（山东新高考）2020年高三数学最新信息卷（八）（Word版附答案）

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绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数 学（八） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设全集为 R ，集合 2{ | log 1}A x x  ， 2{ | 1}B x y x   ，则 ( )A B R ð （ ） A．{ | 0 2}x x  B．{ | 0 1}x x  C．{ | 1 1}x x   D．{ | 1 2}x x   2．若复数 4 iz   ，则 z z  （ ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．下列说法正确的是（ ） A．向量 (1, 1) a ， ( ,3)b ，若 a b，则 3  B．向量 (1,1)a ， ( 1,3) b ， ( 1,1) c ，若 ( ) ∥a b c ，则 1  C．向量 (3,4)a ， (2,1)b ，则| 2 | 10 a b D．向量 (3,4)a ， (0,1)b  ，则 a 在 b 方向上的投影为 5 4．在 ABC△ 中， BD DC  ， AP PD  ，且 BP AB AC     ，则    （ ） A．1 B． 1 2 C． 1 2  D． 1 2  5．设 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点， P 是C 上一点，若 1 2| | | | 6PF PF a  ，且 1 2PF F△ 的最小内角为30 ，则C 的离心率为（ ） A． 6 B． 6 C．3 D． 3 6．在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对应边分别为 a ，b ， c ，且 ABC△ 的面积 2 5 cosS C ， 且 1a  ， 2 5b  ，则边 c 的值为（ ） A． 15 B． 17 C． 19 D． 21 7． 2 4(1 2 )(1 )x x x   的展开式中含 3x 的项的系数为（ ） A． 8 B． 6 C．8 D． 6 8．若正三棱柱的所有棱长都为 3 ，则其外接球的表面积为（ ） A． 21π B．12π C． 9π D． 27π 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举 措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质 量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计 图，下列描述正确的是（ ） A．这五年，2015 年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019 年进口增速最快 10．若正三棱柱 ABC A B C   的所有棱长都为 3 ，外接球的球心为O ，则下列四个结论正确的是 （ ） A．其外接球的表面积为 21π B．直线 AB与直线 BC 所成角为 π 3 C． AO B C  D．三棱锥O ABC 的体积为 9 3 8 此 卷 只 装 订 不 密 封 班 级 姓 名 准 考 证 号 考 场 号 座 位 号 11 ． 已 知 函 数 2π( ) cos( )( 0)3f x x    ， 1x ， 2x ， 3 [0,π]x  ， 且 [0,π]x  都 有 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x  ，满足 2( ) 0f x  的实数 3x 有且只有 3 个，给出下列四个结论正确的是（ ） A．满足题目条件的实数 1x ，有且只有1个 B．满足题目条件的实数 2x ，有且只有1个 C． ( )f x 在 π(0, )10 上单调递增 D． 的取值范围是 13 19[ , )6 6 12．已知 P 是双曲线 2 2 125 16 x y  右支上一点， 1F 是双曲线的左焦点，O 为原点，若 1| | 8OP OF   ， 则下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 5 3 B．双曲线的渐近线为 4 5y x  C． 1 2PF F△ 的面积为 36 D．点 P 到该双曲线左焦点的距离是18 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．二项式 5 2 1( )x x  的展开式中常数项为________．所有项的系数和为________． 14．若 tan( ) 1   ， tan 3  ，则 tan 2  ________． 15．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体 后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm ， 高为10 cm ，打印所用原料密度为 30.9 g / cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量 为 g ．（ π 取3.14） 16．