数学文卷·2018届江西省临川二中高三上学期第四次月考（期中）（2017

数学文卷·2018届江西省临川二中高三上学期第四次月考（期中）（2017

临川二中2018届高三上学期第四次月考 数学试卷（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，且，那么的值可以是（ ）‎ A． -1 B． 0 C． 1 D．2‎ ‎2.若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.当时，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.数列满足，，，则（ ）‎ A． 5 B． 9 C. 10 D．15‎ ‎5.定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.实数满足条件，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．4 C. 1 D．‎ ‎8.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“‎ 今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数，则的图像大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若方程有四个不同的解，且 ‎，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ．‎ ‎14.在中，，，，为的三等分点，则 ．‎ ‎15.如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ．‎ ‎16.设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18. 某中学在世界读书日期开展了“书香校园”系列读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.‎ ‎ ‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 ‎（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？‎ ‎（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率.‎ ‎ 附：，，‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点时，，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆：上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线：交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点，求面积的最大值及此时的值.‎ ‎21. 已知函数有两个不同的零点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的倾斜角为且经过点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DACDC 6-10: BDBAD 11、12：CD 二、填空题 ‎13. -2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由已知得：，‎ 即，‎ ‎∵，，‎ 即，‎ 又为三角形的内角，则，‎ 综上所述，.‎ ‎(2)∵，即，，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ 即，‎ ‎∵，∴，‎ 则， ‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎18. （1）2×2列联表如下：‎ 非读书迷 读书迷”‎ 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎ ‎ 有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. ‎ ‎（2）利用分层抽样抽取的8名“读书迷”中有男生3名，女生5名，分别设男生和女生为 ‎，，‎ 设从8名“读书迷”中选派2名，至少选派一名男生参加比赛的事件为，则基本事件共有28种，其中至少选派一名男生参加比赛的事件有18种.‎ 所以，，所以，至少选派一名男生参加比赛的概率为.‎ ‎19. （1）证明：由四边形为菱形，，‎ 可得，为正三角形. ‎ 因为M为的中点，所以. ‎ 又，因此. ‎ 因为平面，平面，‎ 所以. 而，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）. ‎ 则由，‎ ‎ ‎ ‎20. （1）∵椭圆的左顶点在圆上，∴‎ 又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴‎ ‎∴椭圆的方程为　 ‎ ‎（2）设，则直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ‎ ‎， ‎ 由题设知 ∴直线的方程为 令 得 ‎ 点.　　 ‎ ‎ 　‎ ‎（当且仅当即时等号成立）‎ ‎∴当时，的面积最大，最大值为1.　‎ ‎21. 所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图象在上有两个不同交点.‎ 又，即当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 从而，‎ 又有且只有一个零点是，且在时，，在时，，‎ 所以的草图如下：‎ 可见，要想函数与函数在函数上有两个不同交点，只需.‎ ‎（2）由（1）可知分别为方程的两个根，即，‎ 所以原式等价于.‎ 因为，所以原式等价于.‎ 又由作差得，，即.‎ 所以原式等价于.‎ 因为，原式恒成立，即恒成立.‎ 令，则不等式在上恒成立.‎ 令，则，‎ 当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；‎ 当时，可见当时，；当时，，‎ 所以在时单调递增，在时单调递减.‎ 又，所以在上不能恒小于，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.‎ ‎22. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标为,‎ 直线的参数方程为. ‎ 将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得， ‎ 直线与曲线有公共点，，得. ‎ 的取值范围为. ‎ ‎（2）曲线C的方程，‎ 其参数方程为， ‎ 为曲线C上任意一点，‎ ‎， ‎ 的取值范围是. ‎ ‎23. 显然， ‎ 当时，解集为， ，； ‎ 当时，解集为，令，无解，‎ 综上所述，. ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 取到最小值，由题意知，，则实数的取值范围是. ‎