数学理卷·2017届江西省临川一中高三4月模拟检测（2017

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江西省临川一中2017届高三4月模拟检测 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 ，集合，则中元素的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D．4‎ ‎2. 已知为虚数单位，且复数满足，若为实数，则实数的值为（ ）‎ A． 4 B． 3 C．2 D．1‎ ‎3. 已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1，则的值为 （ ）‎ A． B． C. 3或4 D．或 ‎6.运行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．0 B． C. -1 D． ‎ ‎7.下列说法正确的个数为 （ ）‎ ‎①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；‎ ‎④已知直线和平面，若，则.‎ A． 1 B． 2 C. 3 D． 4‎ ‎8.已知直线与圆相切，则的最大值为（ ）‎ A． 1 B．-1 C. D．‎ ‎9. 已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）‎ A． 2 B．3 C. D．‎ ‎10.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．5‎ ‎11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为 ．‎ ‎14.已知满足约束条件，且目标函数的最大值为4，则的最小值为 ．‎ ‎15.已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为 ．‎ ‎16.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 若函数，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数.‎ ‎（1）试确定函数的解析式与的值；‎ ‎（2）在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值.‎ ‎18.某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.‎ ‎（1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？‎ ‎（2）为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见，用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求的分布列与期望.‎ 附：.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.如图，在梯形中，，.，且平面，，点为上任意一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为60°，试确定点的位置．‎ ‎20.已知动圆与圆外切，与圆内切．‎ ‎（1）试求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意，，恒有成立，试求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意的，都有，使得，试求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCBD 6-10: BCCDB 11、12：DB 二、填空题 ‎13. 160 14. 15. -11 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1）‎ ‎，‎ 由函数的图象与直线相切可得．‎ ‎∵为偶函数，∴，∴， ∵，‎ ‎∴，由题意可得， ∴，‎ ‎∴函数的解析式为．‎ ‎（2）由（1）知函数， ∵，‎ ‎∴，又， ∴，‎ ‎∵， ∴，‎ 根据余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时，取等号，故的最小值为．‎ ‎18.解析：（1）对环境质量满意的为人，对执法力度满意的为人，对环境质量与执法力度都满意的为80人，列出列联表如下：‎ 对执法力度满意 对执法力度不满意 合计 对环境质量满意 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对环境质量不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 所以，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为环境质量与执法力度有关．‎ ‎（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎；，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎19.解析：（1）证明：∵，， ∴，‎ 连接，在中，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∵平面，∴．‎ ‎（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，‎ 设，则，‎ ‎∴，故，∴，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，可得，∴．‎ 易知平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴点与点重合．‎ ‎20.解析：（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则 ‎，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，‎ ‎∴， ∴动圆圆的轨迹方程为．‎ ‎（2）存在，直线的方程为，设，的中点为．假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，‎ 由，得，‎ ‎，∴，，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴，‎ 当时，，∴；‎ 当时，，∴．‎ 因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为．‎ ‎21.解析：（1）函数的定义域为，，‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数的上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）恒成立，即恒成立，‎ 不妨设，因为当时，在上单调递减，则，可得，设，‎ ‎∴对于任意的，，恒成立，∴在上单调递增，在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵当时，， ∴只需在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，则，‎ ‎∴，故实数的取值范围为．‎ ‎22.解析：（1）把直线的参数方程化为普通方程为，∵，‎ ‎∴直线的极坐标方程为，‎ 由，可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的倾斜角为，‎ ‎∴直线的倾斜角也为，又直线过点，‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数），‎ 将其代入曲线的直角坐标方程可得，‎ 设点对应的参数分别为．‎ 由一元二次方程的根与系数的关系知，‎ ‎∴．‎ ‎23.解析：（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，不符合题意；‎ 当时，，解得，‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）由（1）知，根据函数的图象可知，当时，取得最小值，且，‎ 易知，‎ ‎∵对于任意的，都有，使得，‎ ‎∴，∴，∴的取值范围为．‎