2018届二轮复习导数几何意义的必会题型课件（江苏专用）

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专题 3 　函数与导数 第 12 练　导数几何意义的必 会 题型 本部分题目考查导数的几何意义：函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为填空题或者在解答题的某一步中出现 ( 难度为低中档 ) ，内容就是求导，注意审题是过点 ( x 0 ， y 0 ) 的切线还是在点 ( x 0 ， y 0 ) 处的切线 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1 2 3 4 5 解析 答案 (0,1) 1 2 3 4 5 若 k 1 · k 2 ＝－ 1 ，则两个切点一个在 x ∈ (0,1) 的图象上为 P 1 ，一个在 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 的图象上为 P 2 . 解析 1 2 3 4 5 ∵ k 1 k 2 ＝－ 1 ， ∴ x 1 x 2 ＝ 1. 解析 ∴ B (0 ，－ 1 － ln x 0 ) ， ∴ AB ＝ 1 － ln x 0 － ( － 1 － ln x 0 ) ＝ 2. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2.(2016· 课标全国丙 ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ e － x － 1 － x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1,2) 处的切线方程是 ________. 解析 　 设 x >0 ，则－ x <0 ， f ( － x ) ＝ e x － 1 ＋ x ， 因为 f ( x ) 为偶函数，所以 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 所以 f ( x ) ＝ e x － 1 ＋ x . 因为当 x ＞ 0 时， f ′ ( x ) ＝ e x － 1 ＋ 1 ，所以 f ′ (1) ＝ 2 ， 所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1,2) 处的切线方程为 y － 2 ＝ 2( x － 1) ，即 2 x － y ＝ 0. 2 x － y ＝ 0 1 2 3 4 5 解析答案 3.(2016· 课标全国甲 ) 若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ ln x ＋ 2 的切线，也是曲线 y ＝ ln( x ＋ 1) 的切线，则 b ＝ ________. ∴ b ＝ ln x 1 ＋ 1 ＝ 1 － ln 2. 1 － ln 2 1 2 3 4 5 解析答案 4.(2015· 天津 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 4 x － x 4 ， x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的单调区间； 解　 由 f ( x ) ＝ 4 x － x 4 ，可得 f ′ ( x ) ＝ 4 － 4 x 3 . 当 f ′ ( x ) ＞ 0 ，即 x ＜ 1 时，函数 f ( x ) 单调递增； 当 f ′ ( x ) ＜ 0 ，即 x ＞ 1 时，函数 f ( x ) 单调递减 . 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( － ∞ ， 1) ，单调递减区间为 (1 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 解析答案 (2) 设曲线 y ＝ f ( x ) 与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y ＝ g ( x ) ，求证：对于任意的实数 x ，都有 f ( x ) ≤ g ( x ) ； 1 2 3 4 5 解析答案 证明　 设点 P 的坐标为 ( x 0, 0) ， 则 x 0 ＝ ， f ′ ( x 0 ) ＝－ 12. 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ＝ f ′ ( x 0 )·( x － x 0 ) ， 即 g ( x ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ). 令函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ， 即 F ( x ) ＝ f ( x ) － f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) ， 则 F ′ ( x ) ＝ f ′ ( x ) － f ′ ( x 0 ). 由于 f ′ ( x ) ＝－ 4 x 3 ＋ 4 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递减， 故 F ′ ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 1 2 3 4 5 又因为 F ′ ( x 0 ) ＝ 0 ， 所以当 x ∈ ( － ∞ ， x 0 ) 时， F ′ ( x ) ＞ 0 ；当 x ∈ ( x 0 ，＋ ∞ ) 时， F ′ ( x ) ＜ 0 ， 所以 F ( x ) 在 ( － ∞ ， x 0 ) 上单调递增，在 ( x 0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 所以对于任意的实数 x ， F ( x ) ≤ F ( x 0 ) ＝ 0 ， 即对于任意的实数 x ，都有 f ( x ) ≤ g ( x ). 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 证明　 由 (2) 知 g ( x ) ＝－ 12( x － ). 因为 g ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递减， 又由 (2) 知 g ( x 2 ) ≥ f ( x 2 ) ＝ a ＝ g ( x 2 ′ ) ， 因此 x 2 ≤ x 2 ′ . 类似地，设曲线 y ＝ f ( x ) 在原点处的切线方程为 y ＝ h ( x ) ， 可得 h ( x ) ＝ 4 x . 