四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学(理)试题

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四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学(理)试题

‎2020年春四川省泸县第五中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.命题“”的否定是 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.复数满足为虚数单位),则复数 A. B. C. D.‎ ‎3.已知实数满足则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知随机变量服从正态分布,则等于 A. B. C. D.‎ ‎5.若双曲线的左、右焦点分别为F‎1‎‎,‎F‎2‎,点P在双曲线E上,且‎|PF‎1‎|=3‎,则‎|PF‎2‎|‎等于 A.11 B.9 C.5 D.3‎ ‎6.已知,若不等式恒成立,则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎7.为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果,现对200只动物进行调研,并得到如下数据:‎ 未发病 发病 合计 未注射疫苗 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 注射疫苗 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎(附:)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则下列说法正确的:‎ A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%‎ ‎8.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎ A. B. C.4 D.‎ ‎9.若圆C:关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是 A.2 B.4 C.3 D.6‎ ‎10.某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成,要求每天至少完成两科,且数学,物理作业不在同一天完成,则完成作业的不同顺序种数为 A.600 B.812 C.1200 D.1632‎ ‎11.已知点A(2,0),O(0,0),若抛物线C:(p>0)上存在两个不同的点M,使得OM⊥AM,则p的取值范围 A.(0,) B.(0,1) C.(0,2) D.(1,+∞)‎ ‎12.已知,,,则实数m的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.甲、乙两篮球运动员进行定点投篮,每人各投4个球,甲投篮命中的概率为,乙投篮命中的概率为,求甲至多命中2个且乙至少命中2个概率____.‎ ‎14.已知,在处有极值,则 ______ .‎ ‎15.设抛物线:的焦点为,准线为,,已知以为圆心,为半径的圆交于两点,若,的面积为,则轴被圆所截得的弦长等于_____.‎ ‎16.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销量(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为,已知生产此产品的年固定投入为万元,每生产1万件此产品仍需要再投入30万元,且能全部销售完,若每件甲产品销售价格(元)定为:“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了__________万元.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)若.‎ ‎(I)指出函数的单调递增区间; (II)求在的最大值和最小值.‎ ‎18.(12分)某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如下,参考数据见下.‎ ‎(I)估计明年常规稻A的单价平均值;‎ ‎(II)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率;‎ ‎(III)判断杂交稻B的单价y(单位:元/公斤)与种植亩数x(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?‎ 统计参考数据:,,,,‎ 附:线性回归方程,.‎ ‎19.(12分)如图,在直三棱柱中,,,点是的中点.‎ ‎(I)求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎(II)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知点为圆上一点,轴于点,轴于点,点满足(为坐标原点),点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交曲线于不同的两点、,是否存在定点,使得直线、的斜率之和恒为0.若存在,则求出点的坐标;若不存在,则请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(I)讨论函数的单调性;‎ ‎(II)若函数图像过点,求证:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为(为参数),,为过点的两条直线,交于,两点,交于,两点,且的倾斜角为,.‎ ‎(I)求和的极坐标方程;‎ ‎(II)当时,求点到,,,四点的距离之和的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+1|.‎ ‎(I)求不等式f(x)≤﹣1的解集M;‎ ‎(II)结合(1),若m是集合M中最大的元素,且a+b=m(a>0,b>0),求的最大值.‎ ‎2020年春四川省泸县第五中学高二第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.C 9.B 10.C 11.A 12.B ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.(1)因为所以,由可得或;‎ 由可得;所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;故函数的单调递增区间为,;‎ ‎(2)因为,所以由(1)可得,在上单调递减,在上单调递增;‎ 因此,又,,所以.‎ ‎18.(1)设明年常规稻A的单价为,则的分布列为 ‎3.50‎ ‎3.60‎ ‎3.70‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎,‎ 估计明年常规稻A的单价平均值为3.62(元/公斤); ‎ ‎(2)杂交稻B的亩产平均值为:.‎ 依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为:,‎ 则将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为:‎ ‎. ‎ ‎(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近,所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关, ‎ 由题中提供的数据得:,由 ,‎ 所以线性回归方程为, ‎ 估计明年杂交稻B的单价元/公斤;‎ 估计明年杂交稻B的每亩平均收入为元/亩,‎ 估计明年常规稻A的每亩平均收入为元/亩,‎ 因1905>1875,所以明年选择种植杂交稻B收入更高.‎ ‎19.(1)∵在直三棱柱中,,,点是的中点,∴以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‎ 设,‎ 则,,,,,‎ ‎,,设异面直线与所成角为,‎ 则.∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎(2),,,设平面的法向量,‎ 则,取,得,平面的法向量,‎ 设二面角的平面角为,则.∴二面角的余弦值为.‎ ‎20(Ⅰ)设,,则,,‎ 由得,所以,所以,‎ 又在圆上,所以,即.‎ ‎(Ⅱ)假设存在定点满足题意,设,,斜率为的直线的方程为,则,得,,‎ 所以,解得 ‎ 又,,因为,‎ 所以,‎ 则,‎ 则,‎ 则,‎ 则,‎ 则,‎ 所以对任意的恒成立,‎ 所以,解得或,‎ 所以存在定点或,使得、的斜率之和恒为0.‎ ‎21.(1)函数的定义域为 ,.‎ 当时, ,在上单调递增; 当时,由,得 .‎ 若 ,,单调递增;若 ,,单调递减 综合上述: 当时,在上单调递增;‎ 当时,在单调递增,在上单调递减. ‎ ‎(2)函数图象过点,可得,此时 要证,即证. ‎ 令, ,‎ 又令,,‎ 当时,,在上单调递增.由, 即,‎ 故存在 使得,此时,故 ‎ 当时,;当时,.‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 当时,有最小值 故成立 ‎22.(1)依题意,直线的极坐标方程为,由,消去,得,将,,代入上式,得,‎ 故的极坐标方程为 ‎(2)依题意可设,,,,且均为正数,‎ 将代入,得,‎ 所以,同理可得, ,‎ 所以点到四点的距离之和为 ,因为,所以当,‎ 即时,取得最大值,‎ 所以点到四点距离之和的最大值为.‎ ‎23.(1)不等式f(x)≤﹣1即|2x﹣1|﹣|x+1|≤﹣1,‎ 可得或或,‎ 解得:无解或x或x≤1,综上可得x≤1,即所求解集为[,1];‎ ‎(2)由(1)可得a+b=1(a,b>0),‎ 由柯西不等式可得()2≤(32+42)(a+b),‎ 即为()2≤25,‎ 可得5,当且仅当a,b时取得等号,则的最大值为5.‎
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