江苏省淮安市2020届高三上学期期中联考数学（理）试题

江苏省淮安市2020届高三上学期期中联考数学（理）试题

2019-2020 学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理 科） 一、填空题（本大题共 14 小题） 1. 全集 2，3，4，，集合 3，，，则______． 2. 已知向量，，且，则实数 m 的值是______． 3. 函数的定义域为______． 4. 已知单位向量的夹角为，则的值是______． 5. 已知等比数列满足，，则该数列的前 5 项和为______． 6. “”是“”的______条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”选一 7. 设函数为常数，且，，的部分图象如图所示，则的值为______． 8. 在中，如果 sinA：sinB：：3：4，那么______． 9. 已知函数，则不等式的解集为______． 10. 已知函数是定义在 上的偶函数，且对于任意的 都有，，则的值为______． 11. 如图，在梯形 ABCD 中，，，，若，则______． 12. 在中，，，则______． 13. 已知正项等比数列的前 n 项和为若，则取得最小值时，的值为______． 14. 已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 10 小题） 15. 已知 a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且满足． 求角 A 的大小； 若，，求的面积． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且， 其中 O 为坐标原点． 若，设点 D 为线段 OA 上的动点，求的最小值； 若，向量，，求的最小值及对应的 x 值． 17. 一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成，米，如图所示．小球从 A 点出发以 5v 的 速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E 处后，经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内， 落点记为设弧度，小球从 A 到 F 所需时间为 T． 试将 T 表示为的函数，并写出定义域； 当满足什么条件时，时间 T 最短． 18. 已知集合 M 是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数 t，使得． 判断是否属于集合 M，并说明理由； 若属于集合 M，求实数 a 的取值范围； 若，求证：对任意实数 b，都有． 19. 已知函数， 当时，求曲线在处的切线方程； 当时，求函数的最小值； 已知，且任意有，求实数 a 的取值范围 20. 给定数列，若满足且，对于任意的 n，，都有，则称数列为“指数型数列”． Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”； Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明 理由； Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列． 21. 已知矩阵，，求 22. 已知矩阵，向量，计算． 23. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面 ABCD，且，M 是 PB 的中点． 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； 求面 AMC 与面 PMC 所成锐二面角的大小的余弦值． 24. 直三棱柱中，，，，，． 若，求直线与平面所成角的正弦值； 若二面角的大小为，求实数的值． 答案和解析 1.【答案】2，4， 【解析】解：3，，， ， 则 2，4，， 故答案为：2，4， 根据集合交集，并集定义进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】1 【解析】解：； ； ． 故答案为：1． 根据即可得出，从而求出 m 的值． 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算． 3.【答案】 【解析】解：依题意，，解得， 所以的定义域为， 故答案为：． 根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可． 本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题． 4.【答案】 【解析】解：单位向量的夹角为， 则． 故答案为：． 直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力． 5.【答案】31 【解析】解：设等比数列的公比为 q， ，， ，， 联立解得，， 数列的前 5 项的和为 故答案为：31． 由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得． 本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题． 6.【答案】充要 【解析】解：由，利用指数函数的单调性可得， 反之，由，可得． “”是“”的充要条件． 故答案为：充要． 由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题． 7.【答案】 【解析】解：根据函数为常数，且，，的部分图象， 可得，． 再根据五点法作图可得，， 故答案为：． 先由周期求出，再由五点法作图求出的值． 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于 基础题． 8.【答案】 【解析】解：：sinB：：3：4， 由正弦定理可得：a：b：：3：4， 不妨设，，，则， ． 故答案为：． 由正弦定理可得 a：b：：3：4，不妨设，，，则由余弦定理可求 cosC，结合范围，利 用同角三角函数关系式即可求值． 本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用， 属中档题． 9.【答案】 【解析】解：， 由得，， ， 或，解得， 的解集为． 故答案为：． 可由得出，从而得到或，解不等式组即可得出原不等式的解集． 本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能 力，属于基础题． 10.【答案】4 【解析】【分析】 本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题． 由题意令求得，且的周期为 4，再计算的值． 【解答】 解：由， 令，得； 又为偶函数，， ； ， 的周期为 4； 又，， ， ． 故答案为 4． 11.【答案】12 【解析】解：因为，所以， 因为，，， 所以上式化简得：，即， 所以． 故答案为：12． 因为，根据向量变换得到，代入求出即可． 考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题． 12.【答案】 【解析】解：由，利用正弦定理可得， 由，可得， 由可得，， 由，两式平方相加可得， 所以或， 由，知应舍去， 所以，代入式可得， 由三角形内角和定理可得，可得， 所以． 故答案为：． 由已知利用正弦定理可得，，进而可得，可求，从而求得 B 的值，进而可求 A，C，的 值，利用两角和的正切函数公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三 角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题． 13.【答案】 【解析】解：依题意，因为，所以，所以， 即，因为数列为正项数列，所以． 当取得最小值时，，即，所以， 所以． 故填：． 因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，，即，所以，即 可得到． 本题考查了等比数列的前 n 项和，通项公式和前 n 项和公式的灵活运用，基本不等式 等．属于中档题． 14.【答案】 【解析】【分析】 推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形 结合法求出不等式的解集中恰有两个整数是 2，3，列出不等式组，能求出实数 a 的取 值范围． 