数学卷·2018届河南省鹤壁市淇县一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河南省鹤壁市淇县一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省鹤壁市淇县一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（12道题，共60分）‎ ‎1．已知函数f（x）=2x2﹣4的图象上一点（1，﹣2）及邻近一点（1+△x，﹣2+△y），则等于（　　）‎ A．4 B．4△x C．4+2△x D．4+2（△x）2‎ ‎2．已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（　　）‎ A．3 B．﹣ C． D．﹣‎ ‎3． |x2﹣4|dx=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数y=（5x﹣3）3的导数是（　　）‎ A．y'=3（5x﹣3）2 B．y'=15（5x﹣3）2 C．y'=9（5x﹣3）2 D．y'=12（5x﹣3）2‎ ‎5．若函数f（x）=xn+3x在点M（1，4）处切线的斜率为3+3ln3，则n的值是（　　）‎ A．3 B．2 C．4 D．1‎ ‎6．函数y=在上的最大值是（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（　　）‎ A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J ‎9．函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（　　）‎ A．πa2 B． C． D．‎ ‎11．对于R上可导的任意函数f（x），且f′（1）=0若满足（x﹣1）f′（x）＞0，则必有（　　）‎ A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）≤2f（1） C．f（0）+f（2）＞2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）‎ ‎12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎　‎ 二.填空题（4道题，共20分）‎ ‎13．已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=　　．‎ ‎14．已知f（cos2x）=1﹣2sin2x，则f'（x）=　　．‎ ‎15．在曲线的切线y=x3+3x2+6x﹣10斜率中，最小值是　　．‎ ‎16．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三．（6道题，共70分）‎ ‎17．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求函数y的极小值．‎ ‎18．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．‎ ‎19．求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎20．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），‎ ‎（1）求导数f'（x）；‎ ‎（2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在上的最大值和最小值；‎ ‎（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和上的最小值及相应的x值；‎ ‎（3）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省鹤壁市淇县一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（12道题，共60分）‎ ‎1．已知函数f（x）=2x2﹣4的图象上一点（1，﹣2）及邻近一点（1+△x，﹣2+△y），则等于（　　）‎ A．4 B．4△x C．4+2△x D．4+2（△x）2‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】求出f（1+△x），△y=f（1+△x）﹣f（1），结合定义求解即可．‎ ‎【解答】解：∵△y=2（1+△x）2﹣4﹣（2﹣4）=2△x2+4△x，‎ ‎∴=2△x+4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（　　）‎ A．3 B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】导数的运算；极限及其运算．‎ ‎【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式f′（x）=即可解得．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3． |x2﹣4|dx=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据函数的积分公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵当0≤x≤1时，|x2﹣4|=4﹣x2，‎ ‎∴|x2﹣4|dx=（4﹣x2）dx=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=（5x﹣3）3的导数是（　　）‎ A．y'=3（5x﹣3）2 B．y'=15（5x﹣3）2 C．y'=9（5x﹣3）2 D．y'=12（5x﹣3）2‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据复合函数的导数公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数为y′=3（5x﹣3）2（5x﹣3）′=15（5x﹣3）2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．若函数f（x）=xn+3x在点M（1，4）处切线的斜率为3+3ln3，则n的值是（　　）‎ A．3 B．2 C．4 D．1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求函数导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=xn+3x的导数f′（x）=nxn﹣1+3xln3，‎ 则在点M（1，4）处切线的斜率k=f′（1）=n+3ln3=3+3ln3，‎ 解得n=3，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．函数y=在上的最大值是（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．‎ ‎【解答】解：y′=，x∈，‎ 令y′＞0，解得：x＜1，‎ 令y′＜0，解得：x＞1，‎ ‎∴函数y=在递增，在递减，‎ ‎∴y最大值=y|x=1=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．‎ ‎【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，‎ 故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；‎ 当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（　　）‎ A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J ‎【考点】定积分的简单应用．‎ ‎【分析】根据胡克定律F=kx，得：k=，即W=Fdx═100xdx，解得答案．‎ ‎【解答】解：根据胡克定律F=kx，得：k===100N/m，‎ ‎∴W=Fdx═100xdx=0.18J，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先计算函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0即可得函数的单调增区间，注意函数的定义域为（0，+∞）‎ ‎【解答】解：依题意，f′（x）=4x﹣= （x＞0）‎ 由f′（x）＞0，得⇔4x2﹣1＞0⇔x＞‎ ‎∴函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递增区间为[，+∞）‎ 故选C ‎　‎ ‎10．在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（　　）‎ A．πa2 B． C． D．‎ ‎【考点】组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为h，底面半径为r，利用平面几何知识算出h=a﹣2r，从而得到侧面积关于r的二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质即可得到侧面积的最大值．‎ ‎【解答】解：如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为h，底面半径为r（0＜r＜），‎ 则根据三角形相似，可得，可得h=a﹣2r，‎ ‎∴内接圆柱的侧面积为S=2πr（a﹣2r）=﹣4π（r﹣）2+，‎ 当且仅当r=时，侧面积有最大值 故选B ‎　‎ ‎11．对于R上可导的任意函数f（x），且f′（1）=0若满足（x﹣1）f′（x）＞0，则必有（　　）‎ A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）≤2f（1） C．