数学理卷·2017届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2017

数学理卷·2017届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2017

惠州市 2017 届高三第三次调研考试 理科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）已知全集 U＝R，集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}， 则图 1 中阴影部分所表示的集合为(　　) （A）{0,1,2} （B）{0,1} （C）{1,2} （D）{1} （2）设函数 ,“ 是偶函数”是 “ 的图像关于原点对称”的(　　) （A）充分不必要条件 （B）充要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）执行如右图 2 所示的程序框图, 则输出的结果为(　　) （A）7　　　（B）9　　　（C）10　　（D）11 （4）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离 心率为(　　) （A） 3 （B） 2 （C）2 （D）3 （5）(1 2x－2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是(　　) （A）－20 （B）－5 （C）5 （D）20 （6）某四棱锥的三视图如图 3 所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　) Rxxfy ∈= ),( )(xfy = )(xfy = 图 1 开始 1 0i = ,S = lg 2 iS = S i + + 1?S ≤ − i输出 结束 2i = i + 是 否 图 2 （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 （7）若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足 (OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0，则△ABC 的形状为(　　) （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）正三角形 （D）等腰直角三角形 （8）函数 y＝cos 2x＋2sin x 的最大值为(　　) （A） （B）1 （C） （D）2 （9）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a 等于(　　) （A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3 （10）函数 f(x)＝(x－1 x )cos x(－π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(　　) （A） （B） （C） （D） （11）如图 4 是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中 点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线 BE 与直线 CF 异面； ②直线 BE 与直线 AF 异面； ③直线 EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有(　　) （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 （12）已知函数 为自然对数的底数）与 的图像上 存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。 第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。 2 1( ) ( ,g x a x x e ee = − ≤ ≤ ( ) 2lnh x x= x a 2 1[1, 2]e + 2[1, 2]e − 2 2 1[ 2, 2]ee + − 2[ 2, )e − +∞ 3 4 3 2 0 2 0 x y x y y − ≥  + ≤  ≥ 图 4 图 3 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的共轭复数是________． （14）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试 验．根据收集到的数据(如下表)： 零件数 (个) 10 20 30 40 50 加工时间 (分钟) 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回归方程 y ＝0.67x＋a，则 a 的值为________． （15）在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，且 ， 则 的面积为_____________. （16）已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，给出以下四个命题： （1）函数 是周期函数； （2）函数 的图象关于点 对称； （3）函数 为 上的偶函数； （4）函数 为 上的单调函数． 其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 已知数列 中，点 在直线 上，且首项 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ， 数列 的前 项和为 ，请写出适合条件 的所有 的值. （18）（本小题满分 12 分） 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学．