y2
3
＝1(a>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2，则该双曲线的
实轴长为
A．1 B．2
C．3 D．6
12．某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该
几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a＋b 的最大值为
A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．∫π
2
－π
2
(1＋cos x)dx＝________．
14．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数 y＝2x2＋x 的图象上，则数列{an}
的通项公式为 an＝________．
15．设 m>1，在约束条件
y≥x，
y≤mx，
x＋y≤1
下，目标函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________．
16．已知 P 是抛物线 y2＝4x 上一动点，则点 P 到直线 l：2x－y＋3＝0 和 y 轴的距离之和的最
小值是________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 c 为最大边，又已知 b＝ 3R，其中 R 是
△ABC 的外接圆半径．且 bsin B＝(a＋c)sin A.
(Ⅰ)求角 B 的大小；
(Ⅱ)试判断△ABC 的形状．
18.(本小题满分 12 分)
在如图所示的六面体中，面 ABCD 是边长为 2 的正方形，面 ABEF 是直角梯形，∠FAB＝90°，
AF∥BE，BE＝2AF＝4.
(Ⅰ)求证：AC∥平面 DEF；
(Ⅱ)若二面角 E－AB－D 为 60°，求直线 CE 和平面 DEF 所成角的正弦值．
19.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)．
(Ⅰ)证明：数列{an＋1－an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn}满足 bn＝2log4(an＋1)
2
，证明：对一切正整数 n，有 1
b21－1
＋ 1
b22－1
＋…＋ 1
b2n－1
<1
2.
20.(本小题满分 12 分)
某商场准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从 2 种服装，2 种家电，3 种
日用品这 3 类商品中，任意选出 3 种商品进行促销活动．
(Ⅰ)若选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品，求共有多少种选法？
(Ⅱ)商场采用顾客每购买一件促销商品就可摸奖一次的促销方案：若甲箱中装有 3 个红球、3 个
黑球，乙箱中装有 2 个红球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次分别从以上两个箱中各随
机摸出 2 个球，共四个球．若摸出 4 个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有 3 个红球，则获
得二等奖；摸出的球中有 2 个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，试求在 1 次摸奖中，获得一、
二、三等奖的概率 p1、p2、p3.
21.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C1：y2
16
＋x2
4
＝1，椭圆 C2 以 C1 的短轴为长轴，且与 C1 有相同的离心率．
(Ⅰ)求椭圆 C2 的方程；
(Ⅱ)若椭圆 C2 与 x 轴正半轴相交于点 A.过点 B(1，0)作直线 l 与椭圆 C2 相交于 E，F 两点，直
线 AE，AF 与直线 x＝3 分别交于点 M，N.求EM→ ·FM→ 的取值范围．
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ln x＋1
2x2－(m＋2)x 有两个极值点 x1、x2，其中 x1
0，y 为单调递增函数，有 y>y|x＝0＝0
恒成立，即x∈ 0，π
2 ，x>sin x，所以 q 真．判断可知，D 正确．
5．D 【解析】曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即 k×(－1)＋2×3
－4＝0，∴k＝2.故选 D.
6．D 【解析】f(x)＝2sin x＋π
3 ， 又 y＝f(x＋φ)＝2sin x＋π
3
＋φ 的图象关于直线 x＝0 对称，
即为偶函数，∴π
3
＋φ＝π
2
＋kπ，φ＝kπ＋π
6
，k∈Z，当 k＝0 时，φ＝π
6
.
7．A 【解析】设 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝a＝(2＋ 3)4，a0－a1＋a2－a3＋a4＝b＝(2－ 3)4，
则待求式＝ab＝[(2＋ 3)(2－ 3)]4＝1.
8．B 【解析】由已知得 x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
5
＝10(万元)，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8
5
＝8(万元)，故＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为＝0.76x＋0.4，
当社区一户年收入为 15 万元时家庭年支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选 B.
9．D 【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，f′
π
2 ＝1，即函数 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝π
2
处的切线的
斜率是 1，直线 ax＋2y＋1＝0 的斜率是－a
2
，所以 －a
2 ×1＝－1，解得 a＝2.故选 D.
10．B 【解析】n＝6 时，S＝1
2
×6×sin 60°＝3 3
2
≈2.598<3.10，故 n＝12；又 n＝12 时，S＝
1
2
×12×sin 30°＝3<3.10，故 n＝24；又 n＝24 时，S＝1
2
×24×sin 15°≈3.105 6>3.10，故输出 n 的
值为 B.
11．B 【解析】双曲线x2
a2
－y2
3
＝1 的渐近线方程为 y＝± 3
a x，即 3x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4
的圆心为 C(2，0)，半径为 r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝ 22－12＝ 3，另一方面，
圆心 C(2，0)到双曲线x2
a2
－y2
3
＝1 的渐近线 3x－ay＝0 的距离为 d＝| 3×2－a×0|
3＋a2
＝ 2 3
3＋a2
，所以
2 3
3＋a2
＝ 3，解得 a2＝1，
即 a＝1，该双曲线的实轴长为 2a＝2.
12．C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长，宽，高
分别为 m，n，k，由题意得 m2＋n2＋k2＝ 7， m2＋k2＝ 6n＝1， 1＋k2＝a， 1＋m2＝b，所
以(a2－1)＋(b2－1)＝6a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16a＋b≤4，
当且仅当 a＝b＝2 时取等号．选 C.
二、填空题
13．π＋2 【解析】∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∫π
2
－π
2
(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|π
2
－π
2
＝π
2
＋sinπ
2
－ －π
2
＋sin
－π
2 ＝π＋2.
