数学卷·2018届湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二上学期12月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二上学期12月月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1‎ C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1‎ ‎2．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎3．已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（　　）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎4．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎5．设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．1+ D．3+2‎ ‎6．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（　　）‎ A．8 B．6 C．5 D．4‎ ‎7．椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（　　）‎ A． B．1或﹣2 C．1或 D．1‎ ‎8．双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±6x ‎9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（　　）‎ A．（1，8] B． C． D．（2，3]‎ ‎10．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题 ‎11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m（如图），则旗杆的高度为（　　）‎ A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m ‎12．已知命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立．若P为真，则参数 a 的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3） B． C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为　　．‎ ‎14．在等差数列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为　　．‎ ‎15．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　　．‎ ‎16．过椭圆+‎ ‎=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道大题，第17题10分，第18～22题，每大题12分，共60分）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）若a+c=，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1﹣，‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；‎ ‎（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎20．（12分）学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．‎ ‎21．（12分）已知命题P：函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1‎ C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1‎ ‎【考点】全称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 ‎　‎ ‎3．已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（　　）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．‎ ‎【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，‎ ‎∴q=2，‎ ‎∴a1（1+q）=3，‎ ‎∴a1=1，‎ ‎∴a7=26=64．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．‎ ‎　‎ ‎4．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据复合命题的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是：‎ ‎“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”，‎ 故此命题可以表示为￢p∨￢q 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假，掌握其真假判断规则是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎5．设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．1+ D．3+2‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】由已知可将+变形为（+）（x+2y）=（++3）的形式，结合基本不等式可得原式的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x，y＞0，且x+2y=3，‎ ‎∴+=（+）（x+2y）=（+）=（++3）≥（+3）=1+‎ 当且仅当==时取等号 故+的最小值为1+‎ 故选C ‎【点评】本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，熟练掌握基本不等式“一正，二定，三相等”的使用要点是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（　　）‎ A．8 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义，以及离心率，求出c然后求解椭圆短轴长即可．‎ ‎【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为 ‎，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，‎ 可得a=6，c=2，则b===4．‎ 则椭圆短轴长为：8．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（　　）‎ A． B．1或﹣2 C．1或 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．‎ ‎【解答】解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，‎ ‎∴它们的焦点在x轴上，‎ 且6﹣a2=a+4（a＞0），‎ 解得a=1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±6x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线方程，直接求解渐近线方程即可．‎ ‎【解答】解：双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是4x2﹣=0，即y=±6x．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（　　）‎ A．（1，8] B． C． D．（2，3]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，‎ 其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，‎ 由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．‎ 所以，1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题 ‎【考点】全称命题；复合命题的真假．‎ ‎【分析】‎ 先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．‎ ‎【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，‎ 令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，‎ 依据复合命题真假性的判断法则，‎ 得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，‎ 进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．‎ 故答案为C．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m（如图），则旗杆的高度为（　　）‎ A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴AC=•sin∠ABC=×=20（m），‎ 在Rt△ACD中，AD=•AC=×20=30（m）‎ 即旗杆的高度为30m．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．‎ ‎　‎ ‎12．已知命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立．若P为真，则参数 a 的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3） B． C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】求出￢p成立时，∀x∈[2，4]，都有a≥x+恒成立，从而求出p为真时，a的范围即可．