2019高三数学（北师大版理科）一轮：单元质检卷九+解析几何

2019高三数学（北师大版理科）一轮：单元质检卷九+解析几何

单元质检卷九　解析几何 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=(　　)‎ A.45° B.30° C.15° D.60°‎ ‎3.(2017江西新余一中模拟七,理11)设F是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线两渐近线分别为l1,l2,过点F作直线l1的垂线,分别交l1,l2于A,B两点,若A,B两点均在x轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则双曲线的离心率e为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎ B.2 C.‎5‎ D.‎‎6‎ ‎4.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为(　　)‎ A.(2,1) B.(-2,1)‎ C.‎-1,‎‎1‎‎4‎ D.‎‎1,‎‎1‎‎4‎ ‎5.(2017云南昆明一中仿真,理5)若双曲线M:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,则双曲线M的离心率为(　　)‎ A.‎5‎‎4‎ B.‎‎4‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.5〚导学号21500644〛‎ ‎6.(2017河北保定二模,理9)当双曲线x‎2‎m‎2‎‎+8‎‎-‎y‎2‎‎6-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为(　　)‎ A.y=±x B.y=±‎2‎‎3‎x C.y=±‎1‎‎3‎x D.y=±‎1‎‎2‎x ‎7.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为‎2‎cb,则双曲线C的离心率为(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.2‎2‎ D.2‎‎3‎ ‎8.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48‎3‎,则p的值为(　　)‎ A.2 B.2‎3‎ C.4 D.4‎‎3‎ ‎9.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎+1‎‎2‎ B.‎2‎+1‎ C.‎5‎‎-1‎‎2‎ D.‎5‎-1‎ ‎10.(2017山东临沂一模,理8)抛物线x2=-6by的准线与双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.3 C.‎4‎‎3‎‎3‎ D.2‎‎3‎ ‎11.(2017辽宁沈阳三模,理9)已知直线‎3‎x-y-‎3‎=0与抛物线y2=4x交于A,B两点(A在x轴上方),与x轴交于点F,OF=λOA+μOB,则λ-μ=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.-‎1‎‎3‎〚导学号21500645〛‎ ‎12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　)‎ A.3 B.2‎2‎ C.‎5‎ D.2〚导学号21500646〛‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:x‎2‎‎4‎-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a=　　　　　. ‎ ‎14.已知直线l:mx+y+3m-‎3‎=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2‎3‎,则|CD|=　　　　　. ‎ ‎15.(2017北京东城区二模,理13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=　　　　　. ‎ ‎16.‎ ‎(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.‎ ‎(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　　; ‎ ‎(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是　　　　　.〚导学号21500647〛 ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分)‎ ‎17.(14分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎15‎‎4‎,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2‎15‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设圆T:(x-2)2+y2=‎4‎‎9‎,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.‎ ‎18.(14分)(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,A(a,0),b(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.‎ ‎〚导学号21500648〛‎ ‎19.(14分)(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+p‎2‎交抛物线E于A,B两点.‎ ‎(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;‎ ‎(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-‎3‎‎2‎,求直线l的斜率.‎ ‎20.(14分)(2017湖南岳阳一模)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=2‎2‎,点A,B在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于4‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.