2017-2018学年安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）高一1月联考数学试题（解析版）

2017-2018学年安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）高一1月联考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）高一1月联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ 所以，故选项A正确。选项B,C,D不正确。‎ 选A。‎ ‎2．下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数为偶函数可排除A,B，对于选项C，函数在区间上为减函数，故不正确。对于选项D，函数为偶函数，且在区间上为增函数，故正确。选D。‎ ‎3．已知函数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，所以。选C。‎ ‎4．函数的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件得 ‎。‎ 所以，因此函数的零点所在的区间为。选C。‎ ‎5．三个数之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，所以。选B。‎ ‎6．已知是第二象限角， 为其终边上一点，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角函数的定义得，‎ 解得。‎ 又点在第二象限内，‎ 所以。选D。‎ ‎7．已知, 那么的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】上下同时除以,得到： ‎ 故答案选 点睛：本题可以采用上下同时除以求得关于的等式，继而求出结果，还可以直接去分母，化出关于和的等式，也可以求出结果。‎ ‎8．已知向量 ， ．若共线,则的值是（）‎ A. -1 B. -2 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵， ，且共线，‎ ‎∴，解得。‎ 选B。‎ ‎9．函数的图像（）‎ A. 关于原点对称 B. 关于点对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】由于函数无奇偶性，故可排除选项A,C；‎ 选项B中，当时， ，所以点是函数图象的对称中心，故B正确。‎ 选项D中，当时， ,所以直线不是函数图象的对称轴，故D不正确。‎ 选B。‎ ‎10．函数在上单调递增，则取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①当时， ，在上单调递减，不合题意。‎ ‎②当时，函数图象的对称轴为。‎ 若函数在上单调递增，‎ 则需满足，解得。‎ 综上可得，实数取值范围是。选D。‎ 点睛：解答本题时注意以下两点：‎ ‎（1）对于函数，需要通过讨论的取值情况来判断函数的类型。‎ ‎（2）对于二次函数的单调性问题，在解决过程中要依据二次函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的位置关系进行分析讨论求解．‎ ‎11．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的解析式为；再将所得的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为。选C。‎ ‎12．已知函数，函数,若函数有四个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象如图所示。‎ 设，由，得，‎ 由题意得方程在上有两个不同的实数解，‎ 所以，解得。‎ 故实数的取值范围是。选B。‎ 点睛：已知方程解的个数（或函数零点的个数）求参数的取值范围时，可通过分离参数的方法将问题转化为求函数的值域问题处理；也可构造两个函数，在同一坐标系内画出两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解．‎ 二、填空题 ‎13．_______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】。‎ 答案： ‎ ‎14．若幂函数的图象经过点, 则的值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数，‎ ‎∵点在函数的图象上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 答案： ‎ ‎15．如图，在中， 为边上靠近点的三等分点，连接， 为线段的中点，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，又，故答案为．‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．‎ ‎16．已知函数为上的增函数，则实数取值的范是_________.‎ ‎【答案】[2,3)‎ ‎【解析】∵函数为上的增函数，‎ ‎∴，解得。‎ 故实数取值的范是。‎ 答案： ‎ 点睛：分段函数是一种形式特殊的函数，它具有函数的一切性质。对于分段函数在实数集R上的单调递增（减）的问题，除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系，否则求出的参数的范围会出现错误。‎ 三、解答题 ‎17．已知集合, ， ‎ ‎(1) 求 ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据并集的定义直接求，求出后再求。（2）根据 ，并结合数轴求解。‎ 试题解析：‎ ‎(1) , ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎(2) ∵， ，且，‎ ‎∴.‎ 故实数的取值范围为。‎ ‎18．已知角的终边与单位圆交于点 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据三角函数的定义求解。（2）先化简，再根据（1）中的结论求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）已知角的终边与单位圆交于点，‎ ‎∴；‎ ‎（2）。‎ ‎19．已知为常数，且， ， ．‎ ‎（1）若方程有唯一实数根，求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎【答案】(1) ；(2) ， .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由可得，故，‎ 根据方程有唯一实数根，可得判别式为0，求得后可得解析式。（2）当时， ，结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求最值。‎ 试题解析：‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎（1）∵方程有唯一实数根，‎ 即方程有唯一实数根，‎ ‎∴ ，‎ 解得，‎ ‎∴。‎ ‎（2）当时， ， ,‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增。‎ ‎∴，‎ 又,‎ ‎∴。‎ ‎∴函数在区间上的最大值与最小值分别为3， 。‎ 点睛：‎ ‎（1）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系进行分析讨论求解；‎ ‎（2）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型，解题时都要根据对称轴与区间的关系及函数图象的开口方向求解。当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。 ‎ ‎20．已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求的值及的单调增区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据图象求得，可得，故，把看作一个整体，并根据正弦函数的单调增区间可得函数的单调增区间。（2）由可得，根据正弦函数的性质可得，从而可得函数的最大值和最小值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图象可得，最小正周期为，‎ ‎∴． ‎ ‎∴，‎ 由，‎ 得．‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴函数在区间上的最大值为2，最小值为。‎ ‎21．已知函数为奇函数, 为常数. ‎ ‎（1）确定的值； ‎ ‎（2）求证： 是的增函数； ‎ ‎（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由是奇函数可得，从而，整理得，比较系数得，验证得不合题意，故。（2）设，做差比较可得，故，即，证得结论成立。（3）分离参数得在上恒成立，设，根据单调性求得，从而可得结论。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数是奇函数，‎ ‎ ，‎ 即 ‎ ‎∴，‎ 整理得， ‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 当时， ，不合题意舍去，‎ ‎ ∴。‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 设，‎ 则，‎ ‎ ∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴，即.‎ ‎∴是上的增函数. ‎ ‎（3）依题意得在上恒成立，‎ 设， ，‎ 由（2）知函数在上单调递增，‎ ‎∴当，‎ 所以. ‎ 故实数的取值范围为.‎ 点睛：解决恒成立问题的方法 ‎（1）将恒成立问题转化为函数的最值问题处理，即若恒成立，则只需；若恒成立，则只需。‎ ‎（2）通过分离参数，转化为求具体函数的最值问题处理。即若恒成立，则只需；若恒成立，则只需。‎ ‎22．若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期. ‎ ‎（1）证明：若存在不为零的常数使得函数 对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数. ‎ ‎（2）若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间 内零点的最少个数.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)4035.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据所给出的周期函数的定义证明即可，由题意可得 ，从而可得结论。（2）由条件可得函数的周期为2，故，又，故；根据题意得，故，从而可得 ，在此基础上可得函数零点的最少个数。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，‎ ‎∴ ‎ 即,‎ ‎∴函数是周期函数，且是函数的一个周期.‎ ‎（2）解：∵，‎ 由（1）可知函数是周期函数，且是函数的一个周期,‎ 即，‎ 又函数是上的奇函数，‎ ‎∴。‎ ‎∴ ……①‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ……②‎ 由①②有 .‎ 又，‎ ‎∴函数在区间内的零点最少有个。 ‎