数学卷·2018届浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）‎ ‎2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0‎ ‎3．若x＞0，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．4‎ ‎4．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（　　）‎ A．π B．2π C．4π D．8π ‎5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎7．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（　　）‎ A．[1，9） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[2，9]‎ ‎8．以下四个命题中正确的个数是（　　）‎ ‎（1）若x∈R，则x2+≥x；‎ ‎（2）若x≠kπ，k∈Z，则sinx+≥2；‎ ‎（3）设x，y＞0，则的最小值为8；‎ ‎（4）设x＞1，则x+的最小值为3．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷相应位置）‎ ‎9．求函数y=的定义域．‎ ‎10．已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是　　．‎ ‎11．设正方体的内切球的体积是，那么该正方体的棱长为　　．‎ ‎12．已知关于关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为　　．‎ ‎13．不等式组所表示的平面区域的面积为　　．‎ ‎14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行；‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°角；‎ ‎④DM与BN是异面直线．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是　　．‎ ‎15．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（8分）已知集合A={x|x2+3x﹣10＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集为R，求A∩B和A∪（∁RB）‎ ‎17．（10分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．‎ ‎18．（10分）求函数y=的最值．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．‎ ‎【解答】解：原不等式同解于 ‎（2x+1）（x﹣1）＞0‎ ‎∴x＞1或x＜‎ 故选：D ‎【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．‎ ‎　‎ ‎2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示 在坐标系中画出可行域 平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，‎ 则目标函数z=2x+y的最小值为2．‎ 经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，‎ 则目标函数z=2x+y的最大值为：4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．‎ ‎　‎ ‎3．若x＞0，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．2 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于x＞0且x与的乘积是常数，故先利用基本不等式；再分析等号成立的条件，得到函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0‎ ‎∴=4‎ 当且仅当即x=2时取等号 所以的最小值为4‎ 故选D ‎【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时需注意满足的条件：一正、二定、三相等．‎ ‎　‎ ‎4．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（　　）‎ A．π B．2π C．4π D．8π ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．‎ ‎【解答】解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，‎ 因为圆柱的侧面积是4π，‎ 所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，‎ 圆柱的体积：π×12×2=2π．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎∵D1C∥A1B，‎ ‎∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，‎ ‎∵A1D=A1B=BD，‎ ‎∴△A1BD是等边三角形，‎ ‎∴∠DA1B=60°，‎ ‎∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项 ‎【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，‎ 则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π 故选C ‎【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键 ‎　‎ ‎7．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（　　）‎ A．[1，9） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[2，9]‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】若m﹣1=0，即m=1时，满足条件，若m﹣1≠0，即m≠1，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的不等式，进而得到m的取值范围 ‎【解答】解：当m﹣1=0，即m=1时，‎ 原不等式可化为2＞0恒成立，‎ 满足不等式解集为R，‎ 当m﹣1≠0，即m≠1时，‎ 若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，‎ 则，‎ 解得：1＜m＜9；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，不等式恒成立问题，是函数和不等式的综合应用，难度不大，属于基础题 ‎　‎ ‎8．以下四个命题中正确的个数是（　　）‎ ‎（1）若x∈R，则x2+≥x；‎ ‎（2）若x≠kπ，k∈Z，则sinx+≥2；‎ ‎（3）设x，y＞0，则的最小值为8；‎ ‎（4）设x＞1，则x+的最小值为3．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）作差配方为x2+﹣x=≥0，即可判断出正误；‎ ‎（2）取x=，sinx+=﹣2＜0，即可判断出正误；‎ ‎（3）设x，y＞0，则=5+，利用基本不等式的性质即可判断出正误；‎ ‎（4）设x＞1，则x﹣1＞0，变形x+=（x﹣1）++1，利用基本不等式的性质即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：（1）若x∈R，则x2+﹣x=≥0，当x=时取等号，∴x2+≥x，正确；‎ ‎（2）若x≠kπ，k∈Z，取x=，sinx+=﹣2＜0，因此不成立；‎ ‎（3）设x，y＞0，则=5+=9，当且仅当x=2y＞0时取等号，其最小值为9，因此不正确；‎ ‎（4）设x＞1，则x﹣1＞0，∴x+=（x﹣1）++1=+1=3，当且仅当x=2时取等号，∴最小值为3，正确．‎ 综上可得：只有（1）（4）正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷相应位置）‎ ‎9．求函数y=的定义域．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】直接利用对数的真数大于0，分母不为0，列出不等式组求解即可．‎ ‎【解答】解：函数y=，‎ 要使函数y有意义，可得 ‎，‎ 解得，‎ 即x＜﹣1，‎ 所以函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义域求法问题，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎10．已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是　相交或异面　．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．‎ ‎【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a ‎∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：‎ 若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．