数学卷·2018届江苏省南通市高三第一次调研测试（2018

数学卷·2018届江苏省南通市高三第一次调研测试（2018

南通市2018届高三第一次调研测试 数学Ⅰ 一、选择题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合，.若，则实数的值为 ▲ .‎ ‎2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为 ▲ .‎ ‎3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为，，.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取 ▲ 名学生.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ .‎ ‎5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作个社团中随机选择个，则数学建模社团被选中的概率为 ▲ .‎ ‎6.若实数满足则的最大值为 ▲ .‎ ‎7.在平面直角坐标系中，已知点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为 ▲ .‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值为 ▲ .‎ ‎9.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为 ▲ .‎ ‎10.若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为 ▲ .‎ ‎11.如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为 ▲ .（不计损耗）‎ ‎12.如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为 ▲ .‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的最大值为 ▲ .‎ ‎14.已知函数.若函数有个零点，则实数的取值范围是 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.如图，在三棱锥中，，，是的中点.点在棱上，点是的中点. ‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎16.在中，角，，所对的边分别是，，，且，.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两条准线之间的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程. ‎ ‎18.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道，，将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点 在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计） ‎ ‎（1）若经过圆心，求点到的距离；‎ ‎（2）设，.‎ ‎①试用表示的长度；‎ ‎②当为何值时，绿化区域面积之和最大.‎ ‎19.已知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）当时，若函数的最小值为，证明：.‎ ‎20.若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”.‎ ‎（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；‎ ‎（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列.‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-1：几何证明选讲]‎ 如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.‎ B.[选修4-2：矩阵与变换]‎ 已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求与.‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，直线与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长.‎ D.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知，，求的最小值.‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，且，.‎ ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.‎ ‎23.（1）用数学归纳法证明：当时，‎ ‎（，且，）；‎ ‎（2）求的值.‎ 南通市2018届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、选择题 ‎1. 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. ‎ ‎9. 10. 11. 12.‎ ‎13. 14. ‎ 二、解答题 ‎15.【证明】（1）在中，是的中点，‎ 是的中点，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）在中，，是的中点，‎ 所以，‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面.‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎16.【解】（1）在中，根据余弦定理及得，.‎ 又因为，所以.‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎.‎ ‎（2）因为，所以，即得.‎ 又，所以.‎ 在中，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎17.【解】（1）设椭圆的焦距为，由题意得，，‎ 解得，，所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）方法一：因为，‎ 所以，‎ 所以点为的中点.‎ 因为椭圆的方程为，‎ 所以.‎ 设，则.‎ 所以①，②，‎ 由①②得，‎ 解得，（舍去）.‎ 把代入①，得，‎ 所以，‎ 因此，直线的方程为即，.‎ 方法二：因为，所以，所以点为的中点.‎ 设直线的方程为.‎ 由得，‎ 所以，解得，‎ 所以，，‎ 代入得，‎ 化简得，‎ 即，解得，‎ 所以，直线的方程为即，.‎ ‎18.【解】以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）直线的方程为，‎ 半圆的方程为，‎ 由得.‎ 所以，点到的距离为.‎ ‎（2）①由题意，得.‎ 直线的方程为 ‎，‎ 令，得 ‎.‎ 直线的方程为，‎ 令，得.‎ 所以，的长度为 ‎，.‎ ‎②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为 ‎，‎ 区域Ⅱ的面积为 ‎，‎ 所以.‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎.‎ 当且仅当，即时“”成立.‎ 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.‎ 答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.‎ ‎19.【解】（1）因为，令，解得.‎ 列表如下.‎ 极小值 所以时，取得极小值.‎ 因为，‎ 由题意可知，且 所以，‎ 化简得，‎ 由，得.‎ 所以，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 记，则，令，解得.‎ 列表如下.‎ 极小值 所以时，取得极小值，也是最小值，‎ 此时，‎ ‎.‎ 令，解得.‎ 列表如下.‎ 极小值 所以时，取得极小值，也是最小值.‎ 所以 ‎.‎ 令，则，‎ 记，，‎ 则，.‎ 因为，，‎ 所以，所以单调递增.‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎20.【解】（1）当为奇数时，，所以.‎ ‎.‎ 当为偶数时，，所以.‎ ‎.‎ 所以，数列是“数列”.‎ ‎（2）由题意可得：，‎ 则数列，，，是等差数列，设其公差为，‎ 数列，，，是等差数列，设其公差为，‎ 数列，，，是等差数列，设其公差为.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以①，②.‎ 若，则当时，①不成立；‎ 若，则当时，②不成立；‎ 若，则①和②都成立，所以.‎ 同理得：，所以，记.‎ 设，‎ 则 ‎.‎ 同理可得：，所以.‎ 所以是等差数列.‎ ‎【另解】， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 以上三式相加可得：，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，所以，‎ 所以，数列是等差数列.‎ ‎21.A.【解】延长交与点，‎ 连结，，，则过点，‎ 由切割线定理得：.‎ 因为，‎ 与均为等腰三角形，‎ 所以，所以，‎ 所以，即.‎ 因为，所以.‎ B.【解】由已知得，‎ 所以所以.‎ 设，‎ 则即.‎ 所以，，.‎ 所以，.‎ C.【解】曲线的普通方程为.‎ 联立解得或 所以，，‎ 所以.‎ D.【解】因为，，‎ 所以，.‎ 两式相加：，‎ 所以. ‎ 当且仅当且时“”成立.‎ 即时，取得最小值.‎ ‎22.【解】以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ ‎（1）由题意可知，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即令，‎ 则，.‎ 所以.‎ 平面的法向量为，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值.‎ ‎（2）由题意可知，，，‎ 设，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 化简得，所以或.‎ 又因为点异于点，所以.‎ 23. ‎【解】（1）①当时，等式右边 等式左边，等式成立.‎ ‎②假设当时等式成立，‎ 即.‎ 那么，当时，有 这就是说，当时等式也成立.‎ 根据①和②可知，对任何等式都成立.‎ ‎（2）由（2）可知， ，‎ 两边同时求导，得 所以 所以.‎