数学理卷·2018届河南省豫北豫南名校高三第二次联考联评（2017

数学理卷·2018届河南省豫北豫南名校高三第二次联考联评（2017

豫南豫北2017-2018学年第二次联考联评 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A．真真真 B．真真假 C．假假真 D．假假假 ‎3.设为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若是椭圆的右焦点，与椭圆上点的距离的最大值为，最小值为，则椭圆上与点的距离等于的点的坐标是（ ）‎ A． B． C. D．不存在 ‎5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.线段的黄金分割点定义：若点在线段上，且满足，则称点为线段的黄金分割点，在中，，若角的平分线交边于点，则点为边的黄金分割点，利用上述结论，可以求出（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.函数.若该函数的两个零点为，则（ ）‎ A． B． C. D．无法判定 ‎8.等差数列中，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．与的大小无关 ‎10.已知圆，点，若过两点的动抛物线的准线始终与圆相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.‎ A．直线 B．椭圆 C.双曲线 D．抛物线 ‎11.数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若关于的方程有唯一的实数解，则正数（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围是．‎ ‎14.设变量满足约束条件：，则的取值范围是．‎ ‎15.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为．‎ ‎16.已知非常数数列满足为数列的前项和.若，则．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求最小值.‎ ‎18. 如图：四棱锥平面.底面为直角梯形，‎ 为边上一点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它“相似”作物株数之间的关系如下表所示：‎ 这里，两株作物“相似”是指它们之间的直线距离不超过米.‎ ‎（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相似”的概率；‎ ‎（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布与数学期望.‎ ‎20. 已知：如图，两同心圆：和.为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若当时，函数的最大值为，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）为曲线上任一点，过点作曲线的切线（为切点），求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 定义在上的函数，若，有，则称函数为定义在上的非严格单增函数；若，有，则称函数为定义在上的非严格单减函数.已知：.‎ ‎（1）若函数为定义在上的非严格单增函数，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若函数为定义在上的非严格单减函数，试解不等式.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BCACA 6-10:BCDCB 11、12：CA 二、填空题 ‎13.且 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，由得，，‎ ‎，故，.‎ ‎（2）由余弦定理得，，‎ ‎，‎ 故的最小值为.‎ ‎18.证明：（1）平面 又 和为等腰三角形，‎ ‎，即 而平面 ‎.‎ ‎（2）建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则 不妨设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 则，可求得：‎ 同理可得：所以，‎ 由图可知，二面角的平面角为钝角，故其余弦值为.‎ ‎19.解析：（1）由图知，三角形边界共有个格点，内部共有个格点.‎ 从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有对格点，共对格点恰好“相似”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相似”的概率.‎ ‎（2）三角形共有个格点，与周围格点的距离不超过米的格点数都是个的格点有 个，坐标分别，所以，‎ 与周围格点的距离不超过米的格点数都是个的格点有个，坐标分别为，所以 与周围格点的距离不超过米的格点数都是个的格点有个，坐标分别为.所以 与周围格点的距离不超过米的格点数都是个的格点有个，坐标分别为.所以 如下表所示：‎ 频数 概率 ‎.‎ ‎20.解 ：（1）设垂足，则 因为在上，所以，所以 故垂足的轨迹方程为：‎ 方法二：设垂足 则 故垂足的轨迹方程为：‎ ‎（2）不妨设直线的方程为，则有：，‎ 又因为圆与轴相切，故：‎ 即（*）‎ 联立直线方程和曲线方程：得：‎ 故，‎ 代入（*）式中得：，‎ 解之得：‎ 故所求的直线的方程为：‎ ‎21.解：（1），设，‎ 由题意知：在上恒成立，即恒成立.‎ 设，因此在上是单调增加的，在上是单调减少的，，故.‎ ‎（2），因为，故函数在上是单调递减.‎ 又，故必，使得，即（*），因为，所以.‎ 当时，，则；‎ 当时，，则.‎ 因此，函数的增区间为，减区间为.‎ ‎，由（*）式得，‎ 因为，故.‎ 法二：（2），因为，故函数在上是单调递减.‎ 又，故必，使得，即（*），因为，所以.‎ 当时，，则；‎ 当时，，则.‎ 因此，函数的增区间为，减区间为.‎ 由得：，即且，因为，所以，解得：，又，‎ 令，所以，即成立.‎ ‎22.解：（1）；‎ ‎（2）由（1）知，曲线为圆心，半径为的圆，故，当且仅当取得最小值时，取得最小值，，所以，.‎ ‎23.解：（1）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因为为定义在上的非严格单增函数，根据定义，可得：.‎ ‎（2）函数为定义在上的非严格单减函数，由（1）知，且.‎ 所以，当时，不等式的解集为：∅；‎ 当时，不等式的解集为：.‎