武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学(解析版)

武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学(解析版)

武昌区 2019 届高三年级元月调研考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．1 i 3i1 i    （ ） A．i B． 2i C．1 3i D．1 3i 1．答案：B 解析： 21 i (1 i) 2i3i 3i 3i i 3i 2i1 i (1 i)(1 i) 2              ． 2．已知集合 2{ | log ( 1) 1}, { | 2}A x x B x x a      ，若 A B ，则实数 a 的取值范围为（ ） A．(1,3) B．[1,3] C．[1, ) D．( ,3] 2．答案：B 解析： 2{ | log ( 1) 1} { | 0 1 2} { |1 3}A x x x x x x          ， { | 2}B x x a    { | 2 2} { | 2 2}x x a x a x a         ，因为 A B ，所以 2 1 2 3 a a    ≤ ≥ ，解得1 3a≤ ≤ ． 3．已知向量 (2,1), (2, )a b x   不平行，且满足   2a b a b      ，则 x  （ ） A． 1 2 B． 1 2 C．1 或 1 2 D．1 或 1 2 3．答案：A 解析：因为向量 (2,1), (2, )a b x   不平行，所以 1x  ， 2 (6,1 2 ), (0,1 )a b x a b x         ， 因为   2a b a b      ，所以   2 (1 2 )(1 ) 0a b a b x x          ，又因为 1x  ，所以 1 2x   ． 4．函数 2 ( ) xx ef x x 的图象大致为（ ） 开始 1, 0n s  2ns s  2n n  n≥8? 输出s 结束 是 否 4．答案：A 解析：函数 ( )f x 的定义域为{ | 0}x x  ，且 2 ( ) 0 xx ef x x  恒成立，排除 C，D， 当 0x  时， ( ) xf x xe ，当 0x  时， ( ) 0f x  ，排除 B，选 A． 5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的 s  （ ） A．26 B．102 C．410 D．512 5．答案：B 解析： 1, 0 2, 3n s s n      否 32 2 6, 5s n      否 52 6 26, 7s n      否 72 26 102, 9s n      是，输出 102s  ． 6．设 ,x y 满足约束条件 4 3 0 2 9 0 1 x y x y x       ≤ ≤ ≥ ，则 2z x y  的取值范围为（ ） A．[2,6] B．[3,6] C．[3,12] D．[6,12] 6．答案：C 解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 (1,4), (1,1), (5, 2)A B C ， 6, 3, 12A B Cz z z   ， 所以 z 的取值范围是[3,12]． 6 4 2 5 10 C A B O 7．已知函数 ( ) 3 sin cos ( 0)f x x x     的最小正周期为 2 ，则 ( )f x 的单调递增区间是（ ） A． 2 , 2 ( )6 6k k k Z        B． 22 , 2 ( )3 3k k k Z        C． 22 ,2 ( )3 3k k k Z        D． 52 , 2 ( )6 6k k k Z        7．答案：B 解析： ( ) 3 sin cos 2sin 6   f x x x x       ，最小正周期 2 2 , 1  T     ， ( ) 2sin 6 f x x     ，由 2 2 ,2 6 2k x k k Z      ≤ ≤ ，得 22 2 ,3 3   ≤ ≤k x k k Z   ． 所以 ( )f x 的单调递增区间是 22 , 2 ( )3 3k k k Z        ． 8．已知 a b、 是区间[0, 4] 上的任意实数，则函数 2( ) 1f x ax bx   在[2, ) 上单调递增的概率为 （ ） A． 1 8 B． 3 8 C． 5 8 D． 7 8 8．答案：D 解析：由题意可得 0a  ，且函数 ( )f x 的对称轴 22 ≤bx a ，即 0 4≤ a b a    ，点 ( , )a b 取自如图所示的正 方形OABC 内部（含边界），则符合条件的( , )a b 取自梯形OABD 内， 16, 14OABC OABDS S  ， 所以所求概率 14 7 16 8P   ． 4 2 5 D BC AO 9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A． 32 3 B． 48 3 C．32 D．48 9．答案：A 解析：该几何体为如图所示的三棱锥 D ABC ，则 1 1 324 4 43 2 3D ABCV           A B C D 10．已知正三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3 的正三角形，侧棱 长为 2 5 ，则球O 的表面积为（ ） A．