2019-2020学年吉林省长春市榆树市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省长春市榆树市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省长春市榆树市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知,则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，等价与，即，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知，则函数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据均值定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当即时等号成立，即取得最小值.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查均值定理，解决本题的关键是“一正、二定、三相等”，属于较易题.‎ ‎3．下列曲线中离心率为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于离心率，所以此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，此曲线为椭圆，，离心率，不符合；对于选项D，为椭圆，离心率，符合，选D.‎ ‎4．在中，且的面积为，则的长为（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 且的面积为.‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中求三角形面积问题，属于较易题.‎ ‎5．若抛物线的焦点坐标为，则（ ）‎ A．12 B．6 C．3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线标准方程，可知抛物线的焦点坐标为，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为 即 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，属于较易题.‎ ‎6．已知双曲线上有一点M到左焦点的距离为18，则点M到右焦点的距离是（ ）‎ A．8 B．28 C．8或28 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|﹣|MF2||＝2a＝10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线的a＝5，b＝3，c，‎ 由双曲线的定义可得||M|﹣|MF2||＝2a＝10，‎ 即为|18﹣|MF2||＝10，解得|MF2|＝8或28．‎ 检验若M在左支上，可得|M|≥c﹣a5，成立；‎ 若M在右支上，可得|M|≥c+a5，成立．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，注意检验M的位置，属于基础题．‎ ‎7．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4‎ 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D ‎8．已知正实数满足，则的最小值（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时的最小值为3.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎9．短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，“丙得第三名”为，若是真命题，是假命题， 是真命题，则选拔赛的结果为（ ）‎ A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 ‎【答案】D ‎【解析】由“是真命题”、“是假命题”知，命题一真一假；由“ 是真命题”可得为真命题，为真命题，故为假命题。综上可得为真命题，为假命题，为真命题，从而可得到结论“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”。选D。‎ ‎10．递增的等比数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由为递增的等比数列，可知，与联立求解，，确定公比，再根据，求解，即可.‎ ‎【详解】‎ 为递增的等比数列 ‎①，‎ 又②‎ ‎①②联立解得，，即 即 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求通项公式，属于中档题.‎ ‎11．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）‎ A． B． C．或 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据空间向量夹角余弦公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，‎ 即解得 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量夹角余弦，属于较易题.‎ ‎12．如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ）‎ A． B．16 C．8 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，‎ 则四边形为平行四边形.‎ 线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.‎ ‎，则为二面角的平面角，即 ‎，如图所示.‎ 为等边三角形，‎ ‎，，，平面，平面 平面 又平面 在中 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查空间的距离问题，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据长方体中，已知，，可知，，，写出点的坐标即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，，，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直角坐标系中点的坐标，属于容易题.‎ ‎14．若满足约束条件则的最大值为_______________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】根据约束条件画出可行域，利用数形结合，求目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件画出可行域，如图所示 由图象可知，当目标函数，过点时，取得最大值，最大值为 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，同时也考查了数形结合思想，属于中档题.‎ ‎15．若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，‎ 等价于∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题， ∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（-∞，-1]． 故答案为（-∞，-1]．‎ ‎16．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，‎ ‎．∴．‎ 设点的坐标为，则，‎ 又，解得，‎ ‎，解得（舍去），‎ 的坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．‎ 三、解答题 ‎17．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.‎ ‎(1)求B的大小．‎ ‎(2)若，，求b.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，又因B为锐角，解得。‎ ‎(2)由题得，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题。‎ ‎18．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎19．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：‎ 产品A(件)‎ 产品B(件)‎ 研制成本与塔载 费用之和(万元/件)‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大资 金额300万元 产品重量(千克/件)‎ ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载 重量110千克 预计收益(万元/件)‎ ‎80‎ ‎60‎ 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？‎ ‎【答案】‎ 作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， ，‎ 解得，即M(9,4)．‎ 所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．‎ 答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元 ‎【解析】略 ‎20．已知数列的首项且．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，求出它的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用配凑法将配成数列是等比数列，且首项为，公比为.所以，；（2）化简得，这是一个等差数列乘以一个等比数列，因此用错位相减法求其前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1），即，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，‎ ‎，．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎,‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎【考点】递推数列求通项，错位相减法．‎ ‎【方法点晴】错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.‎ ‎21．如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.‎ ‎(1)当为中点时，，求证：面 ‎(2)当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）存在，‎ ‎【解析】（1）法一：建立空间直角坐标系，找坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，证明即可.法二：取BP的中点E，连接，，则，根据线面平行的判定定理证明即可.‎ ‎（2）假设存在点M，根据，求点M的坐标，求平面的法向量为，根据，求解，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)方法一：证明：因为平面，，平面.‎ 所以.‎ 又，所以，，两两垂直. ‎ 分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.‎ 则，.‎ 显然平面的法向量为，则 又不在平面内，所以平面.‎ 方法二：取的中点，连接，‎ 由为的中点，可知 在平面四边形中，‎ 即，所以，即 由已知得 所以，四边形是平行四边形，所以 因为平面，平面 所以平面 ‎(2)假设存在点M使得与平面所成角的正弦值为 则，所以 为中点，则，即 设平面的法向量为 ‎∴，不妨设，则 ‎∴‎ 设线面角为，则 解得或1（舍去）‎ ‎∴时，直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，以及根据线面角的正弦值确定动点位置，考查了空间向量法的应用，考查了运算能力，属于较难题.‎ ‎22．已知椭圆．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.‎ ‎（1）由题意，椭圆C的标准方程为，‎ 所以，从而，‎ 因此，故椭圆C的离心率.‎ ‎（2）设点A，B的坐标分别为，其中，‎ 因为，所以，即，解得，又，‎ 所以==‎ ‎==，‎ 因为，且当时间等号成立，所以，‎ 故线段AB长度的最小值为.‎ ‎【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