专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．了解任意角的概念 ‎2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 ‎3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 象限角与终边相同的角 例1、 (1)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。‎ ‎(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。‎ ‎【答案】（1） ‎（2）见解析 解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为。‎ ‎ (2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以－－2kπ＜－α＜－π－2kπ(k∈Z)，‎ 即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ (k∈Z)，‎ 所以角－α的终边在第二象限。‎ 由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，‎ 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)。‎ 所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．终边在某直线上角的求法步骤 ‎(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。‎ ‎(4)求并集化简集合。‎ ‎2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设角α是第二象限的角，且＝－cos，则角属于(　　)‎ A．第一象限　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 热点题型二 扇形的弧长及面积公式 例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。‎ ‎(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？‎ 解析：(1)设圆心角是θ，半径是r，‎ 则⇒(舍)故扇形圆心角为。‎ ‎(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40。‎ S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，‎ 当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2。‎ 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大。‎ ‎【提分秘籍】 弧度制应用的关注点 ‎1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度。在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系。‎ ‎2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝‎12 cm，求弧长l。‎ 热点题型三 三角函数的定义及其应用 例3． (1)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为________。‎ ‎(2)顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________。‎ ‎【答案】（1）－ （2） ‎【解析】(1)由题意得，r＝，所以＝m，‎ 因为m≠0，所以m＝±。‎ 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，‎ 所以cosθ＝＝＝－，‎ 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，‎ 所以cosθ＝＝＝－。‎ ‎(2)由三角函数的定义得A(cos30°，sin30°)，‎ B(cos60°，sin60°)，即A，B。‎ 所以|AB|＝ ‎＝＝。‎ ‎【提分秘籍】三角函数定义的应用方法 ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。‎ ‎(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。‎ ‎(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝(　　)‎ A．－ B．± C．－ D．± ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ 图11‎ ‎　　A　 　　　 　　　　　B C　 　　　　　　　　D ‎【答案】C　‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.sin(-270°)=　(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎ C. D.1‎ ‎【解析】选D. 因为-270°角的终边位于y轴的非负半轴上，在其上任取一点(0，y)，则r=y，所以sin(-270°)= ==1.‎ ‎2.已知α是第四象限角，则π-α是　(　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎【解析】选C. 因为α，π-α的终边关于y轴对称，所以由题意得π-α是第三象限角.‎ ‎3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　(　　)‎ A. B. C.- D.-‎ ‎【解析】选B. 由题意小明需要把表调慢一个小时，逆时针旋转时针弧度.‎ ‎4.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的终边在第　　　　象限(　　)‎ A.一 B.二 C.三 D.四 ‎【解析】选D. 因为=，所以α在第四象限.‎ ‎5.下列命题中正确的是　(　　)‎ A.若两扇形面积的比是1∶4，则它们弧长的比是1∶2‎ B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 D.任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系 ‎【解析】选D. 由扇形面积公式S=l·r，得到面积由弧长和半径乘积确定，而不是只由弧长确定，故A，B，C错误，把角的概念推广到任意角之后任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系，所以D正确.‎ ‎6.若tanα<0，且sinα>cosα，则α在　(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[]‎ ‎【解析】选B. 因为tanα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限.‎ ‎7.对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是　(　　)‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【解析】选C. 先选定一周，A:270°到360°再加360°的整数倍，B:-90°到0°再加360°的整数倍，D:630°到720°再加360°的整数倍，故A，B，D都正确，只有C错误.‎ ‎8.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α=，则点P的坐标为　(　　)‎ A.(1，) B.(，1)‎ C.() D.(1，1)‎ ‎【解析】选D.设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得 即 故点P的坐标为(1，1).‎ ‎9.下列终边相同的角是　(　　)‎ A.kπ+与，k∈Z B.kπ±与，k∈Z C.kπ+与2kπ±，k∈Z D.(2k+1)π与(4k±1)π，k∈Z ‎10.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致为　(　　)‎ ‎【解析】选C.如图，取AP的中点为D，设∠DOA=θ，‎ 则d=2sinθ，l=2θR=2θ，‎ 所以d=2sin.‎ ‎11．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为　　　　　.‎ ‎【解析】根据正弦线和余弦线的定义知，‎ 当α=和时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同.‎ ‎【答案】或 ‎12．若sinθ·cosθ<0，=cosθ，则点P在　(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解析】选B.因为sinθ·cosθ<0，=cosθ，所以cosθ>0，sinθ<0，所以θ在第四象限，tanθ<0，>0，所以P在第二象限.‎ ‎13.已知角α的终边经过点P(‎3a-9，a+2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是　　　　　.‎ ‎【解析】由得 所以-20时，sinθ=∈，cosθ=-∈，‎ 则cos(sinθ)·sin(cosθ)‎ ‎=cos·sin<0;‎ 当a<0时，sinθ=-∈，‎ cosθ=∈，‎ 则cos(sinθ)·sin(cosθ)=cos·sin>0.‎ 综上，当a>0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负;当a<0时，‎ cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正.‎ ‎18.已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断的符号.‎ ‎【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y轴上或x轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-10，sin(cosθ)<0，故<0，即符号为负.‎ ‎19.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长.‎ ‎ ‎