对于任意的 x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，有 f ( x ) － h ( x ) ＝－ x 4 ≤ 0 ，即 f ( x ) ≤ h ( x ). 1 2 3 4 5 因为 h ( x ) ＝ 4 x 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增， 且 h ( x 1 ′ ) ＝ a ＝ f ( x 1 ) ≤ h ( x 1 ) ，因此 x 1 ′≤ x 1 ， 1 2 3 4 5 解析答案 5.(2016· 课标全国甲 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)ln x － a ( x － 1). (1) 当 a ＝ 4 时，求曲线 y ＝ f ( x ) 在 (1 ， f (1)) 处的切线方程； 解　 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ). 当 a ＝ 4 时， f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)ln x － 4( x － 1) ， 曲线 y ＝ f ( x ) 在 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 2 x ＋ y － 2 ＝ 0. 1 2 3 4 5 解析答案 返回 (2) 若当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x )>0 ，求 a 的取值范围 . 1 2 3 4 5 解析答案 ① 当 a ≤ 2 ， x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， x 2 ＋ 2(1 － a ) x ＋ 1 ≥ x 2 － 2 x ＋ 1>0 ， 故 g ′ ( x )>0 ， g ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 因此 g ( x )>0 ； 1 2 3 4 5 返回 ② 当 a >2 时，令 g ′ ( x ) ＝ 0 得， 由 x 2 >1 和 x 1 x 2 ＝ 1 得 x 1 <1 ，故当 x ∈ (1 ， x 2 ) 时， g ′ ( x )<0 ， g ( x ) 在 (1 ， x 2 ) 上单调递减，因此 g ( x )<0. 综上， a 的取值范围是 ( － ∞ ， 2]. 高考 必会题型 题型一　直接求切线或切线斜率问题 例 1 　 (2015 · 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ x ＋ 1 的图象在点 (1 ， f (1)) 处的切线过点 (2,7) ，则 a ＝ ______. 解析答案 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 ax 2 ＋ 1 ， f ′ (1) ＝ 1 ＋ 3 a ， f (1) ＝ a ＋ 2. 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 y － ( a ＋ 2) ＝ (1 ＋ 3 a )( x － 1). 将 (2,7) 代入切线方程，得 7 － ( a ＋ 2) ＝ (1 ＋ 3 a ) ，解得 a ＝ 1. 1 解析答案 (2) 曲线 y ＝ x e x － 1 在点 (1,1) 处切线的斜率等于 ______. 故曲线在点 (1,1) 处的切线斜率为 y ′ | x ＝ 1 ＝ 2 ，即 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 2 点评 点评 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x ＝ x 0 . (2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线 . 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线方程是 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解 . 解析答案 变式训练 1 　 (2016· 课标全国丙 ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ＜ 0 时， f ( x ) ＝ ln( － x ) ＋ 3 x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ，－ 3) 处的切线方程是 ____________. 解析　 设 x ＞ 0 ，则－ x ＜ 0 ， f ( － x ) ＝ ln x － 3 x ， 又 f ( x ) 为偶函数， f ( x ) ＝ ln x － 3 x ， 即 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 题型二　导数几何意义的综合应用 解　 由题意知，曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 所以 f ′ (1) ＝ 2 ， 解析答案 即 f ′ (1) ＝ a ＋ 1 ＝ 2 ，所以 a ＝ 1. (2) 是否存在自然数 k ，使得方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 在 ( k ， k ＋ 1) 内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请说明理由； 解析答案 解　 当 k ＝ 1 时，方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 在 (1,2) 内存在唯一的根 . 解析答案 当 x ∈ (0,1] 时， h ( x ) ＜ 0. 所以存在 x 0 ∈ (1,2) ，使得 h ( x 0 ) ＝ 0. 当 x ∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， h ′ ( x ) ＞ 0 ， 所以当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， h ( x ) 单调递增， 所以 k ＝ 1 时，方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 在 ( k ， k ＋ 1) 内存在唯一的根 . 点评 (3) 设函数 m ( x ) ＝ min{ f ( x ) ， g ( x )}(min{ p ， q } 表示 p ， q 中的较小值 ) ，求 m ( x ) 的最大值 . 