2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省佛山市三水区实验中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．(2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=‎ A．30 B．45 C．60 D．120‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．‎ ‎【考点】向量的夹角公式．‎ ‎【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．‎ ‎2．在中，己知，，，则角的值为（ ）‎ A．或 B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理求出，再由a边长度大于b边长度，得出角A的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理：则有，‎ 又则或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 考查正弦定理在三角形中的应用.题目难度较易.‎ ‎3．已知等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ 则有.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.‎ ‎4．已知，，，则（ ）‎ A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 ‎【答案】D ‎【解析】观察可得向量和相加后与向量存在倍数关系，则可判断四点的关系.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，则有.‎ 则A，C，D三点共线.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 考查平面向量的共线判定.知识点较为简单.‎ ‎5．等差数列的前项和为，最后项和为，所有项的和为，则项数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的通项公式和前n项和公式联立方程即可解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，则有，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的通项公式，数列的前n项求和公式. 知识点较为基础，题目难度一般.‎ ‎6．在中，若，则是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理化角为边得，由余弦定理化角为边得，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，由正弦定理可得 ，‎ 由余弦定理可得，，‎ 即，即 ，‎ 即是等腰三角形，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎7．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造矢量图来解.‎ ‎【详解】‎ 由题意画出矢量图如下：‎ 为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向，‎ 由此.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 考查向量的运算和向量的实际应用.难度较易.‎ ‎8．等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )‎ A．130 B．170 C．210 D．160‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的前n项和的性质，成等差数列，即可得出.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前n项和的性质，成等差数列，‎ 所以，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和及其性质，其中熟记等差数列通项公式和前n项的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．在中，内角的对边是，若，，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，又，所以 ‎，则；故选C.‎ ‎10．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形面积公式，可求的值，再利用余弦定理公式可得的值，两者联立方程可解b，c的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，则有①，‎ 由，得②，‎ 联立①②，解得或，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查解三角形中面积公式和余弦定理的应用.题目难度一般.‎ ‎11．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】由，推出，可知三角形ABC的中线和底边垂直，则三角形ABC为等腰三角形.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 即；‎ ‎∴,则三角形ABC的中线和底边垂直.‎ 所以是等腰三角形．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系.知识点较为基础.‎ ‎12．已知数列的前项和满足：，已知，，则下面结论错误的是（ ）‎ A．， B．‎ C．与均为的最大值 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等差数列的前n项求和公式代入，再联立方程可解.‎ ‎【详解】‎ 等差数列的前项和是，且，，‎ ‎，即，‎ ‎，即，.‎ 等差数列的前项为正数，从第项开始为负数，则，．‎ 为的最大值．‎ 故A，B，D正确，错误的是C．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的求和公式，此题公差为负数，为递减的等差数列.‎ 等差数列求和公式：.‎ 二、填空题 ‎13．在中，已知，，，则角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将已知条件代入余弦定理可求出角的余弦值，则角大小可知.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，‎ ‎∵角为三角形内角，∴.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查余弦定理的应用.知识点较为基础.难度较易.‎ ‎14．已知平面向量＝(－2，m)，＝(1，)，且，则实数m的值为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】, , , ,.‎ ‎15．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升，共发出大米升，问修筑堤坝多少天”这个问题中，前天一共应发大米____________升.‎ ‎【答案】1170‎ ‎【解析】每天增加的人数一定，则5天一共有：第一天的人数+每天增加的人数4‎ 发大米数量等于总人数3.‎ ‎【详解】‎ 第一天派出人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多人，‎ 第天派出：人，‎ 前天共派出(人，‎ 前天应发大米：（升）‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的概念,等差数列前n项求和公式.题目难度较易.‎ ‎16．如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在，中，利用余弦定理可得=，‎ 再结合可得，再结合三角形面积公式可得，将值代入运算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：连接BD，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以=，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 所以四边形面积 ‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理及三角形的面积公式，重点考查了解三角形及运算能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18．在△中，角的对边分别为，且，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求边的长和△的面积.‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.因为，由正弦定理得：，从而有，又因为大角对大边，而，因此角B为锐角，.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得解得或（舍），再由三角形面积公式得.‎ 试题解析：解：（1）因为，‎ 所以， 2分 因为，所以，‎ 所以， 4分 因为，且，所以． 6分 ‎（2）因为，，‎ 所以由余弦定理得，即，‎ 解得或（舍），‎ 所以边的长为. 10分 ‎． 13分 ‎【考点】正余弦定理 ‎19．已知向量，不共线，且满足，，，.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若.‎ ‎①求向量和夹角的余弦值；‎ ‎②当时，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）①，②‎ ‎【解析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.‎ ‎（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），且. ‎ 令，‎ 即， ‎ 又，不共线，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）①设与夹角为，‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎②，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又，，. ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 考查向量的共线，垂直和夹角公式.‎ 共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．‎ 夹角公式：. ‎ 向量垂直：.‎ ‎20．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【答案】救援船到达D点需要1小时。‎ ‎【解析】【详解】‎ 海里 又海里 中，由余弦定理得,‎ 海里，则需要的时间 答：救援船到达D点需要1小时 ‎21．若数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的通项公式．‎ ‎（3）设，求.‎ ‎【答案】（1）见解析，；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的定义求证，即数列的前一项减后一项为一个常数.（2）先求等差数列的通项，则可推出数列的通项.（3）可用裂项相消求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：，，‎ ‎，‎ 又，是以为首项，为公差的等差数列；‎ ‎，.‎ ‎（2）当时，‎ ‎[或时，],‎ 当时，，‎ ‎.‎ ‎(3) 由（2）知，当时，‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的定义，通项公式和利用裂项相消法求数列的前n项和.知识点较为广泛，需加深掌握.‎ ‎22．已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若点是直线上一点，且，求证：；‎ ‎（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在满足要求，理由见解析 ‎【解析】（1）运用等差数列的定义求证，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.（2）由三点共线，则有①，再将分解为，再代入①中可解.（3）先假设成立，在坐标系中运用向量的坐标运算可得①‎ ‎，再根据时，恒有，推出②，再联立①②可推出P点横坐标和纵坐标推出P点存在.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设等差数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以为定值，‎ 即数列也是等差数列 ‎（2）证明：因为点、和都是直线上一点，‎ 故有，，‎ 于是，‎ 即 所以，‎ 令，，‎ 则有；‎ ‎（3）解：假设存在点满足要求，‎ 则有，‎ 又当时，恒有，‎ 则又有，‎ 所以，‎ 又因为数列成等差数列，‎ 于是，‎ 所以，‎ 故，‎ 同理，‎ 且点在直线上（是、的中点），‎ 即存在满足要求．‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的定义，平面向量共线定理的运用，以及数列和平面向量的综合应用.本题较为抽象，需多多理解.‎