f（0）+f（2）＞2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）＞0‎ ‎∴x＞1时，f′（x）＞0；x＜1时，f′（x）＜0‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数 ‎∴f（2）＞f（1）‎ ‎ f（0）＞f（1）‎ ‎∴f（0）+f（2）＞2f（1），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【考点】导数的运算；函数恒成立问题；基本不等式．‎ ‎【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b ‎ c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）≥0，知，∴c．‎ 又f′（x）=2ax+b，‎ ‎∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．‎ ‎∴≥1+=≥1+=2．‎ 当且仅当4a2=b2时，“=”成立．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二.填空题（4道题，共20分）‎ ‎13．已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=　x﹣1　．‎ ‎【考点】定积分；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】根据题意设f（x）=x+b，然后建立等式b=2∫01（x+b）dx，最后利用定积分的定义进行求解，求出b即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）为一次函数，且，‎ ‎∴设f（x）=x+b 则b=2∫01（x+b）dx=2（x2+bx）|01=2（+b）‎ 解得：b=﹣1‎ ‎∴f（x）=x﹣1‎ 故答案为：x﹣1‎ ‎　‎ ‎14．已知f（cos2x）=1﹣2sin2x，则f'（x）=　1　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先求出函数的解析式，然后根据函数的导数公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（cos2x）=1﹣2sin2x=cos2x，‎ ‎∴f（x）=x，‎ 则f′（x）=1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎15．在曲线的切线y=x3+3x2+6x﹣10斜率中，最小值是　3　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+6x﹣10，‎ ‎∴f'（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，‎ ‎∵当x=﹣1时，f'（x）取到最小值3．‎ ‎∴f（x）=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3．‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎16．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　（﹣2，2）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．‎ ‎【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，‎ 得x=±1，‎ 可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2，‎ 极小值为f（1）=﹣2，‎ 如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．‎ 故答案为：（﹣2，2）‎ ‎　‎ 三．（6道题，共70分）‎ ‎17．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求函数y的极小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；‎ ‎（2）令y′=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）y′=3ax2+2bx，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，‎ 即 ‎（2）y=﹣6x3+9x2，y′=﹣18x2+18x，令y′=0，得x=0，或x=1‎ 当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．‎ ‎∴y极小值=y|x=0=0．‎ ‎　‎ ‎18．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．‎ ‎【考点】定积分的简单应用．‎ ‎【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．‎ ‎【解答】解：联立，解得x1=1，x2=2‎ ‎∴S=∫01（x2+2﹣3x）dx+∫12（3x﹣x2﹣2）dx=+=1‎ ‎　‎ ‎19．求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 令，‎ 化简为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2（舍去），x2=1．‎ 当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；‎ 当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．‎ 所以为函数f（x）的极大值．‎ 又因为f（0）=0，f（2）=ln3﹣1＞0，f（1）＞f（2），‎ 所以f（0）=0为函数f（x）在上的最小值，‎ 为函数f（x）；‎ 在上的最大值．‎ ‎　‎ ‎20．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），‎ ‎（1）求导数f'（x）；‎ ‎（2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在上的最大值和最小值；‎ ‎（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和上的最大值为，最小值为．‎ ‎（3）f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，‎ 由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，‎ 即∴﹣2≤a≤2，‎ ‎∴a的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎21．某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p2=，生产100件这样的产品单价为50万元．‎ ‎（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；‎ ‎（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．‎ ‎【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p2=中求出k的值确定出P的解析式，然后根据总利润=总销售额﹣总成本得出L（x）即可；‎ ‎（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意有，解得k=25×104，∴，‎ ‎∴总利润=；‎ ‎（2）由（1）得，令，‎ 令，得，∴t=5，于是x=t2=25，‎ 则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．‎ 这时L（25）≈﹣416.7+2500﹣1200≈883．‎ 答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．‎ ‎（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；‎ ‎（2）当a≥﹣2时，求函数f（x）在上的最小值及相应的x值；‎ ‎（3）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）将a=﹣2代入，然后求出导函数f'（x），利用x∈（1，+∞），f′（x）＞0，可得结论；‎ ‎（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；‎ ‎（3）当x∈时，f（x）≤a+2可化为a≥，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=．‎ ‎∴当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）解：f′（x）=（x＞0），当x∈，2x2+a∈．‎ 若a≥﹣2，f'（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），‎ 故函数f（x）在上是增函数，此时min=f（1）=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（3）解：当x∈时，f（x）≤a+2可化为a≥，‎ 令g（x）=，则g′（x）=‎ ‎∵x∈，∴g′（x）≥0‎ ‎∴g（x）在上为增函数，‎ ‎∴g（x）的最小值为g（1）=﹣1，‎ ‎∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．‎