设 1F ， 2F 为椭圆 2 2: 13 xC y  的两个焦点， M 为C 上一点且在第一象限，若 1 2MF F△ 为直 角三角形，则 M 的坐标为 ． 四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） ABC△ 的内角 A ，B ，C 的对边分別为 a ，b ，c ，且 1 3 πsin cos , (0, )2 2 2 2 C C C   ， cos sin 2a B b A  ． （1）求 ABC△ 的外接圆的面积 S ； （2）求 a b 的取值范围． 18．（12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，SA  底面 ABCD ，ABCD 是边长为1的正方形，且 1SA  ， 点 M 时 SD 的中点． （1）求证： SC AM ； （2）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小． 19．（12 分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给活 动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在 [40,100]内，现将这些分数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图 形，如图所示，观察图形，回答下列问题． （1）算出第三组[60,70) 的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代表）． 20．（12 分）设向量 1 1( , )x ya ， 2 2( , )x yb ，定义一种向量积 1 2 1 2( , )x x y y a b ．已知 (2,2)m ， π( ,0)3 n ，点 P 在 siny x 的图象上运动，Q 是函数 ( )y f x 图象上的点，且OQ OP    m n （O 为坐标原点）． （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）求函数 ( )y f x  在 [0,π]x 上的单调递减区间． 21．（12 分）已知曲线 2 : 2 xC y  的焦点是 F ， A ， B 是曲线 C 上不同两点，且存在实数  使得 AF FB  ，曲线 C 在点 A ， B 处的两条切线相交于点 D ． （1）求点 D 的轨迹方程； （2）点 E 在 y 轴上，以 EF 为直径的圆与 AB 的另一交点恰好是 AB 的中点，当 2  时，求四边 形 ADBE 的面积． 22．（12 分）已知数 ( ) ( 1)xf x e a x b    ，其中 a ，b  R 为自然对数底数． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）若 0a  ，函数 ( ) 0f x  对任意的 x  R 都成立，求 a b 的最大值． 绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数学（八）答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由 2log 1x  ，得 0 2x  ，由 2 1 0x   ，得 2 1x  ，再得 1x   或 1x  ， 所以 ( ) { | 0 1}A B x x  R ð ． 2．【答案】C 【解析】 (4 i)(4 i) 16 ( 1) 17z z        ． 3．【答案】B 【解析】若 a b ，则 0 a b ，得 A 错误； (1 ,1 3 )     a b ，若 ( ) ∥a b c ，则1 1 3 0     ， 1  ，B 正确； 2 ( 1,2)  a b ，| 2 | 5 a b ，可判断 C 错误； a 在 b 方向上的投影为 4 4| | 1   a b b ，D 错误，故选 B． 4．【答案】C 【解析】 1 1 1 1 1 1 3 1( )2 2 2 4 2 4 4 4BP BA BD BA BC AB AC AB AB AC                    ， ∴ 3 1 1 4 4 2        ． 5．【答案】D 【解析】不妨设 1 2| | | |PF PF ，则 1 2| | | | 2PF PF a  ， 又 1 2| | | | 6PF PF a  ，解得 1| | 4PF a ， 2| | 2PF a ， 则 1PF F 是 1 2PF F△ 的最小内角为 30 ， 所以 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2| | | | | | 2 | | | | cos30PF PF F F PF F F     ， 所以 2 2 2 3(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 2a a c a c      ， 化简得 2 2 3 3 0e e   ，解得 3e  ． 6．【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积 1 sin 2 5 cos2S ab C C  ， 所以 tan 2C  ，所以 5cos 5C  ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 17c a b ab C    ，所以 17c  ． 