数学理卷·2017届江西省临川学校高三第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届江西省临川学校高三第一次模拟考试（2017

江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟考试 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，集合，集合，若，则等于（ ）‎ A．－1 B．2 C．4 D．1‎ ‎2.已知(其中为的共轭复数，为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知实数满足，，则等于（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．‎ ‎5.的展开式中含项的系数为（ ）‎ A．16 B．8 C．－40 D．40‎ ‎6.已知为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法（“少广”算法），其方法的前两步如下.第一步：构造数列.①‎ 第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列.‎ 则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中①和②可以分别填写 ‎（ ）‎ A．和 B．和 ‎ C．和 D．和 ‎9.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知变量满足则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 设函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知两个单位向量互相垂直，且向量，则 ．‎ ‎14.从这十个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是6的概率为 ．‎ ‎15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.已知数列的首项为，前项和为，且（且），.若，则使数列为等比数列的所有数对为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，在中，，且，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）已知在线段上，且，求的值.‎ ‎18. 我们国家正处于老龄化阶段，“老有所依”也是政府的民生工程.为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表.‎ ‎（1）若采用分层抽样的方法，再从样本中不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？‎ ‎（2）据统计该市大约有的户籍老人无固定收入,且在各健康状况人群中所占比例相同，政府计划每月为这部分老人发放生活补贴，标准如下：‎ ‎①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；‎ ‎②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；‎ ‎③不能自理的老人每人每月额外再发放生活补贴100元.‎ 若用频率估计概率，设任意户籍老人每月享受的生活补贴为元，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面底面，，.‎ ‎（1）证明:；‎ ‎（2）若，与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为1，且到焦点的距离为2.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎21. 已知函数且.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间与极值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，),在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，若曲线与的公共点都在上，求的值.‎ ‎23.已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,，求的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1.A 本题考査集合中的交集.因为，则且,所以,即，故.‎ ‎2.C 本题考査复数的概念及运算.因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点在第三象限.‎ ‎3.A 本题考査两条直线相互垂直的条件和双曲线的性质.依题意，双曲线的一条渐近线的斜率为,于是,则双曲线的方程为.‎ ‎4.A 本题考査指数函数和对数函数.，所以,得，则.‎ ‎5.B 本题考査二项式定理.∵，所以项的系数由中与的系数决定，即.‎ ‎6.D 本题考査空间线面位置关系、充分条件的判断.A、B、C项错误，满足条件的和平面 可能平行；D项正确，，结合知.‎ ‎7.C 本题考査数列的裂项求和.由题意，所得新数列为，所以.‎ ‎8.C 本题考査程序框图.程序运行过程中，各变量值如下.‎ 第一次循环:；第二次循环: ；第三次循环: ；依此类推，因为构成首项为1，公差为2的等差数列，由，得，即该程序循环了500次，故应填入和.‎ ‎9.A 本题考査三角函数的图象和性质.因为函数，然后将其图象向左平移个单位后得到，由平移后的图象知，平移后的图象在处取最小值，则,‎ ‎∴,又，∴，.‎ ‎10.D 本题考査空间几何体的表面积.几何体为一个三棱柱与一个半圆柱的组合，其中三棱柱的高为2,底为一个等腰直角三角形,腰长为2；半圆柱的高为1，底面是半径为1的半圆.所以表面积为.‎ ‎11.A 本题考査线性规划及函数单调性.因为，令，则表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形可知，联立方程可以求出，所以.令，由函数的单调性求得，所以的取值范围是.‎ ‎12.C 本题考査导数的应用和三次函数的值域.‎ 记在上的值域为，在上的值域为.‎ ‎∵对，，使得，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 令得:或,令得,易得, ‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为或，的最大值为或，‎ ‎∵，且，∴或，∴或，即或，又∵，∴ ；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为，∵,且，∴，即.‎ 综上可知，或.‎ ‎13.5 本题考査向量垂直的性质及向量的模.因为两个单位向置互相垂直，且向量，所以，，.‎ ‎14. 本题考査古典概型.从10个数中任取5个不同的数，有种方法，若5个数的中位数为6,则只需从0,1,2,3,4,5中选两个，再从7,8,9中选两个不同的数即可，有种方法，故这5个数的中位数为6的概率.‎ ‎15. 本题考查直线与椭圆相交问题.设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，‎ 代入椭圆方程可得，由,即有，解得.‎ ‎16. 本题主要考査等比数列的应用.‎ 当时，由，解得.‎ 当时，,∴，即.‎ 又,∴，即是首项为,公比为的等比数列，∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 若为等比数列，则有解得 故满足条件的数对是.‎ ‎17.解:本题考査利用正余弦定理解三角形.‎ ‎（1）记，∵，且，故.∵，且,故，即.在中，‎ ‎，解得，‎ 所以，故的面积.‎ ‎（2）依题意,，，‎ 即，故.‎ ‎18.解:本题考査频数分布图与数学期望. ‎ ‎（1）数据整理如表.‎ 由图表知不能自理的老人中80岁及以上老人所占比率为，故抽取16人中不能自理的80岁及以上老人有人，不能自理的80岁以下老人有6人. ‎ ‎（2）可取，则,, ,,.‎ 的分布列为 ‎.‎ ‎19.解:本题考査空间直线的垂直判定和线线角、二面角的求法.‎ ‎（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,‎ ‎∴. ‎ ‎（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，而,得,‎ 又，故.‎ 设，则由，得，而，‎ 由，得，则,‎ 所以.‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由得可取，‎ 由得可取，‎ 从而法向量的夹角的余弦值为.‎ 由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：本题考查抛物线的性质和定点问题.‎ ‎（1）由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以.故抛物线 的标准方程为. ‎ ‎（2）设点，由题意得 (否则,不满足)，且，‎ 设直线的方程分别为，‎ 联立解得；联立，解得.‎ 则由两点式得直线的方程为.‎ 化简得.①‎ 因为，且得,‎ 可得.②‎ 将②代人①，化简得，‎ 即,令,得.‎ 所以直线恒过定点. ‎ ‎21.解:本题综合考査函数的性质及导数的应用.‎ ‎（1）当时，函数，‎ ‎，‎ 当时,，当时，.‎ 所以函数的单调增区间为,单调减区间为，‎ 当时，函数取极大值，无极小值. ‎ ‎（2）令，根据题意，当时，恒成立.‎ ‎.‎ ‎①当，时，恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎②当，时，恒成立，‎ 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；‎ ‎③当时，,恒有,故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，‎ 即,解得，故. ‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎22.解:本题考査参数方程和极坐标方程的应用.‎ ‎（1）消去参数得到的普通方程,将代入的普通方程，得到的极坐标方程,.‎ ‎（2）曲线与的公共点的极坐标满足方程组,若，‎ 由方程组得,由已知，可解得,‎ 根据,得到,当时，极点也为的公共点都在上，所以. ‎ ‎23.解:本题考査绝对值不等式的解法及基本不等式的应用.‎ ‎（1）由于由函数的图象可知.‎ ‎（2）由已知,有， ‎ 因为(当时取等号)，(当时取等号)，‎ 所以，即，‎ 故的最大值为2. ‎