2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§10-2　二项式定理（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§10-2　二项式定理（讲解部分）

§10.2 二项式定理 高考数学 考点　二项式定理 1.二项式定理 公式( a + b ) n =   a n +   a n -1 b 1 + … +   a n - k b k + … +   b n ( n ∈N * )叫做二项式定理.公 式中右边的多项式叫做( a + b ) n 的二项展开式,其中各项的系数   ( k =0,1, … , n )叫做① 　二项式系数     ,式中的   a n - k b k 叫做二项展开式的通项,用 T k +1 表示,即通项为展开式的第②      k +1     项. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n +1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n ,即 a 与 b 的指数的和为 n . 考点清单 (3)字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减1直到0,字母 b 按升幂排 列,从第一项起,次数由零逐项增1直到 n . (4)二项式系数为   ,   , … ,   ,   . 3.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即③        =   . (2)增减性与最大值:对于二项式系数   ( r =0,1,2, … , n ),当 r <   时,二项式系 数是递增的;当 r >   时,二项式系数是递减的. 当 n 是偶数时,二项展开式的中间一项   的二项式系数最大,即最大 的二项式系数为④             . 当 n 是奇数时,二项展开式的中间两项   的二项式系数 相等且最大,即最大的二项式系数为⑤             和⑥             . (3)二项式系数的和 ( a + b ) n 的展开式的各个二项式系数的和等于2 n ,即⑦        +   +   + … +   + … +        =2 n . 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即   +   +   + … =   +   +   + … =⑧ 　2 n -1      . 考法一 　求二项展开式中特定项或特定项的系数问题 知能拓展 例1 　(1)(2019安徽合肥第一次教学质量检测,8)若   的展开式的常 数项是60,则 a 的值为   (　　) A.4　    B. ± 4　    C.2　    D. ± 2 (2)(2018山东枣庄二模,8)若( x 2 - a )   的展开式中 x 6 的系数为30,则 a 等 于   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.2 解题导引 　(1)常数项是指 x 0 项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时 用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合 指数幂运算化通项为最简形式再求解. (2)的展开式中 x 6 项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个 来源,分别是哪两个?写出   展开式的通项公式,求出   的展开 式中 x 4 项和 x 6 项的系数再求解. 解析 　(1)   的展开式的通项为 T r +1 =   ( ax ) 6- r ·   =(-1) r a 6- r ·     , 令6-   r =0,解得 r =4. ∴常数项为(-1) 4 a 6-4 ·   =15 a 2 =60. ∴ a = ± 2,故选D. (2)   的展开式的通项为 T r +1 =   · x 10- r ·   =   · x 10-2 r , 令10-2 r =4,解得 r =3,所以 x 4 项的系数为   ; 令10-2 r =6,解得 r =2, 所以 x 6 项的系数为   , 所以( x 2 - a )·   的展开式中 x 6 的系数为   - a   =30, 解得 a =2.故选D. 答案 　(1)D　(2)D 方法总结　 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出 r ,代回通项即可. 考法二 　求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题 例2 　(1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2 x ) n 的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为   (　　) A.-960　    B.960 C.1 120　    D.1 680 (2)若   的展开式中含 x 的项为第6项,设(1-3 x ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n ,则 a 1 + a 2 + … + a n 的值为 　　　     . 解题导引 　(1)由二项展开式偶数项的二项式系数之和等于奇数项的二项 式系数之和,得2 n =256,求出 n 后,由通项求中间项的系数;(2)先由二项展开式 的通项求出 n ,令 x =1,可得各项系数之和; a 0 的值如何求得呢?可根据所求式 子形式,对 x 灵活赋值. 解析 　(1)根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128, 所以在(1-2 x ) n 的展开式中,二项式系数之和为256, 即2 n =256, n =8, 则(1-2 x ) 8 的展开式的中间项为第5项, 且 T 5 =   (-2) 4 x 4 =1 120 x 4 , 所以展开式的中间项的系数为1 120. (2)展开式   的通项为 T r +1 =   ( x 2 ) n - r ·   =   (-1) r x 2 n -3 r , 因为含 x 的项为第6项, 所以 r =5,2 n -3 r =1,解得 n =8,令 x =1,得 a 0 + a 1 + … + a 8 =(1-3) 8 =2 8 ,令 x =0,得 a 0 =1, 所以 a 1 + a 2 + … + a 8 =2 8 -1=255. 答案 　(1)C　(2)255 方法总结 　1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如( ax + b ) n ( a 、 b ∈R)的式子,求展开式中各项系数之和常用赋值法,只需令 x =1即 可;对形如( ax + by ) n ( a 、 b ∈R)的式子,求展开式中各项系数之和,只需令 x = y = 1即可. 2.一般地,对于多项式( a + bx ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n ,令 g ( x )=( a + bx ) n ,则 ( a + bx ) n 的展开式中各项系数的和为 g (1), ( a + bx ) n 的展开式中奇数项的系数和为   [ g (1)+ g (-1)], ( a + bx ) n 的展开式中偶数项的系数和为   [ g (1)- g (-1)].