7．【答案】D 【解析】展开合并同类项后，含 3x 的项是 3 3 2 2 2 1 1 3 4 4 41 C ( )C 2 C 6x x x x x x      ． 8．【答案】A 【解析】球心O 到下底面的距离 3 2OO  ， 2 3 3 33 2AO     ， 所以其外接球的 2 2 21 4R AO OO    ， 所以其外接球的表面积为 24π 21πR  ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】ABD 【解析】对于选项 A，观察 5 个白色条形图可知，这五年中 2015 年出口额最少，故 A 正确； 对于选项 B，观察五组条形图可得，2015 年出口额比进口额稍低， 但 2016 年至 2019 年出口额都高于进口额，并且 2017 年和 2018 年出口额都明显高于进口额， 故这五年，出口总额比进口总额多，故 B 正确； 对于选项 C，观察虚线折线图可知，2015 年到 2016 年出口增速是上升的，故 C 错误； 对于选项 D，从图中可知，实线折线图 2019 年是最高的，即 2019 年进口增速最快，故 D 正确． 10．【答案】ACD 【解析】球心O 到下底面的距离 3 2OO  ， 2 3 3 33 2AO     ， 所以其外接球的 2 2 21 4R AO OO    ，所以其外接球的表面积为 24π 21πR  ， A 正确； 直线 AB与直线 BC 所成角即直线 AB与直线 B C  所成角， 在 AB C △ 中， 2 2 2(3 3) 3 (3 3) 3cos 62 3 3 3       ，故 B 错误； OO  面 ABC ，得OO BC  ，O 为 ABC△ 的重心，则 AO BC  ， 故 BC  面 AOO，即 BC AO ，故 AO B C  ，C 正确； 根据体积公式可得 1 3 1 3 3 9 3( 3 )3 2 2 2 8O ABCV        ，D 正确． 11．【答案】ACD 【解析】 0  ， 2π 2π 2π[0,π] [ ,π ]3 3 3x x       ， 设 2π 3x t   进行替换，作 cosy t 的图象， 在[0,π]上满足 3( ) 0f x  的实数 3x 有且只有 3 个， 即函数 cosy t 在 2π 2π[ ,π ]3 3   上有且只有 3 个零点， 由图象可知 3π 2π 5π 2 3 2x   ，13 19 6 6   ，结论 D 正确； 由图象知 cosy t 在 2π 2π[ ,π ]3 3   上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点， 结论 A 正确，结论 B 错误； π(0, )10x 时， 2π 2π π 2π( , )3 3 10 3x      ， 由13 19 6 6   知 π 2π 7π 010 3 20      ，所以 cosy t 在 2π 2π( , )3 10 3 x  上递增， 则 ( )f x 在 π(0, )10 上单调递增，结论 C 正确， 综上，正确的是 ACD． 12．【答案】BD 【解析】由已知得 5a  ， 4b  ， 2 2 41c a b   ， 41 5 ce a   ， 双曲线的渐近线为 4 5y x  ， 取线段 1PF 的中点 M ，则 1 2| | | 2 | 8OP OF OM PF      ， 所以 1 2 2 10PF PF a   ，得 1 18PF  ， 故 1 2PF F△ 的面积为 26 2 41 ． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】5，32 【解析】展开式的通项为 5 5 5 2 2 1 5 52 1C ( ) ( ) C rr r r r rT x xx     ， 令 5 5 02 2 r  ，解得 1r  ，所以展开式中的常数项为 1 2 5C 5T   ， 令 1x  ，得到所有项的系数和为 52 32 ，得到结果． 14．【答案】 4 3 【解析】 tan tan( ) 3 1 1tan tan[ ( )] 1 tan tan( ) 1 3 1 2                     ， ∴ 2 12 42tan 2 1 31 ( )2      ． 15．【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为 cmx ，圆锥底面半径为 r ， 则 2 2 102 2 105 2 x xh x x r h     ， 5x  ， 所以，制作该模型所需材料质量约为 2 310.9( π , ) 0.3π 50 10 0.9 125 358.5 g3m V r h x         ． 16．【答案】 3( 2, )3 或 6 2( , )2 2 【解析】 2 3a  ， 2 1b  ，∴ 2 2 2 2c a b   ， 2c  ， 当 2F 为直角顶点时， 2F M x 轴， 设 0 0( 2, )( 0)M y y  ， M 在椭圆上，则 2 2 0 2 13 y  ，解得 0 3 2y  ， 当 M 为直角顶点时，点 M 在以 1 2F F 为直径的圆周上，此圆周的方程是 2 2 2x y  ， 与 2 2 13 x y  联立解得 6 2x   ， 2 2y   ， ∵ M 在第一象限，则 6 2( , )2 2M ， 综上， M 放入坐标为 3( 2, )3 或 6 2( , )2 2 ． 