在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学 院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这 10 名同学中随机选 取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． { }na ),( 1+nn aa 2+= xy }{ na }{ na n nS }{ nb 11 ab = 22 ab = }{ nb n nT nn ST ≤ n z 1z i i⋅ = + i z x y ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2, 2 2b c= = 4C π= ABC∆ R ( )y f x= ( )3 2f x f x + = −   3 4y f x = −   ( )f x ( )f x 3 ,04  −   ( )f x R ( )f x R 1 1a = （19）（本小题满分 12 分） 如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在圆柱 的底面圆周上， 是 的 中点，圆柱 的底面圆的半径 ，侧面积为 ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 有两个不同交点 时，能在直 线 上找到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出 直线的方程；若不存在，说明理由． （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ，且函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求证：当 时， . ABCD OQ P OQ G DP OQ 2OA = 8 3π 120AOP∠ = ° AG BD⊥ P AG B− − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( ) ( )1 21,0 , 1,0F F− 21, 2A       C C C M N、 5 3y = P C Q PM NQ=  3 ln( ) ( ) x xf x a bx e x = − − ( )f x (1, )e (2 1) 3 0x e y− + − = ,a b (0,1)x∈ ( ) 2f x > 19 题图 Q O D B C A G P ． 请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题 号，并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 轴 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 的参数方程是 （ 为参数）． （Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 、 两点,且 ,求直线 的倾斜角 的值． （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x)＝|x－a|. （Ⅰ）若不等式 f (x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 f (x)＋f (x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立， 求实数 m 的取值范围． 惠州市 2017 届高三第三次调研考试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A A C A C B D B B 1.【解析】因为 A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为 A 去掉 A∩B，所以阴影部分所表示的集 合为{1}． 2.【解析】 是偶函数不能推出 的图像关于原点对称，反之可以。 3.【解析】 否； 否； C 4cosρ θ= x l 1 cos sin x t y t α α = +  = t C l C A B 14AB = l α ( )y f x= ( )y f x= 11, lg lg3 1,3i S= = = − > − 1 3 13, lg +lg lg lg5 1,3 5 5i S= = = = − > − 否； 否； 是，输出 故选 B． 4.【解析】设双曲线的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对 称轴垂直，因此直线 l 的方程为：x＝c 或 x＝－c，代入x2 a2－y2 b2＝1 得 y2＝b2(c2 a2－1)＝b4 a2，∴ y＝±b2 a ，故|AB|＝2b2 a ，依题意2b2 a ＝4a，∴b2 a2＝2，∴c2－a2 a2 ＝e2－1＝2，∴e＝ 3. 5.【解析】　(1 2x－2y)5 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5(1 2x )5－r·(－2y)r ＝Cr5·(1 2 )5－r·(－2)r·x5－r·yr.当 r＝3 时，C35(1 2 )2·(－2)3＝－20. 6.【解析】四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面 ABCD，PC＝1，底面 四边形 ABCD 为正方形且边长为 1，最长棱长 PA＝ 12＋12＋12＝ 3. 7.【解析】因为(OB→ －OC→ )·(OB→ ＋OC→ －2OA→ )＝0， 即CB→ ·(AB→ ＋AC→ )＝0，∵AB→ －AC→ ＝CB→ ，∴(AB→ －AC→ )·(AB→ ＋AC→ )＝0，即|AB→ |＝|AC→ |， 所以△ABC 是等腰三角形，故选 A. 8.【解析】　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1， 设 t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为 y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－1 2 )2＋3 2， ∴当 t＝1 2时，函数取得最大值3 2. 9.【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 易知 A(2,0)，由Error!得 B(1,1)． 由 z＝ax＋y，得 y＝－ax＋z. ∴当 a＝－2 或 a＝－3 时，z＝ax＋y 在 O(0,0)处取得最大值， 最大值为 zmax＝0， 不满足题意，排除 C，D 选项；当 a＝2 或 3 时，z＝ax＋y 在 A(2,0)处取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2，故选 B. 10.【解析】　函数 f(x)＝(x－1 x )cos x(－π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数，排除选项 A，B；当 x＝π 时，f(x)＝(π－1 π )cos π＝1 π－π<0，排除选项 C，故选 D. 1 5 15, lg +lg lg lg7 1,5 7 7i S= = = = − > − 1 7 17, lg +lg lg lg9 1,7 9 9i S= = = = − > − 1 9 19, lg +lg lg lg11 1,9 11 11i S= = = = − < − 9,i = 11.