10 B． 25 C．100 D．125 10．答案：B 解析：正 ABC△ 外接圆的半径 3 2 3 23r    ，设 ABC△ 的中心为 M ，则 2, 2 5MA SA  ， 2 2 4SM SA MA   ，设球O 的半径为 R ，在 AOM△ 中，由勾股定理得 2 2 2AM OM OA  ， 即 2 24 (4 )R R   ，解得 5 2R  ，则球O 的表面积为 24 25 R  ． S AM O 11．已知 M 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的右支上一点， ,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦 点，线段 FA 的垂直平分线过点 M ， 60MFA   ，则C 的离心率为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 11．答案：B 解析：为方便运算，不妨设 1a  ，则 ( 1,0), ( ,0)A F c ，因为 AFM△ 是正三角形， 所以 1 3( 1),2 2 c cM       ，将其代入 2 2 2 11 yx c  ，得 2 2 2 ( 1) 3( 1) 14 4( 1) c c c    ，即 2( 1) 3( 1) 14 4( 1) c c c    ， 所以 3 2( 1) 3( 1) 4( 1), ( 1)( 2 3) 3( 1)c c c c c x c           ， ( 1)( 3) 3c c    ， 2 4 0, 4c c c    ，所以离心率 4ce a  ． M N F A O 12．已知函数 3 21 1( ) 23 2f x x a x x       ，则 ( )f x 的零点个数可能有（ ） A．1 个 B．1 个或 2 个 C．1 个或 2 个或 3 个 D．2 个或 3 个 12．答案：A 解析：当 0a  时，函数 ( )f x 只有 1 个零点； 当 0a  时，由 3 21 1( ) 2 03 2f x x a x x        ，显然 0x  ，则 2 3 2 3 1 21 6 3 32 1 2 3 x x a x x xx       ， 设 1t x ，则 3 21 3( ) 6 3 2g t t t ta     ， 2 3( ) 18 6 , 36 108 72 02g t t t          ，则 ( ) 0g t  恒成 立，所以函数 ( )g t 单调递增，且 ( )g t 可取遍( , )  ，所以 1 ( )g ta  有且只有 1 个解，即 ( )f x 只有 1 个零点． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13． 3( 1)( 2)x x  的展开式中 2x 的系数为 ．（用数字填写答案） 13．答案：6 解析： 3 3 2( 1)( 2) ( 1)( 6 12 8)x x x x x x       ，所以展开式中 2x 的系数为12 6 6  ． 14．已知 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数，且函数 ( 1)y f x  为偶函数，当 0 1x≤ ≤ 时， 3( )f x x ，则 5 2f      ． 14．答案： 1 8 解析： ( )f x 关于(0,0) 对称，关于直线 1x   对称，所以 35 5 1 1 1 2 2 2 2 8f f f                              15．设{ }na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 n 项和．已知 1 2 4, ,S S S 成等比数列，且 3 5a  ，则数列{ }na 的通项公式为 ． 15．答案： 2 1na n  解析：设等差数列{ }na 的公差为 ( 0)d d  ，则 1 2 45 2 , 10 3 , 20 2S d S d S d      ，因为 2 2 1 4S S S  ， 所以 2(10 3 ) (5 2 )(20 2 )d d d    ，整理得 25 10 0, 0, 2d d d d     ， 3 ( 3) 5 2( 3) 2 1na a n d n n        ． 16．过点 ( ,0)M m 作直线 1 2l l、 与抛物线 2: 4E y x 相交，其中 1l 与 E 交于 A B、 两点，2l 与 E 交于C D、 两点， AD 过 E 的焦点 F ．若 AD BC、 的斜率 1 2k k、 满足 1 22k k ，则实数 m 的值为 ． 16．答案：2 解析：设 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4( , 2 ), ( , 2 ), ( ,2 ), ( , 2 )A t t B t t C t t D t t ，则 4 1 1 2 2 4 1 1 4 2( ) 2t tk t t t t    ，同理 2 2 3 2k t t  ， 因为 1 22k k ，所以 2 3 1 42( )t t t t   ① 直线 2 1 1 1 4 2: 2 ( )AD y t x tt t   ，将 (1,0)F 代入得 1 4 1t t   ， ② 直线 2 1 1 1 2 2: 2 ( )AB y t x tt t   ，将 ( ,0)M m 代入得 1 2t t m  ， ③ 同理可得 3 4t t m  ④ 由②③④可得 1 3 2 4 4 4 1 , ,mt t t mtt t     ，将其代入①，得 4 4 4 4 1 12 , 2m t t mt t                ． 