2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．且f（n0）＞n0‎ D．或f（n0）＞n0‎ ‎2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（　　）‎ A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣‎ ‎5．（5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．（5分）函数，则（　　）‎ A．x=e为函数f（x）的极大值点 B．x=e为函数f（x）的极小值点 C．为函数f（x）的极大值点 D．为函数f（x）的极小值点 ‎8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知数列{an}，a1=1，，则a10的值为（　　）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2+ B．2+ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若，则=　 　．‎ ‎14．（5分）=　 　．‎ ‎15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为　 　．‎ ‎16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设数列{an}满足a1=1，an+1=3an，n∈N+．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．‎ ‎19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．‎ ‎20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x2ex．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．且f（n0）＞n0‎ D．或f（n0）＞n0‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，‎ ‎∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，‎ ‎∴，解得b=﹣3，a=﹣7．‎ 则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，‎ 反之成立，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查等比数列，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（　　）‎ A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣‎ ‎【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；‎ 所以：2p=，即p=，‎ 所以：=，‎ 所以准线方程y=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式，求出d，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，‎ ‎∴a8=1+7d=9，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义，求出椭圆的几何量，求解椭圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆，‎ 可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．‎ 则顶点C的轨迹方程是：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数，则（　　）‎ A．x=e为函数f（x）的极大值点 B．x=e为函数f（x）的极小值点 C．为函数f（x）的极大值点 D．为函数f（x）的极小值点 ‎【分析】求导，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，则当x=e时，函数有极大值．‎ ‎【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，‎ 令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，‎ ‎∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，‎ ‎∴当x=e时，函数有极大值，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），‎ ‎∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），‎ ‎∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知数列{an}，a1=1，，则a10的值为（　　）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎【分析】利用数列的递推公式推导出数列{an}的前四项，从而猜想an=．并利用利用数学归纳法进行证明得到，由此能求出a10．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}，a1=1，，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 由此猜想an=．‎ 下面利用数学归纳法进行证明：‎ ‎①，成立；‎ ‎②假设ak=，‎ 则==，成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴a10=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查数列的第10项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式、数学归纳法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，‎ 那么x+4y=（x+4y）=≥==+，‎ 当且仅当x=2=时取等号．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2+ B．2+ C． D．‎ ‎【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，‎ y=x代入﹣=1，可得x=±，‎ ‎∴•=c，‎ ‎∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，‎ ‎∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，‎ ‎∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，‎ ‎∴e4﹣4e2+2=0，‎ ‎∵e＞1，∴e2=2+，‎ ‎∴e=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若，则=　﹣7　．‎ ‎【分析】利用空间向量的加法和数量积的坐标运算公式运算即可．‎ ‎【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的加法和数量积运算；属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）=　1　．‎ ‎【分析】先求出的原函数，再根据定积分的运算法则求出该函数的定积分即可．‎ ‎【解答】解：∫1edx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，‎ 故答案为1‎ ‎【点评】本题主要考查了定积分的运算，定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎【分析】如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0），可得P，由PF2∥AB，可得kAB=，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．‎ 则=1，解得y=±．‎ 取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），‎ ‎∴kAB=﹣，==﹣．‎ ‎∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．‎ ‎∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，‎ ‎∴e==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为　　．‎ ‎【分析】求出约束条件，目标函数，利用线性规划求解即可．‎ ‎【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，‎ 可得，画出不等式组的可行域如图：‎ 则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，‎ 由可得B（，），‎ f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设数列{an}满足a1=1，an+1=3an，n∈N+．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）判断数列是等比数列，然后求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（Ⅱ）利用数列的关系求出公差，然后求解通项公式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）‎ 所以，…（4分）‎ ‎…（6分）‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，‎ ‎∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）‎ ‎∴bn=5n﹣2…（10分）‎ ‎【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，判断数列是等比数列是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．‎ ‎【分析】（1）求出p=4，然后求解抛物线方程为y2=8x；‎ ‎（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），通过x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用平方差法转化求解即可．‎ 方法二：直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），通过，消去x，利用判别式以及韦达定理，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；‎ ‎（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，‎ 又，相减整理得，‎ 所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．‎ 方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，‎ 设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，‎ 易知，‎ 又y1+y2=﹣2所以，‎ 所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1‎ 的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，证明OD∥BC1，然后证明BC1∥平面A1CD．‎ ‎（Ⅱ）由以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，求出相关点的坐标，平面A1CD的法向量，平面A1CE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，‎ 则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，‎ 设是平面A1CD的法向量，则即 可取．…（6分）‎ 同理，设是平面A1CE的法向量，则，‎ 可取．…（8分）‎ 从而…（10分）‎ 所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y），根据P在圆上求得M点轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）‎ 因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4‎ 故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）‎ 由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，‎ 易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）‎ 方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，‎ 所以…（6分）‎ ‎（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）‎ 由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，‎ 易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．‎ 所以为定值…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，高考经常涉及．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥BC，AD⊥BD，由AD∥BC，得BC⊥BD，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．‎ ‎（Ⅱ）由BC⊥平面PBD，知∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD ‎∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD ‎∴PD⊥BC…（2分）‎ 又 ‎∴‎ 又∴，‎ ‎∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC ‎∴BC⊥BD…（4分）‎ 又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD ‎∴BC⊥平面PBD 而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD ‎∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=‎ 而，所以PD=1…（8分）‎ 分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（1，0，0），，，P（0，0，1）‎ ‎∴，=（﹣1，0，0），，‎ 设平面PBC的法向量为，‎ 则 ，即，取y=1，得…（10分）‎ ‎∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：‎ ‎．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x2ex．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．‎ ‎【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（1），代入直线方程的点斜式得答案；‎ ‎（2）由f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，分离参数a，可得a＜xex，构造函数g（x）=xex，利用导数求其最小值可得a的取值范围；‎ ‎（3）由F（x）=0，得，当x＜0时方程不成立，可得F（x）的零点在（0，+∞）上，由函数单调性可得方程仅有一解x0，再由零点判定定理求得整数n的值．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）ex，‎ ‎∴f'（1）=3e，‎ ‎∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；‎ ‎（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，‎ 设g（x）=xex，g'（x）=（x+1）ex，‎ 令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）令F（x）=0，得，‎ 当x＜0时，，‎ ‎∴F（x）的零点在（0，+∞）上，‎ 令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，‎ ‎∵，‎ ‎∴由零点存在的条件可得，则n=0．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，训练了函数零点判定定理的应用，是中档题．‎ ‎　‎