数学卷·2018届福建省福州外国语学校高二上学期期末数学模拟试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届福建省福州外国语学校高二上学期期末数学模拟试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州外国语学校高二（上）期末数学模拟试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z满足（z﹣1）•i=1+i，则=（　　）‎ A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i ‎2．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）‎ A．3＜m＜4 B． C． D．‎ ‎3．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．8‎ ‎6．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，5] B．（0，5） C．[5，+∞） D．（5，+∞）‎ ‎8．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离的最大值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，若A、B的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎10．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为 （　　）‎ A．2p B． C． D．3p ‎11．双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣4，﹣2]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，﹣] B．[，] C．[﹣，﹣] D．[，]‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．命题：∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0的否定是　　．‎ ‎14．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（﹣3，2）的椭圆方程为　　．‎ ‎15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　　．‎ ‎16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立； 命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an+2n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）令bn=+1，求证：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求满足an≥240的最小正整数n．‎ ‎18．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．‎ ‎（1）求sin∠BAD的值；‎ ‎（2）求AC边的长．‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，‎ ‎（1）求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．‎ ‎20．已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是2‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．‎ ‎21．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州外国语学校高二（上）期末数学模拟试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z满足（z﹣1）•i=1+i，则=（　　）‎ A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：由（z﹣1）•i=1+i，得，‎ ‎∴z=2﹣i，则．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）‎ A．3＜m＜4 B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，‎ 解得：．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．‎ ‎【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，‎ ‎∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，‎ ‎∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），‎ ‎∴=，即e2=，‎ ‎∴e=，即此椭圆的离心率为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．‎ ‎【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确； ‎ ‎②‎ ‎“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确； ‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．‎ 正确命题有①③．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）‎ ‎∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣4．‎ 设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），‎ 则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，‎ ‎∴y=2．‎ 将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，‎ ‎∴λ=4‎ ‎∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，‎ ‎∴C的实轴长为4．‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．设圆（x+1）2+y2‎ ‎=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题．‎ ‎【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，‎ ‎∴|MA|=|MQ|． 又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，‎ 点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，∴b=，‎ 故椭圆方程为 =1，即 ．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，5] B．（0，5） C．[5，+∞） D．（5，+∞）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即p：﹣1＜x＜5，‎ ‎∵q：0＜x＜a，a为正常数 ‎∴要使若p是q的必要不充分条件，‎ 则0＜a≤5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离的最大值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】由P在椭圆7x2+4y2=28上，知P点坐标是（），点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离d==，由此能求出点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离的最大值．‎ ‎【解答】解：∵P在椭圆7x2+4y2=28上，‎ 椭圆7x2+4y2=28的标准方程是，‎ 可设P点坐标是（），（0≤α＜360°）‎ ‎∴点P到直线3x﹣2y﹣16=0的距离 d=，‎ ‎=，（0≤θ＜360°）‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，若A、B的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点差法，可得，即可求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ 两式相减可得：，‎ ‎∴斜率为k=1的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，A、B的中点为M（1，3），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为 （　　）‎ A．2p B． C． D．3p ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】l：x=﹣，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d﹣即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣‎ 分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H 在直角梯形ABDC中，MH=，‎ 由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）‎ MH=≥=2p 即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，‎ ‎∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣4，﹣2]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，﹣] B．[，] C．[﹣，﹣] D．[，]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线C：﹣=1可知其左顶点A1（﹣，0），右顶点A2（，0）．设P（x0，y0）（x0≠±），则得=，记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2==，再利用已知给出的直线PA2斜率的取值范围是[﹣4，﹣2]，即可解出．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：﹣=1可知其左顶点A1（﹣，0），右顶点A2‎ ‎（，0）．‎ 设P（x0，y0）（x0≠±），则得=．‎ 记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2==，‎ ‎∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣4，﹣2]，‎ ‎∴直线PA1斜率的取值范围是[﹣，﹣]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．