6 4 2 2 5 10 C B D MO F A 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC△ 中，角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 2sin sin cos 2 CA B  ， ( 3 )sin ( )(sin sin )c b C a b A B    ． （1）求 A 和 B 的大小； （2）若 ABC△ 的面积为 3 ，求 BC 边上中线 AM 的长． 17．（1）因为( 3 )sin ( )(sin sin )c b C a b A B    ，所以( 3 ) ( )( )c b c a b a b    ， 所以 2 2 2 3a b c bc   ，即 3cos 2A  ，所以 30A   ， 因为 2sin sin cos 2 CA B  ，所以 1 cossin sin 2 CA B  ，即sin 1 cosB C  ， 因为 150B C   ，所以sin 1 cos(150 ) 1 cos150 cos sin150 sinB B B B         ， 即  1 3sin cos sin 60 12 2B B B     ，所以 30B   ． ……………………6 分 （2） , 120a b C   ，因为 21 3sin 32 4ABCS ab C a  △ ，所以 2a b  ， 在 ACM△ 中， 2 2 2 12 cos120 4 1 2 1 2 72AM AC CM AC CM                 ， 所以 7AM  ．……………………………………………………………………………………12 分 A B C M 18．（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 12, 30 , 6AB AC AA BC ACA BC        ． （1）求证：平面 1ABC  平面 1 1AAC C ； （2）求二面角 1 1B AC C  的余弦值． （1）记 1 1AC AC O ，连结 BO ．因为 1AB BC ，所以 1BO AC ． 由题意知 1ACC△ 为正三角形，求得 3CO  ，在 1ABC△ 中求得 3BO  ，又 6BC  ， 所以 2 2 2BC CO BO  ，所以 BO CO ．因为 1CO AC O ，所以 BO  平面 1 1AAC C ． 因为 BO  平面 1ABC ，所以平面 1ABC  平面 1 1AAC C ．………………………………6 分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 1 1(0,1,0), (0, 1,0), ( 3,0,0), ( 3, 1, 3)A C C B   ， 1(0, 2,0), ( 3, 2, 3)AC AB      ． 因为 BO  平面 1 1AAC C ，所以平面 1 1AAC C 的法向量为 (0,0, 3)m   ． 设平面 1 1AB C 的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 1 2 0 3 2 3 0 n AC y n AB x y z               ，取 1x  ，则 0, 1y z   ， 所以 (1,0, 1)n    ． 所以 3 2cos , 23 2 m nm n m n            ，因为所求二面角的平面角为钝角， 所以所求二面角 1 1B AC C  的余弦值为 2 2 ．………………………………………………12 分 A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 O x y z 19．（本小题满分 12 分） 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为 l，单位：cm），先从中随机抽取 100 件，测量 发现全部介于 85cm 和 155cm 之间，得到如下频数分布表： 分组 [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) [125，135) [135，145) [145，155] 频数 2 9 22 33 24 8 2 已知该批产品的质量指标值服从正态分布 2( , )N   ，其中  近似为样本的平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）． （1）求 (132.2 144.4)P l  ； （2）公司规定：当 115l ≥ 时，产品为正品；当 115l  时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若 是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元．记 为生产一件这种产品的利润，求随机变量 的分布 列和数学期望． 参考数据： 150 12.2 ． 若 2( , )X N  ～ ，则 ( ) 0.6826, ( 2 2 ) 0.9544P X P X              ≤ ≤ ， ( 3 3 ) 0.9974P X      ≤ ． 