2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

‎2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试（理科数学）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率　（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）‎ ‎78 16 65 72 08  02 63 14 07 02  43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49  55 80 20 36 35  48 69 97 28 01 ‎ A. 05 B. 09 C. 07 D. 20‎ 3. 已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1， 3，1），则（ ）‎ A. 与是共线向量 B. 的单位向量是1， C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 4. 用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x-8在x=-4时的值，V2的值为（　　）‎ A. B. 220 C. D. 34‎ 5. 在一次数学竞赛中，高一•1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1-30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73，90]上的学生人数为（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试（理科数学）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率　（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）‎ ‎78 16 65 72 08  02 63 14 07 02  43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49  55 80 20 36 35  48 69 97 28 01 ‎ A. 05 B. 09 C. 07 D. 20‎ 3. 已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1， 3，1），则（ ）‎ A. 与是共线向量 B. 的单位向量是1， C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 4. 用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x-8在x=-4时的值，V2的值为（　　）‎ A. B. 220 C. D. 34‎ 5. 在一次数学竞赛中，高一•1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1-30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73，90]上的学生人数为（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 1. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在正方体中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱、的中点，则直线 （　　）‎ A. 和AC、MN都垂直 B. 垂直于AC，但不垂直于MN C. 垂直于MN，但不垂直于AC D. 与AC、MN都不垂直 3. 下列有关命题的说法错误的是（　　）‎ A. 若“”为假命题，则p，q均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”的必要不充分条件是“” D. 若命题p：，，则命题：，‎ 4. 如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|·|CD|的值是（　　）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ 5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（　　）‎ A. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和 B. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和 C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 A. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和 ‎ 1. 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（  ）‎ A. 2 B. C. D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 9075   9660   1918   9257    2716    9325    8121    4589   5690    6832 4315   2573   3937   9279    5563    4882    7358    1135   1587    4989 据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为______ ．‎ 1. 已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于_______．‎ 2. 在棱长为2的正方体△ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N的距离为__________.‎ 3. 以下五个关于圆锥曲线的命题中： ①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为； ②点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆； ④若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．‎ ⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 其中真命题的序号是______ ．（写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 4. 某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． （Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． ‎ 1. 移动公司为提升其文化品牌，特地从国外进口了某种音响设备，该设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据如下表： ‎ xi ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ yi ‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎ (Ⅰ)求所支出的维修费y对使用年限的线性回归方程； (Ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？(附：在线性回归方程中，‎ ‎，；其中，为样本平均值．) ‎ 2. 已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等． （1）求圆心M的轨迹方程； （2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|=8，求k的值． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC． （1）证明：A1O⊥平面ABC； （2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且  求证：； 线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由． ‎ ‎ ‎ 1. 设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值． ‎ 答案和解析 一、选择题 ‎1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C ‎11.【答案】B 12.【答案】A 二、填空题 ‎13.【答案】0.35 14.【答案】4 15.【答案】​ 16.【答案】②④⑤‎ 三、解答题 ‎17.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人， 女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人． （Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是， 所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人， 设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3， 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： {A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}， {A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个， 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”， 则事件C包含的基本事件有： {A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个， 所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为． 18.【答案】解：（Ⅰ）经计算，‎ ‎， 又，故线性回归方程为． （Ⅱ）当使用年限为年时，支出的维修费估计为万元． 19.【答案】解：（1）∵圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等， ∴圆心M的轨迹为抛物线，且，解得p=2， ∴圆心M的轨迹方程为x2=4y； （2）联立消去y并整理，得x2-4kx+8=0， 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=8， ， 解得，结合已知得． ‎ ‎20. 【答案】（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点， ∴A1O⊥AC， 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC； （2）解：如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0）， ， 平面A1BC1的法向量为， 则有， 所以的一组解为， 设直线AB与平面A1BC1所成角为α， 则sinα= 又∵===‎ ‎， 所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值：． ‎ ‎21.【答案】证明：，， ，， E为AD的中点，， ≌，， ， ， ，平面ABCD，平面ABCD，，‎ 又，且PH，平面PEC，平面PEC，‎ 又平面PEC，． 解：由可知∽， 由题意得，， ，，，，， 、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系， 0，，0，，4，，0，，0，， 假设线段PC上存在一点F满足题意， 与共线， 存在唯一实数，，满足，解得， 设向量y，为平面CPD的一个法向量， 且，， ，取，得， 同理得平面CPD的一个法向量， ‎ 二面角的余弦值是， ∴|cos＜＞|===，由，解得，‎ ‎22.【答案】解：（Ⅰ）由已知，） 因为故所求椭圆的方程为; （Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知x1=x2，y1=-y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得， 此时点O到直线AB的距离为 ②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m． 联立得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0 所以， 由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且 故 化简得5m2=4（1+k2）， 故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值 法二：（若设直线方程为l：x=my+c，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 ‎ 又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得， 此时点O到直线AB的距离为 ②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c． 联立得：（m2+4）y2+2cmy+c2-4=0 所以， 故， 即,所以, 所以, 化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为 综上，点O到直线AB的距离为定值 （Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1; 当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k， 则直线OB的斜率为，由得， 同理故 令1+k2=t（t＞1），则 故综上，△AOB面积S的最小值为． 法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，， ②当直线l的斜率存在时，5m2=4（1+k2），且点O到直线AB的距离为， ‎ ‎​= 故， 令1+4k2=t（t≥1），则， 因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为． ‎