本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法， 考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【解答】 解：，故当时，，当时，， 在上单调递减，上单调递增，且 又的函数图象开口向下，对称轴为， 要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下： 不等式的解集中恰有两个整数是 1，2， ，无解， 不等式的解集中恰有两个整数是 2，3， ，解得． 实数 a 的取值范围是， 故答案为：， 15.【答案】本题满分为 12 分 解：，可得：， 由余弦定理可得：， 又， 由及正弦定理可得：， ，， 由余弦定理可得：， 解得：，， 【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得 A 的值． 由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得 b，c 的值，利用三角形面积公式即可得 解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属 于基础题． 16.【答案】解：设，由题易知， 所以 所以 ， 所以当时，最小，为． 由题意，得 x，sin ， ，sin ， 则 xcos ， 因为，所以， 所以当，即时， 取得最大值 1， 所以的最小值为，此时． 【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值． 由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值． 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的 定义域和值域，属于中档题． 17.【答案】解：连接 CO 并延长交半圆于 M，则，故， 同理可得， 过 O 作于 G，则，， ，又， ， ， 令可得，解得或舍． 设，， 则当时，，当时，， 当，取得最小值． 故时，时间 T 最短． 【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式； 利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可． 本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题． 18.【答案】解：当时，方程分 此方程无解，所以不存在实数 t，使得， 故不属于集合 分 由属于集合 M，可得 方程有实解有实解有实解，分 若时，上述方程有实解； 若时，有，解得， 故所求 a 的取值范围是 分 当时，方程，分 令，则在 R 上的图象是连续的， 当时，，，故在内至少有一个零点； 当时，，，故在内至少有一个零点； 故对任意的实数 b，在 R 上都有零点，即方程总有解， 所以对任意实数 b，都有 分 【解析】利用，通过推出方程无解，说明不属于集合由属于集合 M，推出有实解，即有 实解，若时，若时，利用判断式求解即可． 当时，方程，令，则在 R 上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明 对任意实数 b，都有． 本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力． 19.【答案】解：当时，，由 ，得 ． 所以在处的切线方程为即． 当时，得，因为 0'/>， 所以在单调递增，所以． 当时，得，因为 ， 所以在单调递减，所以． 当时， 由知：函数在单调递减，单调递增， 所以． 综上，当，； 当时，； 当时，． 当，且任意有， 即对任意有． 设， 则， ． 设 ， 因为，，所以 0'/>， 所以在单调递增， 所以，即 ， 1 当 即时，所以 恒成立， 所以在单调递增，此时，满足题意． 2 当 即时， 因为 0'/>，且 在单调递增， 所以存在唯一的，使得 ， 因此当时 ；当时 0'/>； 所以在单调递减，单调递增． 所以，不满足题意． 综上，． 【解析】当时，，由 ，得 由此利用导数的几何意义能求出在 处的切线方程． 当时，得，由 0'/>，得到当时，得，由 ，得到 当时，，由此能求出函数的最小值． 当，且任意有，即对任意有设，则， 设 ，则 0'/>，由此利用 导数性质能求出结果． 本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导 数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】Ⅰ解：对于数列，，所以不是指数型数列． 对于数列，对任意 n，，因为， 所以是指数型数列． Ⅱ证明：由题意，，是“指数型数列”， ，， 所以数列是等比数列，， ，数列是“指数型数列”． Ⅲ证明：因为数列是指数数列，故对于任意的 n，， 有，， 假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当 t 为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 当 t 为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故也不能成立． 所以，对任意，不能成立， 即数列的任意三项都不成构成等差数列． 【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可； Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”； Ⅲ利用反证法，结合 n 为偶数以及奇数进行证明即可． 本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键． 21.【答案】解：设，， ，即， ， ． 【解析】根据矩阵乘法法则计算． 本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题． 22.【答案】解：， 由，解得或 3． 当时，对应的一个特征向量为； 当时，对应的一个特征向量为． 设，解得． ． 【解析】令，解得或分别对应的一个特征向量为；设解得 m，n，即可得出． 本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【答案】解：因为，，，以 A 为坐标原点 AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立 空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标为 0，，2，，1，，0，，0，，1， 因， ， 所以． 由题得：平面 PMC 的法向量为， 所以 解得： 同理设平面 AMC 的法向量为， 所以 解得： 故， 即所求锐二面角的余弦值为． 【解析】分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进 而转化为两条直线的夹角． 根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦 值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值． 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量 的有关运算解决空间角与空间距离等问题． 24.【答案】解：分别以 AB，AC，所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系． 则 0，，0，，4，，0，，0，，4，，分 当时，D 为 BC 的中点，2，， ，4，，2，， 设平面的法向量为 y，， 则，取， 得 0，， 又， 直线与平面所成角的正弦值为分 ，， 4，，， 设平面的法向量为 y，， 则，取，得 0，分 又平面的一个法向量为 0，， 二面角的大小为， ， 解得或不合题意，舍去， 实数的值为分 【解析】分别以 AB，AC，所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出直线与平面所成角的正弦值． 求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出实数的值． 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意向量法的合理运用．