19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为： 90 0.02 100 0.09 110 0.22 120 0.33 130 0.24 140 0.08 150 0.02 120x                ， 抽取产品质量指标值的方差为： 2 900 0.02 400 0.09 100 0.22 0 0.33 100 0.24 400 0.08 900 0.02 150                ， 因为 (120,150), 150 12.2l N  ～ ， 1( ) (120 132.2) 0.6826 0.3413,2 1( 2 ) (120 144.4) 0.9544 0.4772,2       ≤ ≤ ≤ ≤ P l P l P l P l                (132.2 144.4) (120 144.4) (120 132.2) 0.1359≤ ≤P l P l P l       ．………………6 分 （2）由频数分布表得： ( 115) 0.02 0.09 0.22 0.33, ( 115) 1 0.33 0.67≥P l p l        ． 随机变量 的取值为90, 30 ，且 ( 90) 0.67, ( 30) 0.33 P P    ． 则随机变量 的分布列为：  90 30 P 0.67 0.33 所以 90 0.67 30 0.33 50.4E      ． ……………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 设 1 2F F、 分别为椭圆 2 2: 12 xE y  的左、右焦点，动点 0 0 0 0( , ) ( 0, 1)P x y y y   在 E 上． 1 2F PF 的 平分线交 x 轴于点 ( ,0)M m ，交 y 轴于点 N ，过 1F N、 的直线l 交 E 于C D、 两点． （1）若 1 2m  ，求 0x 的值； （2）研究发现 0x m 始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求 2F CD△ 面积的取值范围． 20．解析：（1）由题意知 1 2( 1,0), (1,0)F F ． 直线 1PF 的方程为 0 0 00 ( 1)1 yy xx    ，即 0 0 0( 1) 0y x x y y    ， 直线 2PF 的方程为 0 0 00 ( 1)1 yy xx    ，即 0 0 0( 1) 0y x x y y    ． 由点 1 ,02M      到 1PF 和 2PF 的距离相等，得 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 ( 1) ( 1) y y y y y x y x        ． （*） 其中 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2( 1) 1 ( 1) 22 2y x x x x        ， 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2( 1) 1 ( 1) 22 2y x x x x        ，且 02 2x   ． 所以（*）式可化为 0 0 3 1 2 2x x  ，解得 0 1x  ．……………………………………………………4 分 （2）定值为 2，即 0 2x m  ． 直线 PM 的方程为 0 0 00 ( )yy x mx m    ，令 0x  ，并考虑 0 2x m ，得 0y y  ． 所以点 N 的坐标为 0(0, )y ，从而过 1F N、 的直线l 的方程为 000 ( 1)1 0 yy x    ，即 0 ( 1)y y x   ， 代入 2 2 12 x y  ，消去 x ，得 2 2 2 0 0 0(1 2 ) 2 0y y y y y    ．设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ， 则 2 0 0 1 2 1 22 2 0 0 2 ,1 2 1 2 y yy y y yy y      ． 所以 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 2 4 8 ( 1)( ) 4 1 2 1 2 (1 2 ) y y y yy y y y y y y y y              ， 所以 2 2 2 0 0 1 2 1 2 2 2 0 8 ( 1)1 2 (1 2 )F CD y yS F F y y y     △ ． 因为 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 8 ( 1) 2[(1 2 ) 1] 12 1(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) y y y y y y           ，其中 0 00, 1y y   ， 所以 2 2 0 0 2 2 0 1 160 1,1 1 2 3, 0 2 1 (1 2 ) 9y y y            ，所以 2 40 3F CDS △ ， 所以 2F CD△ 面积的取值范围为 40, 3      ．