解析答案 点评 解　 由 (2) 知方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 在 (1,2) 内存在唯一的根 x 0 . 且 x ∈ (0 ， x 0 ) 时， f ( x ) ＜ g ( x ) ， x ∈ ( x 0 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) ＞ g ( x ) ， 解析答案 当 x ∈ (0 ， x 0 ) 时，若 x ∈ (0,1] ， m ( x ) ≤ 0 ； 可知 0 ＜ m ( x ) ≤ m ( x 0 ) ；故 m ( x ) ≤ m ( x 0 ). 点评 可得 x ∈ ( x 0 ， 2 ) 时， m ′ ( x ) ＞ 0 ， m ( x ) 单调递增； x ∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， m ′ ( x ) ＜ 0 ， m ( x ) 单调递减 . 已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 (2015· 广东 ) 设 a >1 ，函数 f ( x ) ＝ (1 ＋ x 2 )e x － a . (1) 求 f ( x ) 的单调区间； 解　 f ′ ( x ) ＝ 2 x e x ＋ (1 ＋ x 2 )e x ＝ ( x 2 ＋ 2 x ＋ 1)e x ＝ ( x ＋ 1) 2 e x ， ∀ x ∈ R ， f ′ ( x ) ≥ 0 恒成立 . ∴ f ( x ) 的单调增区间为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，无单调减区间 . 解析答案 (2) 证明： f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上仅有一个零点； 证明　 ∵ f (0) ＝ 1 － a ， f ( a ) ＝ (1 ＋ a 2 )e a － a ，且 a >1 ， ∴ f (0)<0 ， f ( a )>2 a e a － a >2 a － a ＝ a >0 ， ∴ f (0)· f ( a )<0 ， ∴ f ( x ) 在 (0 ， a ) 上有一零点 . 又 ∵ f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增， ∴ f ( x ) 在 (0 ， a ) 上仅有一个零点， ∴ f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上仅有一个零点 . 解析答案 返回 解析答案 证明　 f ′ ( x ) ＝ ( x ＋ 1) 2 e x ，设 P ( x 0 ， y 0 ) ， 则 f ′ ( x 0 ) ＝ ( x 0 ＋ 1) 2 ＝ 0 ， ∴ x 0 ＝－ 1 ， 令 g ( m ) ＝ e m － ( m ＋ 1) ， g ′ ( m ) ＝ e m － 1. 令 g ′ ( x )>0 ，则 m >0 ， ∴ g ( m ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 ， 令 g ′ ( x )<0 ，则 m <0 ， ∴ g ( m ) 在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减， ∴ g ( m ) min ＝ g (0) ＝ 0. ∴ e m － ( m ＋ 1) ≥ 0 ，即 e m ≥ m ＋ 1. 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 已知函数 f ( x ) ＝ x ln x ，若直线 l 过点 (0 ，－ 1) ，并且与曲线 y ＝ f ( x ) 相切，则直线 l 的方程为 _________ __ ___. 解析　 ∵ 点 (0 ，－ 1) 不在曲线 f ( x ) ＝ x ln x 上， ∴ 设切点为 ( x 0 ， y 0 ). 又 ∵ f ′ ( x ) ＝ 1 ＋ ln x ， 解得 x 0 ＝ 1 ， y 0 ＝ 0 . ∴ 切点为 (1,0) ， ∴ f ′ (1) ＝ 1 ＋ ln 1 ＝ 1. ∴ 直线 l 的方程为 y ＝ x － 1 ，即 x － y － 1 ＝ 0. x － y － 1 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 ∴ 直线 l 的斜率为 k ＝ f ′ (1) ＝ 1. 又 f (1) ＝ 0 ， ∴ 切线 l 的方程为 y ＝ x － 1. g ′ ( x ) ＝ x ＋ m ，设 直线 l 与 g ( x ) 的图象的切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 则有 x 0 ＋ m ＝ 1 ， y 0 ＝ x 0 － 1 ， 于是解得 m ＝－ 2. － 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 已知直线 l 与曲线 f ( x ) ＝ x 2 － 3 x ＋ 2 ＋ 2ln x 相切，则直线 l 倾斜角的最小值为 ________. 解析　 函数的定义域为 (0 ，＋ ∞ ). 由导数的几何意义可知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 设 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ ( a － 3) x 的导函数是 f ′ ( x ) ，若 f ′ ( x ) 是偶函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在原点处的切线方程为 ___ _ ______. 解析　 ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ ( a － 3) ， 又 f ′ ( x ) 是偶函数， ∴ a ＝ 0 ，即 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3. ∴ k ＝ f ′ (0) ＝－ 3 ， ∴ 曲线 y ＝ f ( x ) 在原点处的切线方程为 3 x ＋ y ＝ 0. 3 x ＋ y ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 曲线 y ＝ e － 2 x ＋ 1 在点 (0,2) 处的切线与直线 y ＝ 0 和 y ＝ x 围成的三角形的面积为 ________. 