2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第一次质检数学（理）试题 Word版

2018-2019学年广东省蕉岭县蕉岭中学高二下学期第一次质检数学（理）试题 Word版

蕉岭中学2018-2019学年第二学期 高二级第一次质检理科数学试题2019.3‎ 命题人：古建宏 审题人：刘广泉 （总分150分，完成时间120分钟）‎ ‎ 第一部分 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差d为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．，满足约束条件：，则的最大值为( )‎ A．-3 B． C．3 D． 4‎ ‎6．函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的图象大致为( )‎ ‎7．已知函数f (x)，则f (x)在上的零点个数为 ( ) ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )‎ A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x ‎ ‎11．已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C.（，+∞）, D.(-∞,-9)‎ ‎12．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为( )‎ A．15 B．12 C．13 D．14‎ 第二部分 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. ‎ ‎13．命题：，的否定为 ．‎ ‎14．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.‎ ‎15．已知曲线y=x3与直线y=kx(k>0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k= ．‎ ‎16．一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)= ‎ ‎(1)求cos B;‎ ‎(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明 ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 四棱锥的底面为直角梯形，‎ ‎，，，‎ 为正三角形.‎ ‎（1）点为棱上一点，若平面，‎ ‎，求实数的值；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.‎ ‎22．（本小题满分12分）、‎ 已知函数 ‎（1）求函数的极值。‎ ‎（2）若曲线上总存在不同两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，证明：。‎ 高二级第一次质检理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5: ABBBC 6-10: ABDDD 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. － 15. 4 16. ‎ 三、解答题 ‎17．解　(1)由.题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).‎ 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.‎ ‎…………………………….5分 ‎(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.‎ 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)‎ ‎=36-2×=4.所以b=2. …………………………….10分 ‎18解　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.‎ 又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.‎ an+,因此{an}的通项公式为an=.……………………………6分 ‎(2)由(1)知.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以.‎ 于是+…+≤1++…+=.‎ 所以+…+.……………………………12分 ‎.19. 解　(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b. …………………………2分 依题设,‎ 解得a=2,b=e. ……………………………5分 ‎(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.‎ 由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.‎ 令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.‎ 所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;‎ 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.‎ 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,‎ 从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).‎ 综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).‎ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). ……………………………12分 ‎20（1）因为平面SDM，平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，所以，‎ 因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又,所以M为AB的中点.‎ 因为，.……………………………5分 ‎（2）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，‎ 则平面， ‎ 在和中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，所以所以，‎ 以下建系求解.‎ 以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则，，，，， ‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，则，所以，令得为平面的一个法向量， ‎ 同理得为平面的一个法向量， ‎ ‎， 因为二面角为钝角，‎ 所以二面角余弦值为.……………………………12分 ‎21解：‎ ‎（1）设由题， ‎ 解得，则，椭圆的方程为. …………………………4分 ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 直线的方程为代入，可得 ‎，，则 直线的斜率为，直线的斜率为，‎ ‎，当直线的斜率不存在时，同理可得. ‎ 当直线、的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，则由消去y可得：‎ ‎，‎ 又，则，代入上述方程可得 ‎，‎ ‎，则 ‎，‎ 设直线的方程为，同理可得，‎ 直线的斜率为，‎ 直线的斜率为，.‎ 所以，直线与的斜率之积为定值，即. …………………………12分 ‎22解：⑴、函数的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，函数的单调递减区间为和，‎ 单调递增区间为；‎ ‎ ，；‎ 当时，，函数无极值；‎ 当时，，函数的单调递减区间为和，‎ 单调递增区间为；‎ ‎ ，‎ ‎；‎ 综上可得：略 ‎⑵、，，‎ ‎，， ，，，‎ 存在，使得，，‎ 当时，，当且仅当时取等号，‎ ‎， 故存在，使得。‎ ‎………………………12分