数学（文）卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考（2017

数学（文）卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考（2017

广西柳州高级中学、南宁市二中2018届高三上学期第二次联考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知单位向量，满足，则与的夹角是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， ‎ C. ， D．，‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（ ）‎ A．48里 B．24里 C. 12里 D．6里 ‎7.如图，程序输出的结果，则判断框中应填（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．6 C.7 D．8‎ ‎10.老师计算在晚修19:00-20:00解答同学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）‎ A． B． C.3 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎14.已知函数，则 ．‎ ‎15.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ ‎16.过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设，，数列满足：且.‎ 求证：数列是等比数列；‎ 求数列的通项公式.‎ ‎18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ 求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；‎ 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.‎ ‎19.如图所示，三棱柱中，已知侧面，，，.‎ 求证：平面；‎ 是棱上的一点，若三棱锥的体积为，求的长.‎ ‎20.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.‎ 求椭圆的方程；‎ 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ 确定函数的单调性；‎ 若对于任意，，且，都有，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，弦的中点为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ 求不等式的解集；‎ 若函数的最小值为，整数、满足，求证.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.8 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】由题知：，‎ 又，∴，‎ ‎∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.‎ 由可得，故.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎.‎ 累加得：，‎ ‎，‎ 即.‎ 而，∴.‎ ‎18.【解析】一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率为.‎ ‎①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为，，四辆非事故车设为，从六辆车中随机挑选两辆车共有，，，‎ ‎，，，，，，，，，，总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有，，，，，，，，总共8种情况.‎ 所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为.‎ ‎②由统计数据可知，该销售量一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为元.‎ ‎19.【解析】证明：因为平面，平面，所以，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 故，所以，‎ 又，∴平面.‎ 面，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴为所求.‎ ‎20.【解析】由在椭圆上得，①‎ 依题设知，则②‎ ‎②带入①解得，，.‎ 故椭圆的方程为.‎ 由题意可设的斜率为，‎ 则直线的方程为③‎ 代入椭圆方程并整理，得，‎ 设，，则有 ‎，④‎ 在方程③中令得，的坐标为.‎ 从而，，. ‎ 注意到，，共线，则有，即有.‎ 所以⑤‎ ‎④代入⑤得，‎ 又，所以，故存在常数符合题意.‎ ‎21.【解析】函数，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴在单调递增.‎ 不妨设，则，‎ 由知：，‎ ‎∴.‎ 设，，由上知：应在上单调递减，‎ ‎∴在上恒成立在上恒成立在上恒成立在上恒成立，易知在上单调递减，其最大值为-3.‎ ‎，∴为所求.‎ ‎22.【解析】由题意的方程为：可得的普通方程为：， ‎ 将代入曲线方程可得：.‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以.‎ 又，，.‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.‎ 因为点，化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得：，‎ 所以由韦达定理：，，‎ 所以.‎ ‎23.【解析】当时，得.∴.‎ 当时，得.∴无解.‎ 当时，得.‎ 所以，不等式的解集为或.‎ ‎ ，∴，即.‎ 又由均值不等式有：，，‎ 两式相加得.∴‎ 当且仅当时等号成立.‎