解析　 ∵ y ′ ＝－ 2e － 2 x ， ∴ 曲线在点 (0,2) 处的切线斜率 k ＝－ 2 ， ∴ 切线方程为 y ＝－ 2 x ＋ 2 ， 该 直线与直线 y ＝ 0 和 y ＝ x 围成的三角形如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 因为函数 f ′ ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ， 函数 f ( x ) 图象上不存在斜率为 0 的切线， (1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 y ′ ＝ e x ，曲线 y ＝ e x 在点 (0,1) 处的切线的斜率 k 1 ＝ e 0 ＝ 1 ， 因为两切线垂直，所以 k 1 k 2 ＝－ 1 ， 所以 m ＝ 1 ， n ＝ 1 ，则点 P 的坐标为 (1,1). (1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知曲线 C ： f ( x ) ＝ x 3 － ax ＋ a ，若过曲线 C 外一点 A (1,0) 引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为 ________. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设切点坐标为 ( t ， t 3 － at ＋ a ). 由题意知， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 切线的斜率为 k ＝ y ′ | x ＝ t ＝ 3 t 2 － a ， ① 所以切线方程为 y － ( t 3 － at ＋ a ) ＝ (3 t 2 － a )( x － t ). ② 将点 (1,0) 代入 ② 式得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知函数 y ＝ f ( x ) 及其导函数 y ＝ f ′ ( x ) 的图象如图所示，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P 处的切线方程是 __________ _ ___. 解析答案 解析　 根据导数的几何意义及图象可知 ， 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ f ′ (2) ＝ 1 ， 又 过点 P (2,0) ，所以切线方程为 x － y － 2 ＝ 0. x － y － 2 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 当 a 为何值时， x 轴为曲线 y ＝ f ( x ) 的切线； 解　 设曲线 y ＝ f ( x ) 与 x 轴相切于点 ( x 0 ， 0 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 用 min{ m ， n } 表示 m ， n 中的最小值，设函数 h ( x ) ＝ min{ f ( x ) ， g ( x )}( x >0) ，讨论 h ( x ) 零点的个数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) ＝－ ln x <0 ， 从而 h ( x ) ＝ min{ f ( x ) ， g ( x )} ≤ g ( x )<0 ， 故 h ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 内无零点 . h (1) ＝ min{ f (1) ， g (1)} ＝ g (1) ＝ 0 ，故 x ＝ 1 是 h ( x ) 的零点； 故 x ＝ 1 不是 h ( x ) 的零点 . 当 x ∈ (0,1) 时， g ( x ) ＝－ ln x >0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 所以只需考虑 f ( x ) 在 (0,1) 上的零点个数 . ( ⅰ ) 若 a ≤ － 3 或 a ≥ 0 ， 则 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ a 在 (0,1) 内无零点，故 f ( x ) 在 (0,1) 上单调 . 当 a ≥ 0 时， f ( x ) 在 (0,1) 内没有零点 . ( ⅱ ) 若－ 3< a <0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12.(2016· 北京 ) 设函数 f ( x ) ＝ x e a － x ＋ bx ，曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程为 y ＝ (e － 1) x ＋ 4. (1) 求 a ， b 的值； 解　 f ( x ) 的定义域为 R . f ′ ( x ) ＝ e a － x － x e a － x ＋ b ＝ (1 － x )e a － x ＋ b . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求 f ( x ) 的单调区间 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 由 (1) 知 f ( x ) ＝ x e 2 － x ＋ e x ， 由 f ′ ( x ) ＝ e 2 － x (1 － x ＋ e x － 1 ) 及 e 2 － x ＞ 0 知 ， f ′ ( x ) 与 1 － x ＋ e x － 1 同号 . 令 g ( x ) ＝ 1 － x ＋ e x － 1 ，则 g ′ ( x ) ＝－ 1 ＋ e x － 1 . 所以当 x ∈ ( － ∞ ， 1) 时， g ′ ( x ) ＜ 0 ， g ( x ) 在区间 ( － ∞ ， 1) 上单调递减； 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ′ ( x ) ＞ 0 ， g ( x ) 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 故 g (1) ＝ 1 是 g ( x ) 在区间 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的最小值 ， 从而 g ( x ) ＞ 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ). 综上可知， f ′ ( x ) ＞ 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ( － ∞ ，＋ ∞ ).