新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(34基本不等式)

新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(34基本不等式)

新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）‎ 典题精讲 例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;‎ ‎（2）求函数y=x+的值域.‎ 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.‎ ‎（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.‎ ‎∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.‎ 解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.‎ ‎∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.‎ ‎∴x=时，函数取得最大值.‎ ‎（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.‎ 当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.‎ ‎∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.‎ ‎∴y=x+≤-2.‎ 综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).‎ 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.‎ 变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.‎ 思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.‎ 解：∵x＞-1,∴x+1＞0.‎ ‎∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.‎ 当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.‎ ‎∴f(x)min=1.‎ 变式训练2求函数y=的最小值.‎ 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.‎ 解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.‎ ‎∴y==.‎ ‎∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.‎ ‎∴当x=0时，函数取得最小值3.‎ 例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.‎ 思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.‎ 解法一：利用“1的代换”,‎ ‎∵+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)·(+)=10+.‎ ‎∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.‎ 当且仅当，即y=3x时，取等号.‎ 又+=1,∴x=4,y=12.‎ ‎∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.‎ 解法二：由+=1，得x=.‎ ‎∵x＞0,y＞0,∴y＞9.‎ x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.‎ ‎∵y＞9,∴y-9＞0.‎ ‎∴≥2=6.‎ 当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,‎ ‎∴(x-1)(y-9)=9.‎ ‎∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,‎ 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,‎ ‎∴x=4,y=12.‎ ‎∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.‎ 绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.‎ 黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：‎ ‎+≥2①,即≤1,∴≥6.‎ ‎∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.‎ 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.‎ 变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.‎ 思路分析：本题属于“1”的代换问题.‎ 解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.‎ ‎∵x,y＞0,a,b＞0，‎ ‎∴x+y≥10+2=18，即=4.‎ 又a+b=10，‎ ‎∴或 例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.‎ 思路分析：∵0＜x＜1,‎ ‎∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.‎ 解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.‎ ‎∴(-lgx)+(-)≥2=4.‎ ‎∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.‎ 当且仅当lgx=,即x=时取得等号.‎ 则有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最小值为-1.‎ 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.‎ 变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.‎ 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.‎ 解：∵x＜,∴4x-5＜0.‎ y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3‎ ‎≤-2+3=-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.‎ 所以当x=1时，函数的最大值是1.‎ 变式训练2当x＜时，求函数y=x+的最大值.‎ 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最值.‎ 解：y=（2x-3）++=-（）+，‎ ‎∵当x＜时，3-2x＞0，‎ ‎∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号.‎ 于是y≤-4+=，故函数有最大值.‎ 例4如图‎3-4-1‎，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.‎ 图‎3-4-1‎ ‎（1）现有可围‎36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？‎ ‎（2）若使每间虎笼面积为‎24 m2‎，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？‎ 思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.‎ 解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.‎ 设每间虎笼的面积为S，则S=xy.‎ 方法一：由于2x+3y≥2=2,‎ ‎∴2≤18,得xy≤，即S≤.‎ 当且仅当2x=3y时等号成立.‎ 由解得 故每间虎笼长为‎4.5 m，宽为‎3 m时，可使面积最大.‎ 方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.‎ ‎∵x＞0,∴0＜y＜6.‎ S=xy=(9-y)y= (6-y)y.‎ ‎∵0＜y＜6,∴6-y＞0.‎ ‎∴S≤［］2=.‎ 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长‎4.5 m,宽‎3 m时，可使面积最大.‎ ‎(2)由条件知S=xy=24.‎ 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.‎ 方法一:∵2x+3y≥2=2=24,‎ ‎∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.‎ 由解得 故每间虎笼长‎6 m，宽‎4 m时，可使钢筋网总长最小.‎ 方法二:由xy=24，得x=.‎ ‎∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.‎ 故每间虎笼长‎6 m,宽‎4 m时，可使钢筋总长最小.‎ 绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：‎ ‎（1）x,y都是正数；‎ ‎（2）积xy（或x+y）为定值；‎ ‎（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.‎ 变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为‎200 平方米的三级污水处理池(平面图如图‎3-4-2‎所示),由于地形限制,长、宽都不能超过‎16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.‎ 图‎3-4-2‎ 思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.‎ 解：设污水处理池的长为x米,则宽为米(0＜x≤16,0＜≤16),∴12.5≤x≤16.‎ 于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.‎ ‎=800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800,‎ 当且仅当x= (x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.‎ 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.‎ 对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.‎ Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324()］‎ ‎=800×＜0,‎ ‎∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.‎ ‎∴Q(x)≥Q(16)=45 000.‎ 答:当污水处理池的长为‎16米,宽为‎12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.‎ 问题探究 ‎ 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,‎ 环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.‎ 导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.‎ 探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.‎ 由题意知y=n+.‎ ‎∵n+≥2,‎ 当且仅当n=,即n=时取等号.‎ 但考虑到n∈N*,‎ ‎∴n≈2×1.414=2.828≈3,‎ 即此人应选3楼,不满意度最低.‎