四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） 4π 3 ；（2） (2,4] ． 【解析】（1）∵ 2 3(sin cos ) 1 sin 12 2 2 C C C     ，∴ 3sin 2C  ， ∵ π(0, )2C  ，∴ π 3C  ， 由正弦定理知： 2 sin cos 2 sin cos 2 sin( ) 2 sin 2R A B R B A R A B R C c      ， ∴ 2 4 3 2 32sin 3 33 2 c R RC      ，∴ 2 4ππ 3S R  ． （2）由余弦定理得 2 2 2 2 2 2π2 2 cos 4 ( ) 3 ( ) 3( )3 2 a ba b ab a b ab a b           ， ∴ 2( ) 16 4 4a b a b       ， 而在 ABC△ 中， 2a b c   ，∴ (2,4]a b  ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） 45． 【解析】（1）由题意底面 ABCD 是正方形， SA  底面 ABCD ， 1SA AD  ，CD  平面 ABCD ，∴ SA CD ， ∵CD AD ， AD SA A ，∴ CD  平面 SAD ， 又∵ AM  平面 SAD ，∴CD AM ， 又 1SA AD  ，点 M 是 SD 的中点，∴ AM SD ， ∵ SD CD D ，∴ AM  平面 SCD ， ∵ SC  平面 SCD ，∴ SC AM ． （2）过 S 引直线 SE ，使 SE AB∥ ，则 SE CD∥ ， ∴ SE 在平面 SAB 内， SE 在平面 SCD 内， ∴ SE 就是平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的棱， 由条件知， AB AD ， AB AS ， 已知 AS AD A ，则 AB 平面 ASD ， 由作法知， SE AB∥ ，则 SE  平面 ASD ，所以 AS AE ， SE SD ， ∴ ASD 就是平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的平面角， 在 SADRt△ 中， 45ASD   ， ∴在平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小等于 45． 19．【答案】（1）18 人，频率分布直方图见解析；（2）众数为 75分，中位数为 75分，平均数为 73.5分． 【解析】（1）因为各组的频率之和等于1， 所以分数在[60,70) 内的频率为1 10(0.05 0.015 0.030 0.025 0.010) 0.15      ， 所以第三组[60,70) 的频数为120 0.15 18  人， 完整的频率分布直方图如图： （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为 75分； 0.05 0.15 0.15 0.35 0.50    ， 0.05 0.15 0.15 0.30 0.65 0.50     ， 设样本中位数为 0x ，则 0 [70,80)x  ， 00.005 10 0.015 10 0.015 10 0.030 ( 70) 0.50x         ，解得 0 75x  ； 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为 45 (10 0.005) 55 (10 0.015) 65 (10 0.015)        75 (10 0.03) 85 (10 0.025) 95 (10 0.01) 73.5          分， 所以样本的众数为 75分，中位数为 75分，平均数为 73.5分． 20．【答案】（1） 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x   ；（2） 2π[0, ]3 ． 【解析】（1）设 ( , )Q x y ， 0 0( , )P x y ， 由新的运算可得 0 0 0 0 π π(2,2) ( ,sin ) ( ,0) (2 ,2sin )3 3OQ OP x x x x         m n ， ∵ ( , )OQ x y ，∴ 0 0 0 π2 1 π3 2 62sin x x x x y x         ，代入 02siny x ， ∴ 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x   ． （2）∵ 1 π 1 π( ) 2sin( ) 2sin( )2 6 2 6y f x x x        ， 由题意，只需求函数 1 π2sin( )2 6y x  的单调递增区间， 由 π 1 π π2 π 2 π2 2 6 2k x k     ， k  Z 4π 2π4 π 4 π3 3k x k     ， k  Z ， ∴函数 ( )y f x  的单调递减区间为 4π 2π[4 π ,4 π ]3 3k k  ， k  Z ， ∴函数 ( )y f x  在 [0,π]x 上的单调递减区间为 2π[0, ]3 ． 