浙江专用2020高考数学二轮复习解答题规范练三

浙江专用2020高考数学二轮复习解答题规范练三

解答题规范练(三)‎ ‎1．设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1(ω>0)，直线y＝与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，且b＝3，求△ABC面积的最大值．‎ ‎2.‎ 如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，PA⊥圆O所在的平面，＝.‎ ‎(1)求证：CM∥平面PAD；‎ ‎(2)当CM与平面PAC所成角的正弦值为时，求AP的值．‎ ‎3．设函数f(x)＝＋.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)当实数x∈[0，1]，证明：f(x)≤2－x2.‎ - 6 -‎ ‎4.已知抛物线E：y2＝2px上一点(m，2)到其准线的距离为2.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)如图，A，B，C为抛物线E上的三个点，D(8，0)，若四边形ABCD为菱形，求四边形ABCD的面积．‎ ‎5．已知数列{an}的各项都是正数，且对任意的n∈N*，都有a＝2Sn－an，其中Sn为数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝3n＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意的n∈N*，都有bn＋1>bn成立．‎ - 6 -‎ 解答题规范练(三)‎ ‎1．解：(1)函数f(x)＝sin－2cos2x＋1＝sin ωxcos－cos ωxsin－2·＋1＝sin ωx－cos ωx ‎＝sin.‎ 因为f(x)的最大值为，‎ 所以f(x)的最小正周期为π，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin，‎ 因为sin＝0⇒B＝，‎ 因为cos B＝＝＝，‎ 所以ac＝a2＋c2－9≥2ac－9，ac≤9，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤.‎ 故△ABC面积的最大值为.‎ ‎2．解：(1)证明：作ME⊥AB于E，连接CE，则ME∥AP.①‎ 因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，‎ 所以AD⊥DC，AB⊥BC，‎ ‎∠BAC＝∠CAD＝30°，‎ ‎∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝.‎ 又＝，所以BE＝BA＝，tan∠BCE＝＝，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，‎ 所以EC∥AD，②‎ 由①②，且ME∩CE＝E，PA∩AD＝A，得平面MEC∥平面PAD，‎ 又CM⊂平面MEC，CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD.‎ - 6 -‎ ‎(2)依题意，如图，以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设AP＝a，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，a)，‎ D.‎ 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，CM与平面PAC所成的角为θ，‎ 则 设x＝，则n＝(，－3，0)，‎ 又＝＋＝＋，所以＝，‎ 所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝＝，所以a＝，即AP的值为.‎ ‎3．解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域是[－1，1]，‎ 因为f′(x)＝，当f′(x)≥0时，解得x≤0，‎ 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝f(－1)＝，f(x)max＝f(0)＝2，所以函数f(x)的值域为[，2]．‎ ‎(2)证明：设h(x)＝＋＋x2－2，x∈[0，1]，h(0)＝0，‎ 因为h′(x)＝－(1－x)－＋(1＋x)＋x＝x[1－]，‎ 因为(＋)＝·≤2，所以h′(x)≤0.‎ 所以h(x)在(0，1)上单调递减，又h(0)＝0，‎ 所以f(x)≤2－x2.‎ ‎4．解：(1)由已知可得，‎ - 6 -‎ 消去m得：‎ p2－4p＋4＝0，p＝2，‎ 抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，菱形ABCD的中心M(x0，y0)，‎ 当AC⊥x轴，则B在原点，M(4，0)，|AC|＝8，|BD|＝8，菱形的面积 S＝|AC||BD|＝32；‎ 当AC与x轴不垂直时，设直线AC的方程为x＝ty＋m，则直线BD的斜率为－t，‎ 由消去x得：y2－4ty－4m＝0，‎ 所以，所以x1＋x2＝＝＝4t2＋2m，‎ x0＝2t2＋m，y0＝2t，因为M为BD的中点，‎ 所以B(4t2＋2m－8，4t)，点B在抛物线上，且直线BD的斜率为－t，‎ ，解得m＝4，t＝±1，‎ 所以B(4，±4)，|BD|＝4，|AC|＝|y1－y2|＝＝×＝4，S＝|AC||BD|＝16，‎ 综上，S＝32或16.‎ ‎5．解：(1)因为对任意的n∈N*，a＝2Sn－an，①‎ 所以当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，②‎ 由①－②得，a－a＝(2Sn－an)－(2Sn－1－an－1)，‎ 即a－a＝an＋an－1，又an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．‎ 又当n＝1时，a＝2S1－a1，所以a1＝1.‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)因为an＝n(n∈N*)，‎ 所以bn＝3n＋(－1)n－1λ·2n，‎ 所以bn＋1－bn＝3n＋1－3n＋(－1)nλ·2n＋1－(－1)n－1λ·2n＝2×3n－3λ·(－1)n－1·2n.‎ 要使bn＋1>bn恒成立，只需(－1)n－1·λ<恒成立．‎ ‎①当n为奇数时，即λ<恒成立．又的最小值为1，所以λ<1.‎ ‎②当n为偶数时，即λ>－恒成立．‎ - 6 -‎ 又－的最大值为－，‎ 所以λ>－.‎ 由①②得，－<λ<1，又λ≠0且λ为整数，‎ 所以λ＝－1时，使得对任意的n∈N*，都有bn＋1>bn成立．‎ - 6 -‎