‎ ‎21.(14分)已知F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率e=‎1‎‎2‎,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2的内切圆面积的最大值为‎4π‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量F‎1‎A与F‎1‎C共线,F‎1‎B与F‎1‎D共线,且AC‎·‎BD=0,求|AC|+|BD|的取值范围.‎ ‎〚导学号21500649〛‎ 参考答案 单元质检卷九　解析几何 ‎1.C　当a=3时,两直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立;‎ 反之,当两条直线平行时,有-a‎2‎‎=‎‎3‎‎1-a且-‎3‎‎2‎a≠a-7‎a-1‎,∴a=3.‎ ‎∴a=3是两条直线平行的充要条件.故选C.‎ ‎2.A　由题意,|MF|=p,‎ 则设点Mp‎2‎‎,p.‎ ‎∵K‎-p‎2‎,0‎,∴kKM=1.‎ ‎∴∠MKF=45°,故选A.‎ ‎3.C　在Rt△AOB中,|OA|=3,|OB|=5,‎ 可得|AB|=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=4,‎ 可得tan∠AOB=‎|AB|‎‎|OA|‎‎=‎‎4‎‎3‎,‎ 由直线l1:y=bax,直线l2:y=-bax,‎ tan∠AOB=‎-ba-‎ba‎1+‎-‎ba·‎ba‎=‎‎4‎‎3‎,‎ 化简可得b=2a,‎ 即有e=ca‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎a=‎‎5‎.‎ ‎4.D　如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=‎1‎‎4‎,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为‎1,‎‎1‎‎4‎,故选D.‎ ‎5.D　双曲线M的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,可得2a=16-12=4,解得a=2,2c=‎1‎6‎‎2‎+1‎‎2‎‎2‎=20,可得c=10.‎ 所以双曲线的离心率为e=ca=5.故选D.‎ ‎6.B　由题意,6-2m>0,即m<3,焦距2c=2‎(m‎2‎+8)+(6-2m)‎=2m‎2‎‎-2m+14‎,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1,其渐近线的方程为y=±‎2‎‎3‎x,故选B.‎ ‎7.D　双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上.‎ 设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,‎ ‎∴x0=-c‎2‎,四边形OFMN的面积为‎2‎cb.‎ ‎∴|y0|c=‎2‎cb,即|y0|=‎2‎b.‎ ‎∴M‎-c‎2‎,‎2‎b.‎ 代入双曲线可得,x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1,‎ 整理得,c‎2‎‎4‎a‎2‎-2=1.‎ 由e=ca,∴e2=12.‎ 由e>1,解得e=2‎3‎,故选D.‎ ‎8.A　设B(x1,y1),A(x2,y2).‎ ‎∵|OA|=|OB|,‎ ‎∴x‎1‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎.‎ 又y‎1‎‎2‎=2px1,y‎2‎‎2‎=2px2,‎ ‎∴x‎2‎‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎+2p(x2-x1)=0,‎ 即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.‎ ‎∵x1,x2与p同号,‎ ‎∴x1+x2+2p≠0.‎ ‎∴x2-x1=0,即x1=x2.‎ 由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=‎3‎‎3‎x,联立y2=2px,解得B(6p,2‎3‎p),‎ ‎∴|OB|=‎(6p‎)‎‎2‎+(2‎3‎p‎)‎‎2‎=4‎3‎p.‎ ‎∴‎3‎‎4‎·(4‎3‎p)2=48‎3‎,∴p=2.‎ 故选A.‎ ‎9.B　过点P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.‎ ‎∵|PA|=m|PB|,‎ ‎∴|PA|=m|PN|.‎ ‎∴‎1‎m‎=‎‎|PN|‎‎|PA|‎.‎ 设直线PA的倾斜角为α,则sin α=‎1‎m.‎ 当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.‎ 设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,‎ ‎∴Δ=16k2-16=0,‎ ‎∴k=±1,∴P(2,1).‎ ‎∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(‎2‎-1),‎ ‎∴双曲线的离心率为‎1‎‎(‎2‎-1)‎‎=‎‎2‎+1.‎ 故选B.‎ ‎10.C　抛物线的准线为y=‎3‎‎2‎b,‎ ‎∴B‎-‎13‎‎2‎a,‎3‎‎2‎b,‎ C‎13‎‎2‎a,‎3‎‎2‎b.‎ 易得∠AOC=∠BOC=60°,‎ ‎∴kOC=‎3‎13‎b‎13a=tan 60°=‎3‎.‎ ‎∴b‎2‎a‎2‎‎=‎‎13‎‎3‎,‎ ‎∴e=‎1+‎b‎2‎a‎2‎‎=‎1+‎‎13‎‎3‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎,故选C.