【解析】　将几何体展开图还原为几何体(如图)，因为 E，F 分 别为 PA，PD 的中点，所以 EF∥AD∥BC，即直线 BE 与 CF 共 面，①错；因为 B∉平面 PAD，E∈平面 PAD，E∉AF，所以 BE 与 AF 是异面直线，②正确；因为 EF∥AD∥BC，EF⊄平面 PBC， BC⊂平面 PBC，所以 EF∥平面 PBC，③正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，④错． 12.【解析】由已知，得到方程 ，即 在 上有解，设 ， 求 导 得 ， 因 为 ， 所 以 在 有唯一的极值点，因为 ， 且 ，故方程 在 上有解等价于 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 54.9 15. 16. （1）（2）（3） 13.【解析】 ，所以 的共轭复数是 14.【解析】　由 x － ＝30，得 y － ＝75，则 a＝54.9 15.【解析】由正弦定理 ，又 ，且 ， 所以 ，所以 ， 所以 16．【解析】 ，所以 是周期为 3 的周期 函数，（1）正确；函数 是奇函数，其图象关于点 对称，则 的图象关 于点 对称，（2）正确； ， ，所以 ，（3）正确； 是周期 函数，在 上不可能是单调函数，（4）错误．真命题序号为（1）（2）（3）． 2 2lna x x− = − 22lna x x− = − 1[ , ]ee ( ) 22lnf x x x= − ( ) 2 2(1 )(1 )2 x xf x xx x − +′ = − = 1 x ee ≤ ≤ ( ) 0f x′ = 1x = ,12=)1( 2eef -- 22=)( eef - 1=)1(=)( -极大值 fxf ( ) 1( )f e f e < 22lna x x− = − 1[ , ]ee 22 1e a− ≤ − ≤ − a 21, 2e −  1 i+ 13 + 11 , 1izi i z ii += + ∴ = = − z 1 i+ sin 1sinsin sin 2 b c b CBB C c = ⇒ = = c b> (0, )B π∈ 6B π= 7 12A π= 1 1 7 1 6 2sin 2 2 2 sin 2 2 2 3 12 2 12 2 4S bc A π += = × × = × × × = + 3 3 3( 3) [( ) ] ( ) ( )2 2 2f x f x f x f x+ = + + = − + = ( )f x 3( )4f x − (0,0) ( )f x 3( ,0)4 − 3( ) ( )2f x f x− = − − + 3 3 3( ) ( ) ( )2 2 2f x f x f x− + = − − + + = − ( ) ( )f x f x− = ( )f x R 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分 12 分） 解:（I）根据已知 ， 即 ， ……2 分 所以数列 是一个等差数列， ………4 分 （II）数列 的前 项和 ……………6 分 等比数列 中， ， ，所以 ， ……8 分 数列 的前 项和 ……10 分 即 ，又 ，所以 或 2 …12 分 18. （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)＝C13·C27＋C03·C37 C 310 ＝49 60. 所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60.……………4 分 （Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4·C3－k6 C 310 (k＝0,1,2,3)． ∴P(X＝0)＝C04·C36 C 310 ＝1 6，P(X＝1)＝C14·C26 C 310 ＝1 2， P(X＝2)＝C24·C16 C 310 ＝ 3 10，P(X＝3)＝C34·C06 C 310 ＝ 1 30. …………………8 分 所以，随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×1 6＋1×1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝6 5. ……12 分 19. （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）(解法一)：由题意可知 ，解得 ，…… 分 在 中， ， ………… 分 ∴ ，又∵ 是 的中点，∴ .　　　① ………… 分 ∵ 为圆 的直径，∴ . 11 =a 21 +=+ nn aa daa nn ==−+ 21 }{ na 12)1(1 −=−+= ndnaan }{ na n 2nSn = }{ nb 111 == ab 322 == ab 3=q 13 −= n nb }{ nb n 2 13 31 31 −=− −= nn nT nn ST ≤ 2 2 13 n n ≤− *Nn ∈ 1=n 8 3 2 2 ADπ π= × ⋅ 2 3AD = 1 AOP∆ 2 22 2 2 2 2 cos120 2 3OAP = + − ⋅ ⋅ ⋅ = 2 APAD = G DP DPAG ⊥ 3 AB O BPAP ⊥ ……………………10 分 由已知知 ，∴ ， ∴ . ………… 分 ∴ . ② ∴由①②可知： ， ∴ . …………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，∴ ， ， ∴ 是二面角 的平面角 . …………8 分 , , . ∴ . . ………12 分 (解法二)：建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知 .解得 . 则 ， ， ， ， ∵ 是 的中点， ∴ 可求得 . …………3 分 （Ⅰ） ， ， ∴ . ∵ ， ∴ . …………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知, ， ， ， . ∵ ， .∴ 是平面 的法向量. ……8 分 ABPDA 底面⊥ BPDA ⊥ DAPBP 平面⊥ 5 AGBP ⊥ DPBAG 平面⊥ BDAG ⊥ DPBAG 平面⊥ BGAG ⊥ PGAG ⊥ PGB∠ BAGP −− 622 1 2 1 =×== APPDPG 2== OPBP 90BPG∠ = ° 1022 =+= BPPGBG 5 15 10 6cos ===∠ BG PGPGB 8 3 2 2 ADπ π= × ⋅ 2 3AD = ( )0,0,0A ( )0,4,0B ( )32,0,0D ( )0,3,3P G DP       3,2 3,2 3G ( )0,1,3 −=BP ( )32,4,0 −=BD      = 3,2 3,2 3AG ( ) 032,4,03,2 3,2 3 =−⋅     =⋅ BDAG BDAG ⊥ ( )0,1,3 −=BP      = 3,2 3,2 3AG       −−= 3,2 3,2 3PG       −= 3,2 5,2 3BG 0=⋅ PGAG 0=⋅ BPAG BP APG Q O D B C A G P ． x y z 设 是平面 的法向量，由 ， ， 解得 ………10 分 . 