‎ ‎【解答】解：命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立，‎ 则￢p：∀x∈[2，4]，都有x2﹣ax+2≤0成立，‎ 即∀x∈[2，4]，都有a≥x+恒成立，‎ 令f（x）=x+，x∈[2，4]，‎ 则f′（x）=1﹣=＞0，‎ 故f（x）在[2，4]递增，‎ f（x）max=f（4）=4+=，‎ 故a≥，‎ 即￢p成立时，a≥，‎ 故p为真时，a＜，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查命题的否定，是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=x+y，则y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，‎ 解得，即A（1，2），‎ 代入z=x+y得z=1+2=3．‎ 即z=x+y最大值为3，‎ ‎∴2x+y的最大值为23=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．在等差数列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，则数列{an}的前n项和Sn 的最小值为　﹣108　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】求出首项a4=﹣24，公差d=3，从而得到Sn=（n﹣）2﹣，由此能求出数列{an}的前n项和Sn的最小值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a4=﹣15，公差d=3，‎ ‎∴a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，‎ ‎∴Sn=﹣24n+=（n﹣）2﹣，‎ ‎∴n=8或n=9时，‎ 数列{an}的前n项和Sn取最小值S8=S9=﹣108．‎ 故答案为：﹣108．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　（0，1]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解得即可．‎ ‎【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，‎ q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m ‎∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴，‎ ‎∴0＜m≤1．‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　x+2y﹣4=0　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 ‎【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由题意可得，两式相减可得 由中点坐标公式可得，，‎ ‎==﹣‎ ‎∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0‎ 故答案为x+2y﹣4=0‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道大题，第17题10分，第18～22题，每大题12分，共60分）‎ ‎17．（10分）（2011秋•南通期末）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）若a+c=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】数列与三角函数的综合；解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用等差中项的性质，知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出∠B．‎ ‎（2）由（1）知B=，利用余弦定理得到=，再利用三角形面积公式，能求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，‎ ‎∴acosC+ccosA=2bcosB，‎ 由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，‎ 即sin（A+C）=2sinBcosB，‎ ‎∵A+C=π﹣B，0＜B＜π，‎ ‎∴sin（A+C）=sinB≠0，‎ ‎∴cosB=，B=．‎ ‎（2）由B=，得=，‎ 即，‎ ‎∴ac=2，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查等差中项，正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•上高县校级模拟）数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1﹣，‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）依题意，解方程x2﹣12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{an}的通项公式；由Tn=1﹣bn可求得数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）cn=an•bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，‎ ‎∴a2=3，a5=9．‎ ‎∴d==2，‎ ‎∴an=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1；‎ 又数列{bn}中，Tn=1﹣bn，①‎ ‎∴Tn+1=1﹣bn+1，②‎ ‎②﹣①得： =，又T1=1﹣b1=b1，‎ ‎∴b1=，‎ ‎∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴bn=•；‎ 综上所述，an=2n﹣1，bn=•；‎ ‎（2）∵cn=an•bn=（2n﹣1）••，‎ ‎∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn ‎=1×+3××+…+（2n﹣1）××，③‎ ‎∴Sn=×+3××+…+（2n﹣3）××+（2n﹣1）××，④‎ ‎∴③﹣④得： Sn=+ [+++…+]﹣（2n﹣1）××，‎ Sn=1+2[+++…+]﹣（2n﹣1）×‎ ‎=1+2×﹣（2n﹣1）×‎ ‎=2﹣×‎ ‎=2﹣（2n+2）×．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•安徽二模）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；‎ ‎（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a．‎ ‎（Ⅱ）平均分是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，由此利用频率分布直方图能求出平均分．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，由此利用列举法能过河卒子同这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：‎ ‎10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，‎ 解得a=0.03．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：‎ ‎=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，‎ 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，‎ 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，‎ 则所有的基本事件有：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），‎ ‎（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，‎ 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，‎ 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，‎ 则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，‎ 所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．‎ ‎【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2011秋•清远期末）学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】先设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，依题意，写出函数y的解析式，再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小．‎ ‎【解答】解：设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，‎ 又设占地面积为ym2，（1分）‎ 依题意，得，‎ 当且仅当，即x=28时，取“=”．（9分）‎ 答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2（10分）‎ ‎【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015秋•湛江校级期末）已知命题P：函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】若命题P为真，则a＞1．若命题Q为真，则a﹣2=0或，解得a．由P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，可得P真Q假，或P假Q真．即可解出．‎ ‎【解答】解：若命题P为真，则a＞1．‎ 若命题Q为真，则a﹣2=0或，解得﹣2＜a＜2．可得﹣2＜a≤2．‎ ‎∵P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，‎ ‎∴P真Q假，或P假Q真．‎ ‎∴或，‎ 即a＞2或﹣2＜a≤1．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了对数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而 =+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