‎ 故答案为：相交或异面．‎ ‎【点评】此题考查了空间中两直线的位置关系：相交，平行，异面．做题中我们可采用逐个验证再结合反证法的使用即可达到目的，这也不失为常用的解题方法！‎ ‎　‎ ‎11．设正方体的内切球的体积是，那么该正方体的棱长为　4　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先求球的半径，直径就是正方体的棱长，然后求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：正方体内切球的体积是，则外接球的半径R=2，‎ ‎∵正方体的棱长为外接球的直径，‎ ‎∴棱长等于4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查正方体的内切球问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知关于关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为　（，2）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由已知得ax2+bx+c=0的两个根为﹣2和﹣，利用根与系数关系得到系数的比，‎ 由此化简不等式ax2﹣bx+c＞0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），‎ ‎∴a＜0，且﹣，﹣2为方程ax2+bx+c=0的两根，‎ ‎∴﹣+（﹣2）=﹣，且﹣×（﹣2）=；‎ ‎∴b=a，c=a，‎ ‎∴不等式ax2﹣bx+c＞0可化为ax2﹣ax+a＞0，‎ ‎∴2x2﹣5x+2＜0，‎ 即（2x﹣1）（x﹣2）＜0，‎ 解得＜x＜2，‎ ‎∴不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（，2）．‎ 故答案为：（，2）．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程根与系数关系的应用问题，是出错题．‎ ‎　‎ ‎13．不等式组所表示的平面区域的面积为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】‎ 利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象，找出对应的平面区域，结合相应的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 则由得，即A（0，），‎ 由得，即B（0，3），‎ 由得，即C（1，1），‎ 则三角形的面积S=|AB|•h=（3﹣）×1==，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行；‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°角；‎ ‎④DM与BN是异面直线．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是　③④　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．‎ ‎【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：‎ ‎①BM与ED平行；错误的，是异面直线；‎ ‎②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；‎ ‎③CN与BM成60°；正确；‎ ‎④DM与BN是异面直线．正确 判断正确的答案为③④‎ 故答案为：③④‎ ‎【点评】本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为　　．‎ ‎【考点】组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积．‎ ‎【解答】解：几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，‎ 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，‎ 所以圆锥的底面半径是：1，高为，‎ 球的半径为r， r=，‎ 所以圆锥的体积：，‎ 球的体积：，‎ 阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查旋转体的体积，组合体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16．已知集合A={x|x2+3x﹣10＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集为R，求A∩B和A∪（∁RB）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】化简集合A、B，根据交集与并集、并集的定义计算即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2+3x﹣10＜0}={x|﹣5＜x＜2}，‎ B={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，‎ 且全集为R，‎ 所以A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}，‎ ‎∁RB={x|﹣1＜x＜3}，‎ A∪（∁RB）={x|﹣5＜x＜3}．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）（2016秋•乐清市校级期中）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（I）分别求出直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V．三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1．即可得出多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1；‎ ‎（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．‎ ‎【解答】解：（I）直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V==2．‎ 三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1=A′E==．‎ ‎∴多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1=；‎ ‎（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．‎ 可得四边形CFDC′是矩形．‎ ‎∴C′D∥CF．‎ ‎∴∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．‎ 在Rt△C′DE中，C′D=，C′E=．‎ ‎∴cos∠EC′D===．‎ ‎∴异面直线C′E与CF所成角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了直三棱柱的体积及其性质、异面直线所成的角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016秋•乐清市校级期中）求函数y=的最值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：①x＞0时，函数f（x）=y==x+13≥+13=25，当且仅当x=6时取等号，此时函数f（x）取得最小值25．‎ ‎②x＜0时，函数y=f（x）==x+13=﹣（﹣x+）+13≤﹣+13=1，当且仅当x=﹣6时取等号，此时函数f（x）取得最大值1．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•乐清市校级期中）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）应用一元二次不等式恒成立时判别式△≤0，求出a的取值范围；‎ ‎（2）问题转化为不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立，由此求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），‎ 且关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，‎ ‎∴△=（a+1）2﹣4≤0，‎ 解得﹣3≤a≤1，‎ ‎∴实数a的取值范围是﹣3≤a≤1；‎ ‎（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是P，‎ 集合Q={x|0≤x≤1}，当 P∩Q=∅时，‎ 即不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立；‎ ‎∴x∈[0，1]时，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，‎ ‎∴a+1＜x+对于x∈（0，1]时恒成立；‎ ‎∴a+1＜2，‎ 即a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是a＜1．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程以及对应不等式的解法与应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