命题：∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0的否定是　∀x∈R，使得x2+2x+5≠0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：∀x∈R，使得x2+2x+5≠0．‎ 故答案为：∀x∈R，使得x2+2x+5≠0．‎ ‎　‎ ‎14．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（﹣3，2）的椭圆方程为　　．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】由椭圆4x2+9y2﹣36=0求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆过点（﹣3，2）求得a，根据b和c与a的关系求得b即可写出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：椭圆4x2+9y2﹣36=0，‎ ‎∴焦点坐标为：（，0），（﹣，0），c=，‎ ‎∵椭圆的焦点与椭圆4x2+9y2﹣36=0有相同焦点 设椭圆的方程为：‎ ‎，‎ ‎∴椭圆的半焦距c=，即a2﹣b2=5‎ ‎∴‎ 解得：a2=15，b2=10‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　9　．‎ ‎【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．‎ ‎【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．‎ ‎【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），‎ ‎∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4‎ 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5‎ 两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．‎ 故答案为9．‎ ‎　‎ ‎16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立； 命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为　（﹣∞，﹣2）∪[1，2）　．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性分别求得命题命题p、q为真时a的范围，再利用复合命题真值表判断：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，‎ 则△=4a2﹣16＜0，‎ 即a2＜4，解得﹣2＜a＜2；‎ 命题q为真命题，则3﹣2a＞1⇒a＜1，‎ 根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，‎ 当p真q假时，，则1≤a＜2；‎ 当p假q真时，，则a≤﹣2，‎ ‎∴实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a＜2，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，2）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an+2n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）令bn=+1，求证：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求满足an≥240的最小正整数n．‎ ‎【考点】数列递推式；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）由an+1=4an+2n+1，bn=+1，可得bn+1=2bn，结合a1=2，可得数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎（2）由（1）得：bn=2n，结合bn=+1，可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）令t=2n，则an≥240可化为：t2﹣t≥240，先解二次不等式，再解指数不等式可得答案．‎ ‎【解答】证明：（1）∵an+1=4an+2n+1，bn=+1，‎ ‎∴bn+1=+1===2（+1）=2bn，‎ 又∵a1=2，‎ ‎∴b1=2，‎ ‎∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎（2）由（1）得：bn=2n，‎ 即+1=2n，‎ ‎∴an=4n﹣2n，‎ ‎（3）令t=2n，则an≥240可化为：‎ t2﹣t≥240，‎ 解得：t≥16，‎ 即2n≥16，n≥4，‎ 故满足an≥240的最小正整数n=4‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．‎ ‎（1）求sin∠BAD的值；‎ ‎（2）求AC边的长．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；‎ ‎（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．‎ 又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，‎ 所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）‎ ‎=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．‎ ‎（2）在△ABD中，由=得=，‎ 解得BD=2．‎ 故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC ‎=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，‎ 得AC=4．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，‎ ‎（1）求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由已知得△ABD≌△CBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面BED，由此能证明AC⊥BD．‎ ‎（2）过C作CH⊥BD于点H，由已知得CH⊥平面ABD，过H做HK⊥AD于点K，连接CK，则∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角，由此能求出二面角C﹣AD﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．‎ ‎∴△ABD≌△CBD，‎ ‎∴AD=CD．‎ 取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC．‎ 又∵BE∩DE=E，‎ BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，‎ ‎∴AC⊥平面BED，‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎（2）解：过C作CH⊥BD于点H．则CH⊂平面BCD，‎ 又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，‎ ‎∴CH⊥平面ABD． ‎ 过H做HK⊥AD于点K，连接CK． ‎ ‎∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，‎ ‎∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．‎ ‎∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角． ‎ 连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．‎ ‎∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，‎ ‎∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=． ‎ ‎∴AD=，∴HK==．‎ ‎∴tan=，‎ ‎∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是2‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由条件，P到F（2，0）的距离等于到直线x=﹣2的距离，可得曲线C是以F为焦点、直线x=﹣2为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程；‎ ‎（2）由抛物线的定义，知x1+x2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的垂直平分线与x轴交于Q（t，0），则|QA|=|QB|，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由条件，P到F（2，0）的距离等于到直线x=﹣2的距离，‎ ‎∴曲线C是以F为焦点、直线x=﹣2为准线的抛物线，其方程为y2=8x；‎ ‎（2）∵|AF|+|BF|=8，‎ ‎∴x1+x2=4，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的垂直平分线与x轴交于Q（t，0），∴|QA|=|QB|‎ 即：（x1﹣t）2+y12=（x2﹣t）2+y22，‎ 又y12=8x1，y22=8x2，‎ ‎∴（x1﹣t）2+8x1=（x2﹣t）2+8x2‎ 整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣2t+8）=0，‎ ‎∴t=6，‎ ‎∴AB的垂直平分线恒过定点（6，0）．‎ ‎　‎ ‎21．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎【解答】解：（I）…①‎ 矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②‎ 由①②解得：a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆M的标准方程是．‎ ‎（II），‎ 由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ ‎．‎ 当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．‎ ‎①当时，有，，‎ 其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．‎ ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．‎ ‎③当﹣1≤m≤1时，，，‎ 由此知，当m=0时，取得最大值．‎ 综上可知，当或m=0时，取得最大值．‎ ‎　‎ ‎2017年1月24日