21．【答案】（1） 1 2y   ；（2） 27 2 16 ． 【解析】（1）曲线 2 : 2 xC y  就是抛物线 2 2x y ，它的焦点坐标为 1(0, )2F ， 存在实数  使得 AF FB  ，则 A ， B ， F 三点共线， 当直线斜率不存在时，不符合题意； 当直线l 斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 1 2y kx  ，与 2 2x y 联立消去 y ， 整理得 2 2 1 0x kx   ，判别式 24( 1) 0Δ k   ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1x ， 2x 就是方程 2 2 1 0x kx   的两实根， 1 2 2x x k  ， y x  ，切线斜率 11 1|x xk y x  ， 则曲线 C 在点 2 1 1( , )2 xA x 处的切线方程是 2 1 1 1( )2 xy x x x   ，即 2 1 1 2 xy x x  ①， 同理得曲线 C 在点 B 处的切线方程是 2 2 2 2 xy x x  ②， 联立①②即可求解两切线交点 D 的坐标， ① 2x  ② 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1:( ) ( )2 2 2 x x x xx x x y x x x x       ，已知 1 2x x ， 1 2 1x x   ， 所以，上式化简为 1 2y   （表示水平之嫌，不必求 x ）， 所以，两切线交点 D 的轨迹方程是 1 2y   ． （2）已知 2  ，在（1）的解答的基础上， 1 1 12 (0 , )2AF FB x y     2 2 1 2 1 2 12( 0, ) 2 22x y x x x x         ， 1 2 1 1 2 2 42 x x x kx x k       ， 2 2x k  ，代入 1 2 1x x   中，解得 2 1 8k  ， 注意到对称性，求四边形 ADBE 面积，只需取 2 4k  即可， 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x       2 2 2 9= 1 (2 ) 4 2(1 ) 4k k k      ， 设 AB 中点为 0 0( , )G x y ，则 1 2 0 2 2 4 x xx k   ， 2 0 0 1 1 5 2 2 8y kx k     ， 已知点 G 在以 EF 为直径的圆周上，则 EG GF ， 设 (0, )E t ，由 EG GF ，得 0GE GF   ，解得 13 8t  ，则 13(0, )8E ， 将直线 AB 的方程 2 1 04 2x y   化为 2 2 2 0x y   ， 则点 E 到 AB 的距离 1 13| 0 2 2 2 | 3 28 41 8 d       ， 所以 1 1 1 9 3 2 27 2| |2 2 4 4 32ABES AB d     △ ， 在（1）的解答种，联立①②消去 y 解得 1 2 2 x xx k  ， 则两切线交点坐标为 1( , )2D k  ， 2  时， 2 4k  ， 此时，点 D 的坐标为 2 1( , )4 2  ， D 到 AB 的距离 2 2 1| 2 2 ( ) 2 | 3 24 2 41 8 d        ， 所以 2 1 27 2| |2 32ABDS AB d  △ ， 又已知 D ， E 在 AB 两侧，所以 27 2 27 2 27 2 32 32 16ADBE ABE ABDS S S    △ △ ． 22．【答案】（1）见解析；（2） 2e ． 【解析】（1）∵ ( ) xf x e a   ， ①当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 R 上单调递增； ②当 0a  时，由 ( ) 0f x  ，得 lnx a ． 当 ( ,ln )x a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 当 (ln , )x a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增． （2）由题意 ( ) 0f x  对任意的 x  R 都成立，则 ( 1)xe a x b   在 x  R 都成立， 在 xy e 上任取一点( , )tt e ， ∵ xy e  ， ∴ xy e 在点 ( , )tt e 处的切线方程为 ( )t t t t ty e e x t y e x te e       ， 若令 ta e ，由 xe ax a b   在 x  R 都成立，只需 t ta b te e     成立， 即 3 t ta b e te   成立． 令 ( ) 3 t tg t e te  ， ( ) (2 )tt g t e t   R ， 令 ( ) 0g t  ，解得 2t  ， ∴当 ( ,2)t   时， ( ) 0g t  ， ( )g t 单调递增； 当 (2, )t   时， ( ) 0g t  ， ( )g t 单调递减， 则 2 2 2 max( ) (2) 3 2g t g e e e    ，∴ 2a b e  ，∴ a b 最大值为 2e ．