所以二面角 的平面角的余弦值 . …………12 分 20. （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）设椭圆 的焦距为 ，则 ， 因为 在椭圆 上，所以 ， ……2 分 因此 ，故椭圆 的方程为 ．．．．．．5 分 （Ⅱ）椭圆 上不存在这样的点 ，证明如下：设直线的方程为 ， 设 ， ， 的中点为 ， 由 消去，得 ， ……………6 分 所以 ，且 ， 故 且 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 由 得 ．．．．．．．．．9 分 所以有 ， ．．．．．．．．．．．．10 分 (也可由 知四边形 为平行四边形，而 为线段 的中点，因此， 也 为线段 的中点，所以 ，可得 )， 又 ，所以 ， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围 矛盾。．．．．．．．．．11 分 ( )1,, yxn = ABG 0=⋅ AGn 0=⋅ ABn ( )1,0,2−=n 2 3 15cos 52 5 BP n BP n θ ⋅ −= = = − ⋅     BAGP −− 15 5 C 2c 1c = 21, 2A       C 1 22 2 2a AF AF= + = 2 2 22, 1a b a c= = − = C 2 2 12 x y+ = C Q 2y x t= + ( )1 1,M x y ( ) ( )2 2 3 4 4 5, , , , ,3N x y P x Q x y     MN ( )0 0,D x y 2 2 2 12 y x t x y = + + = 2 29 2 8 0y ty t− + − = 1 2 2 9 ty y+ = ( )2 24 36 8 0t t∆ = − − > 1 2 0 2 9 y y ty += = 3 3t− < < PM NQ=  ),()3 5,( 2424131 yyxxyxx −−=−− 241 3 5 yyy −=− =−+= 3 5 214 yyy 3 5 9 2 −t PM NQ=  PMQN D MN D PQ 4 0 5 3 2 9 y ty + = = 4 2 15 9 ty −= 3 3t− < < 4 7 13 y− < < − [ ]1,1− 因此点 不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 21. （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）因为 ，故 ，故 ①； 依题意， ；又 ， 故 ，故 ②， 联立①②解得 ， …………………………………………5 分 （Ⅱ）由（1）得 要证 ，即证 ； ………………………7 分 令 ， ， 故当 时， ； 令 ，因为 的对称轴为 ，且 ， 故存在 ，使得 ； 故当 时， , ， 即 上单调递增； 当 时， ，故 ， 即 上单调递减；因为 故当 时， ， ………………………10 分 又当 时， ……………………11 分 所以 ，即 ………………………12 分 22. （本小题满分 10 分） 解:（Ⅰ）由 得 ． ∵ , , , ∴曲线 的直角坐标方程为 ,即 ……4 分 Q ef =)1( eeba =− )( 1=− ba 12)1(' −−= ef )3(ln1)( 23 2 ' xxx exxebx xaexf +−−−= 1241)1(' −−=−−= ebeaef 24 −=− ba 1,2 == ba 3ln( ) 2 x xxf x e e xx = − − ( ) 2f x > 22 3 >− xee xx ln x x + 32)( xeexg xx −= ' 3 2 3 2 2( ) ( 3 2) ( 3 2) ( 1)( 2 2)x x xg x e x x e x x e x x x∴ = − − + = − + − = − + + − )1,0(∈x 01,0 >+<− xe x 22)( 2 −+= xxxp )(xp 1−=x 0)1()0( <⋅ pp )1,0(0 ∈x 0)( 0 =xp 0(0, )x x∈ 022)( 2 <−+= xxxp 0)22)(1()( 2' >−++−= xxxexg x ),0()( 0xxg 在 0( ,1)x x∈ 022)( 2 >−+= xxxp 0)22)(1()( 2' <−++−= xxxexg x )1,()( 0xxg 在 ,)1(,2)0( egg == )1,0(∈x 2)0()( => gxg )1,0(∈x ln ln0, 2 2x x x x < ∴ + < 22 3 >− xee xx ln x x + ( ) 2f x > 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= C 2 2 4 0x y x+ − = ( )2 22 4x y− + = （Ⅱ）将 代入圆的方程得 , 化简得 ． ……………5 分 设 两点对应的参数分别为 、 ,则 ……………6 分 ∴ ． ……………8 分 ∴ , , 或 ． ……………10 分 23. （本小题满分 10 分） 解: (Ⅰ)由 f(x)≤3，得|x－a|≤3.解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}． 所以Error!解得 a＝2. ………………………………4 分 (Ⅱ)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|.设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)， ∴g(x)的最小值为 5. 因此，若 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 对 x∈R 恒成立， 知实数 m 的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10 分 1 cos , sin x t y t α α = +  = ( ) ( )2 2cos 1 sin 4t tα α− + = 2 2 cos 3 0t t α− − = ,A B 1t 2t 1 2 1 2 2cos , 3. t t t t α+ =  = − ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4cos 12 14AB t t t t t t α= − = + − = + = 24cos 2α = 2cos 2 α = ± 4 πα = 3 4 π