………………………………………………………………12 分 D C N MF1 O F2 P 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x ax x    ． （1）当 1a   时，求 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( )f x 存在两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x ，证明： 1 2 1 2 ( ) ( ) 12 4 f x f x ax x    ． 21．解析：当 1a   时， 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x x x    ， (1) 0f  ． 21 1 1 2 ( 2)( 1)( ) 2 2 2 2 x x x xf x xx x x            ． 当 1x  时， ( ) 0f x  ；当0 1x  时， ( ) 0f x  ． 在 (0,1) 单调递增，在(1, ) 单调递减．………………………………………………4 分 （2）因为 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x ax x    ，所以 21 1 1 2( ) 2 2 2 ax xf x axx x       ． 因为 ( )f x 存在两个极值点，所以 2 2 0ax x   在(0, ) 有两根． 所以 0 1 8 0 a a      ，所以 10 8a  ，且 1 2 1 2 1 2,x x x xa a   ． 因为 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1(ln ln ) ( ) ( )( ) ( ) ln ln 14 2 4 x x a x x x xf x f x x x x x x x x x           ． 要证 1 2 1 2 ( ) ( ) 12 4 f x f x ax x    ，只需证 1 2 1 2 1 2 ln ln 22x x ax x x x     ，即证 1 21 12 2 2 1 ln 1 x xx xx x      ． 令 1 2 1x tx   ，只需证 2( 1)ln 1 tt t   ． 令 2( 1)( ) ln , (1) 01 tg t t gt    ，所以 2 2 1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) tg t t t t t      ≥ ， 所以 ( )g t 在 (1, ) 单调递增，因为 1t  ，所以 ( ) (1)g t g ，即 2( 1)ln 01 tt t   ． 所以， 1 2 1 2 ( ) ( ) 12 4 f x f x ax x    ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 x t y t     （t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos  ． （1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 相交于 A B、 两点，求 OAB△ 的面积． 22．解析：（1） 1C 的普通方程为 3 0x y   ，由 4cos  ，得 2 4 cos   ， 又因为 2 2 2 , cosx y x     ，所以 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x   ．……………………4 分 （2）原点O 到直线 3 0x y   的距离 3 2 d  ， 2C 的标准方程为 2 2( 2) 4x y   ，表示圆心为 2 (2,0)C ，半径 2r  的圆． 2C 到直线 3 0x y   的距离 2 3 2 2d  ，所以 2 2 22 14AB r d   ． 所以 1 1 3 3 7142 2 22OABS AB d    △ ．………………………………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知 ( ) 1 1f x x ax a     ． （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集； （2）若 1x≥ 时，不等式 ( ) 2f x x ≥ 恒成立，求 a 的取值范围． 23．解析：（1）当 1a  时，不等式 ( ) 3f x ≥ 化为 1 3x x  ≥ ． 当 1x   时， 1 3x x   ≥ ，解得 2x ≤ ，所以 2x ≤ ； 当 1 0x ≤ ≤ 时， 1 3,1 3x x  ≥ ≥ ，无解； 当 0x≥ 时， 1 3x x  ≥ ，解得 1x≥ ，所以 1x≥ ． 所以，不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集为( , 2] [1, )   ．…………………………………………………4 分 （2）当 1x≥ 时，不等式 ( ) 2f x x ≥ 化为 1 1 2x ax a x    ≥ ，即 1 1ax a  ≥ ． 由 1 1ax a  ≥ ，得 1 1ax a  ≤ 或 1 1ax a  ≥ ，即 ( 1) 2a x  ≤ 或 ( 1) 0a x  ≥ ． 当 x≥1 时，不等式 ( 1) 2a x  ≤ 不恒成立； 当 1x≥ 时，若不等式 ( 1) 0a x  ≥ 恒成立，则 0a≥ ． 所以，所求 a 的取值范围为[0, ) ．…………………………………………………………10 分 3 2 1 1 2 2 4 B A C2O