14．4n－1 【解析】由题意可得：Sn＝2n2＋n，易知数列{an}为等差数列，首项为 3，公差为 4，
∴an＝4n－1.
15．3 【解析】作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB.
∵目标函数可化为 y＝－1
5x＋1
5z，它在 y 轴上的截距最大时 z 最大．
∴当目标函数线过点 A 时 z 最大．由 x＋y＝1
y＝mx
解得 A
1
m＋1
， m
m＋1 ，
∴zmax＝ 1
m＋1
＋ 5m
m＋1
＝5m＋1
m＋1
＝4，
∴m＝3.
16. 5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)．设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线
的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|－1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d＋|PF|
－1.易知 d＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d＋|PF|的最小值为 |2＋3|
22＋（－1）2
＝ 5，所以 d
＋|PF|－1 的最小值为 5－1.
三、解答题
17．【解析】(Ⅰ)△ABC 中，b＝ 3R，∴sin B＝ b
2R
＝ 3
2
，又 c 为最大边，[]
所以 B∈ 0，π
2 ，∴B＝π
3
；(4 分)
(Ⅱ)由 bsin B＝(a＋c)sin A，得 b2＝(a＋c)a，∴a2＋c2－2accos B＝a2＋ac.
化简得：c－2acos B＝a.由正弦定理可得 sin C－2sin Acos B＝sin A．∵sin C＝sin(A＋B)，∴sin(A
＋B)－2sin Acos B＝sin A.
∴sin (B－A)＝sin A．∵0b>0)，
则 a＝2，e＝ 3
2 .∴c＝ 3，b2＝1.
∴椭圆 C2 的方程为x2
4
＋y2＝1.(4 分)
(Ⅱ)由椭圆 C2 的方程可知点 A 的坐标为(2，0)．
(1)当直线 l 的斜率不存在时，不妨设点 E 在 x 轴上方，
易得 E 1， 3
2 ，F 1，－ 3
2 ，M 3，－ 3
2 ，N 3， 3
2 ，所以·＝1.(6 分)
(2)当直线 l 的斜率存在时，由题意可设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，显然 k＝0 时，不符合题意．
由 y＝k（x－1）
x2＋4y2－4＝0
消 y 并整理得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 8k2
4k2＋1
，x1x2＝4k2－4
4k2＋1
.(7 分)
直线 AE，AF 的方程分别为：y＝ y1
x1－2(x－2)，y＝ y2
x2－2(x－2)，
令 x＝3，则 M
3， y1
x1－2 ，N
3， y2
x2－2 .
所以＝ 3－x1，y1（3－x1）
x1－2 ，＝ 3－x2，y2（3－x2）
x2－2 .(8 分)
所以·＝(3－x1)(3－x2)＋y1（3－x1）
x1－2
·y2（3－x2）
x2－2
＝(3－x1)(3－x2)
1＋ y1y2
（x1－2）（x2－2）
＝(3－x1)(3－x2)
1＋k2·（x1－1）（x2－1）
（x1－2）（x2－2）
＝[x1x2－3(x2＋x2)＋9)× 1＋k2 x1x2－（x1＋x2）＋1
x1x2－2（x1＋x2）＋4 []
＝
4k2－4
4k2＋1
－3· 8k2
4k2＋1
＋9
·
1＋k2·
4k2－4
4k2＋1
－ 8k2
4k2＋1
＋1
4k2－4
4k2＋1
－2· 8k2
4k2＋1
＋4
＝
16k2＋5
4k2＋1 · 1＋－3k2
4k2 ＝16k2＋5
16k2＋4
＝1＋ 1
16k2＋4
.(11 分)
因为 k2＞0，所以 16k2＋4＞4，所以 1<16k2＋5
16k2＋4
<5
4
，即·∈ 1，5
4 .
综上所述，·的取值范围是 1，5
4 .(12 分)
22．【解析】(Ⅰ) f′(x)＝1
x
＋x－(m＋2)＝x2－（m＋2）x＋1
x
(x>0)，
于是 f(x)有两个极值点需要二次方程 x2－(m＋2)x＋1＝0 有两个不等的正根，
则 Δ＝（m＋2）2－4>0
x1＋x2＝m＋2>0
，解得 m>0，
此时在(0，x1)上 f′(x)>0，(x1，x2)上 f′(x)<0，
(x2，＋∞)上 f′(x)>0，因此 x1、x2 是 f(x)的两个极值点，符合题意．
所以 m 的取值范围是(0，＋∞)．(4 分)
(Ⅱ)假设存在实数 m，使得函数 f(x)的极小值大于－e2
2
，
由(Ⅰ) 可知方程 x2－(m＋2)x＋1＝0 有两个不等正根 x1、x2，且 x1x2＝1，x11，f(x)在 x＝x2 处取得极小值，由 x22－(m＋2)x2＋1＝0，得(m＋2)x2＝x22＋
1，
所以函数 f(x)的极小值为 f(x2)＝ln x2＋1
2x22－(m＋2)x2＝ln x2－1
2x22－1.(8 分)
设 g(x)＝ln x－1
2x2－1(x>1)，则 g′(x)＝1
x
－x＝1－x2
x
<0，
于是 g(x)在(1，＋∞)上单调递减，而 g(e)＝－e2
2
，要使得函数 f(x)的极小值大于－e2
2
，
即使 f(x2)>－e2
2
，即 g(x2)>－e2
2
＝g(e)，∴x2
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