新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（二十） 基本初等函数、函数与方程
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新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（二十）
基本初等函数、函数与方程
[全国卷 考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
比较指数幂与对数值的大小·T3
指数、对数运算·T14
指数值与对数值的大小比较与函数性质的综合问题·T11
指数函数、对数函数、幂函数的性质·T6
2018
分段函数的零点问题·T9
对数式的比较大小问题·T12
2017
指数与对数的互化、对数运算、比较大小·T11
函数的零点问题·T11
(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～12题的位置，有时难度较大．
(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视．
[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
0，且a≠1)的图象可能是( )
[解析] (1)因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，0c>a.故选B.
(2)y＝x＝，y＝2－x＝，y＝logx，y＝的图象如图所示．
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由图象知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
(3)当01时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．显然A、B、C、D四个选项都不符合．故选D.[答案] (1)B (2)A (3)D
[解题方略]基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和α<0两种情况的不同．
[多练强化]
1．(2019·天津高考)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．clog24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<0.30＝1，∴ c0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选B.
法二：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．由图可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
(2)由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.
∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3. [答案] (1)B (2)3
[解题方略]
1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
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2．判断函数零点个数的3种方法
题型二 根据函数的零点求参数的范围
[例3] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B.[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
(2)(2019·合肥市第一次质检测)若关于x的方程ex＋ax－a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－e2，0] B.[0，e2)
C．(－e，0] D.[0，e)
[解析] (1)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
(2)法一：由题意可知只需证ex＋ax－a>0恒成立，即证ex>－a(x－1)．当x<1时，－a>，令f(x)＝，则f′(x)＝<0，则f(x)单调递减，即有f(x)<0，解得－a≥0，即a≤0；
当x＝1时，e>0成立，a可以是任意实数；
当x>1时，－a<，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，也是最小值e2，即有－a－e2.综上，实数a的取值范围是(－e2，0]．故选A.
法二：因为x＝1不满足方程ex＋ax－a＝0，所以原方程化为ex＋a(x－1)＝0，a＝，令g(x)＝，x<1时，
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g(x)∈(0，＋∞)；x>1时，g′(x)＝，令g′(x)＝0，x＝2
x
(1，2)
2
(2，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
递增
递减
当g(2)＝－e2，即x>1时，g(x)∈(－∞，－e2]，综上可得，g(x)的值域为(－∞，－e2]∪(0，＋∞)，要使a＝无解，则－e20，得函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)，由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]．故选D.
直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用
[典例] 已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
A．1 B.2
C．3 D.4
[解析] 函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.[答案] B
[素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．
本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．
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A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是( )
A．(0，0) B.(0，－1)
C．(－2，0) D.(－2，－1)
2．(2019·福建五校第二次联考)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B.b>a>c
C．b>c>a D.c>a>b
3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为( )
A．1 B.2
C．3 D.4
4．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B.(－∞，1)
C．(1，＋∞) D.(4，＋∞)
5．已知函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，－log32) B.(0，log52)
C．(log32，1) D.(1，log34)
6．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数 B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1，1)上的减函数 D．(－1，1)上的增函数
7．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为( )
8．若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)＝( )
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A．3 B.4
C．5 D.6
9．设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B.x1x2＝1
C．x1x2>1 D.03成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.(－∞，1)
C. D.
12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x<1时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为( )
A．2 B.3
C．4 D.5
二、填空题
13．已知函数f(x)＝则f＋f＝________．
14．有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．
15．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
16．(2019·河北模拟调研改编)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．
B组——“5＋3”提速练
1．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
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C．f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A. R B. R
C. R D. R
3．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B.10.1
C．lg 10.1 D.10－10.1
4．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a0 B.a＋b>1
C．2a＋b>0 D.2a＋b>1
5．(2019·江西八所重点中学联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足x>0时，f(x)＝x－ln x＋ln，则函数g(x)＝f(x)－sin x的零点个数是( )
A．1 B.2
C．3 D.5
6．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足00时，f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为________．
8．(2019·福建省质量检查)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－恰有2个零点，则a
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的取值范围为______．
1解析：选C 令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2，0)．故选C.
2解析：选D a＝log3，c＝log＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35>log3>log33，所以c>a>1.借助指数函数y＝的图象易知b＝∈(0，1)，故c>a>b.故选D.
3解析：选B 函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．
令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．
由图象得h(x)与g(x)有2个交点，
∴方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数为2.故f(x)＝|logx2|＋x－2的零点个数为2.
4解析：选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D.
5解析：选C ∵函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log320，则－10得x ∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3＝log3＝log3在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等价于不等式f>f(1)成立，所以解得0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以00，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当00，又易知－10，∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0.故选A.
5解析：选C 函数g(x)＝f(x)－sin x的零点个数即函数f(x)的图象与y＝sin x图象的交点个数．当x>0时，f(x)＝x－ln x＋ln，则f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，则x＝.当0时，f′(x)>0.则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时，f(x)取得最小值，且最小值为f ＝1.函数y＝sin x在x＝处取得最大值1，所以当x>0时，f(x)的图象与y＝sin x的图象的交点有且只有一个，即.又f(x)和y＝sin x均为奇函数，所以根据对称性知当x<0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f(x)的图象与y＝sin x图象的交点个数为3，即函数g(x)＝f(x)－sin x的零点个数是3.故选C.
6解析：由题意得函数f(x)＝ax＋x－b为增函数，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
所以函数f(x)＝ax＋x－b在(－1，0)内有一个零点，故n＝－1.答案：－1
7解析：令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，
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由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6，6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.答案：8
8解析：当x≥1时，g(x)＝f(x)－＝－，则g′(x)＝，由g′(x)>0，得1≤xe，所以函数g(x)在[1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)在[1，＋∞)上有最大值，且g(x)max＝g(e)＝－>0，又g(1)＝－<0，g(e3)＝－<0，所以在[1，＋∞)上g(x)＝f(x)－有2个不同的零点，则由题意知当x<1时，函数g(x)＝f(x)－＝ax2－a－无零点．当a>0时，g(x)在(－∞，1)上有最小值，且g(x)min＝g(0)＝－a－<0，此时函数g(x)有零点，不满足题意；当a＝0时，g(x)＝－<0，此时函数g(x)无零点，满足题意；当a<0时，g(x)在(－∞，1)上有最大值，且g(x)max＝g(0)＝－a－，由g(x)max<0，得－
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