‎ ‎11.B　直线‎3‎x-y-‎3‎=0过抛物线的焦点F(1,0),把直线方程代入抛物线的方程y2=4x,‎ 解得x=3,‎y=2‎‎3‎或x=‎1‎‎3‎,‎y=-‎2‎‎3‎‎3‎,‎ 则A(3,2‎3‎),‎ B‎1‎‎3‎‎,-‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎∵OF=λOA+μOB,‎ ‎∴(1,0)‎ ‎=(3λ,2‎3‎λ)+‎‎1‎‎3‎μ,-‎2‎‎3‎‎3‎μ ‎=‎3λ+‎1‎‎3‎μ,2‎3‎λ-‎2‎‎3‎‎3‎μ.‎ ‎∴3λ+‎1‎‎3‎μ=1,2‎3‎λ-‎2‎‎3‎‎3‎μ=0.‎ ‎∴λ=‎1‎‎4‎,μ=‎3‎‎4‎,则λ-μ=-‎1‎‎2‎.‎ 故选B.‎ ‎12.解 建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(0,1),B(0,0),D(2,1).‎ 设P(x,y),‎ 由|BC|·|CD|=|BD|·r,‎ 得r=‎|BC|·|CD|‎‎|BD|‎‎=‎2×1‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 即圆的方程是(x-2)2+y2=‎4‎‎5‎.‎ 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).‎ 由AP=λAB+μAD,‎ 得x=2μ,‎y-1=-λ,‎ 所以μ=x‎2‎,λ=1-y,‎ 所以λ+μ=‎1‎‎2‎x-y+1.‎ 设z=‎1‎‎2‎x-y+1,‎ 即‎1‎‎2‎x-y+1-z=0.‎ 因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=‎4‎‎5‎上,‎ 所以圆心C到直线‎1‎‎2‎x-y+1-z=0的距离d≤r,‎ 即‎|2-z|‎‎1‎‎4‎‎+1‎‎≤‎‎2‎‎5‎‎5‎,解得1≤z≤3,‎ 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.‎ ‎13.-1或2‎5‎　设P(x,y)(x≥2),‎ 则|PA|2=(x-a)2+y2‎ ‎=‎5‎‎4‎x-‎4‎‎5‎a‎2‎‎+‎‎1‎‎5‎a2-1,‎ 当a>0时,x=‎4‎‎5‎a,|PA|的最小值为‎1‎‎5‎a2-1=3,∴a=2‎5‎.‎ 当a<0时,2-a=3,∴a=-1.‎ 故答案为-1或2‎5‎.‎ ‎14.4　因为|AB|=2‎3‎,且圆的半径R=2‎3‎,‎ 所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-‎3‎=0的距离为R‎2‎‎-‎‎|AB|‎‎2‎‎2‎=3.‎ 由‎|3m-‎3‎|‎m‎2‎‎+1‎=3,解得m=-‎3‎‎3‎.‎ 将其代入直线l的方程,‎ 得y=‎3‎‎3‎x+2‎3‎,‎ 即直线l的倾斜角为30°.‎ 由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=‎|AB|‎cos30°‎=4.‎ ‎15.‎21‎　抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,‎ 设点A(x0,y0),若直线l的倾斜角为60°,‎ 即斜率k=tan 60°=‎3‎,∴直线l的方程为y=‎3‎(x-1),即x=‎3‎‎3‎y+1,‎ 由y‎2‎‎=4x,‎x=‎3‎‎3‎y+1,‎ 解得x=3,‎y=2‎3‎,‎或x=‎1‎‎3‎,‎y=-‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎∵点A在x轴上方,则A(3,2‎3‎).‎ ‎∴|OA|=‎3‎‎2‎‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎21‎.‎ 故答案为‎21‎.‎ ‎16.(1)Q1　(2)p2　(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.‎ ‎(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每时加工的零件数为p=y‎1‎‎+‎y‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得kOC‎2‎‎>kOC‎1‎>‎kOC‎3‎,故p1,p2,p3中最大的是p2.‎ ‎17.解 (1)由题意,e=ca‎=‎15‎‎4‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎a,可知a=4b,c=‎15‎b.‎ ‎∵△PF1F2的周长是8+2‎15‎,‎ ‎∴2a+2c=8+2‎15‎,‎ ‎∴a=4,b=1.‎ ‎∴所求椭圆方程为x‎2‎‎16‎+y2=1.‎ ‎(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,‎ 则设其方程为l:y=kx+1,‎ 由直线y=kx+1与圆T相切可知‎|2k+1|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎,‎ 即32k2+36k+5=0,‎ ‎∴k1+k2=-‎9‎‎8‎,k1k2=‎5‎‎32‎.‎ 由y=k‎1‎x+1,‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎=1‎得(1+16k‎1‎‎2‎)x2+32k1x=0,‎ ‎∴xE=-‎32‎k‎1‎‎1+16‎k‎1‎‎2‎.‎ 同理xF=-‎32‎k‎2‎‎1+16‎k‎2‎‎2‎,‎ kEF=‎yE‎-‎yFxE‎-‎xF‎=‎k‎1‎xE‎-‎k‎2‎xFxE‎-‎xF ‎=k‎1‎‎+‎k‎2‎‎1-16‎k‎1‎k‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 故直线EF的斜率为‎3‎‎4‎.‎ ‎18.解 (1)由题意得ca‎=‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎‎(2a)b=2‎3‎,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎ 解得a=2,b=‎3‎.‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)由(1)知,A(2,0),B(0,‎3‎),‎ 由题意可得S四边形ABNM=‎1‎‎2‎|AN|·|BM|.‎ ‎∵P(x0,y0),-2

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