福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学（理）试题

福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学（理）试题

绝密★启用前 厦门外国语学校 2018-2019 学年高三第一次月考 数学（理）试题 一．选择题（每小题只有一个选项，每小题 5 分，共计 60 分） 1．已知集合 2{ 2 3 0}, { 2}A x x x B x x      ，则 A B  ( ) A． (1,3) B． (1,3] C．[ 1,2) D． ( 1,2) 2．已知角 的终边经过  1,2P ,则sin( 2 )2   等于 （ ） A． 3 5  B． 1 5 C． 5 5 D． 3 5 3．设 R ，则“ π π| |12 12    ”是“ 1sin 2   ”的（ ） A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．定积分  1 1 sinx x dx   （ ） A． cos2 B.1 C. 1 cos2 D.2 5．下列函数中，既是偶函数又在 (0, ) 单调递增的函数是( ) A． 3y x B． 2 xy  C． 2 1y x   D． 1y x  6．设函数 1( ) 7 02( ) 0 x x f x x x       ,若 ( ) 1f a  ，则实数 a 的取值范围是（ ） A、( , 3)  B、(1, ) C、( 3,1) D、( , 3) (1, )   7．函数 xxxy sincos  的图象大致为（ ） 8．函数   x xf x e e  ，则使得  2 1 (1)f x f  成立的 x 的取值范围是（ ） A.  ,1 B.    ,0 1,   C.  0, D. (0,1) 9．已知 ( )f x 是定义域为 ( , )  的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x   ．若 (1) 2f  ，则 (1) (2) (3) (10)f f f f    … （ ） A． 10 B．0 C．2 D．10 10．已知函数 2( ) 2 ln xef x k x kxx    ，若 2x  是函数 ( )f x 的唯一极值点，则实数 k 的 取值范围是（ ） A． 2 , 4 e    B. , 2 e    C.  0,2 D.  2, 11． 已知函数   ln sinf x x a x  在区间 ,6 4       上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. 4 3,      B. 4 2,      C. 4 2 4 3,        D. 4 2 ,     12．已知函数     2sin 0,0f x x         ， 28f      ， 02f      ，且  f x 在 0, 上单调.下列说法正确的是（ ） A． 1 2   B． 6 2 8 2f       C.函数  f x 在 , 2      上单调递增 D．函数  y f x 的图象关于点 3 ,04      对称 二、填空题（共 4 小题，20 分） 13. 已 知 函 数 ( ) 2sin( )( 0, )2 2f x x           的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 ( )f x  ________________________ 14. 若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2  =__________________ 15. 已知 2 2( )( ) 1 x af x x bx    是奇函数．若关于 x 的不等式2 1m ＞ ( )f x 有解，则 m 的取值范围是______ 16．已知 ( ) | |xf x xe ，又 2( ) ( ) ( )g x f x tf x  （t R ），若满足 ( ) 1g x   的 x 有四个，则t 的取值范围是 ． 三、解答题（共 6 题，70 分） 17. 已知 6( , ),sin cos2 2 2 2       . （Ⅰ）求 cos 的值； （Ⅱ） 3sin( ) 5     ， ( , )2   ，求 cos  的值． 18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的 极坐标为      42 ， ，直线 l 的极坐标方程为        4cos ，且 l 过 点，曲线 1C 的参数方程为      ， ，   sin3 cos2 y x ( 为参数). (Ⅰ)求曲线 1C 的普通方程和直线的直角坐标方程； (Ⅱ)过点 )1,1(B 与直线 l 平行的直线与曲线 交于 NM , 两点，求 BNBM  的值. O y x -2 2 5π 12 11π 12 19．已知函数 2 2( ) cos sin 2sin cosf x x x x x   （Ⅰ）当 [0, ]2x  ，求 ( )f x 的值域 （Ⅱ）若将函数 ( )f x 向右平移 ( 0)  个单位得到函数 ( )g x ，且 ( )g x 为奇函数。则当 取最小值时，直线 1 2y  与函数 ( )g x 在 y 轴右侧的交点横坐标依次为 1 2, , , nx x x ，求 1 2 3 4x x x x   的值. 20．已知函数   1lg 1 xf x x   ． （1）求不等式     lg2f f x f  的解集; （2）函数   2 ( 0, 1),xg x a a a    若存在．．  1 2, 0,1 ,x x  使得    1 2f x g x 成立，求实 数 a 的取值范围； 21．已知函数    ln 4f x ax x a   R . （Ⅰ）讨论  f x 的单调性； （Ⅱ）当 2a  时，若存在区间  1, ,2m n     ，使  f x 在 ,m n 上的值域是 ,1 1 k k m n       ， 求 k 的取值范围. 22.已知函数      ln 1 0axf x x ax a     . （Ⅰ）若  f x 在 0, 存在最小值，求 a 的取值范围； （Ⅱ）当 0x  时，证明：    21 ln 1xe x x   . 绝密★启用前 厦门外国语学校 2018-2019 学年高三第一次月考 数学（理）试题 一．选择题（每小题只有一个选项，每小题 5 分，共计 60 分） 1．已知集合 2{ 2 3 0}, { ln(2 )}A x x x B x y x       ，则 A B  ( C ) A． (1,3) B．(1,3] C．[ 1,2) D．( 1,2) 2．已知角 的终边经过  1,2P ,则 cos2 等于 （ A ） A． 3 5  B． 1 5 C． 5 5 D． 3 5 3．设 R ，则“ π π| |12 12    ”是“ 1sin 2   ”的（A ） A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．定积分  1 1 sinx x dx   （ B ） A． cos2 B.1 C. 1 cos2 D.2 5．下列函数中，既是偶函数又在 (0, ) 单调递增的函数是( D ) A． 3y x B． 2 xy  C． 2 1y x   D． 1y x  6．设函数 1( ) 7, 02( ) , 0 x x f x x x       ，若 ( ) 1f a  ，则实数 a的取值范围是 （ C ） A、 ( , 3)  B、 (1, ) C、 ( 3,1) D、 ( , 3) (1, )   7．函数 xxxy sincos  的图象大致为（ D） 8。函数   2 1 2 1 x xf x e e x     ，则使得  2 1 (1)f x f  成立的 x 的取值范围是（ D ） A.  ,1 B.    ,0 1,   C.  0, D. (0,1) 9．已知 ( )f x 是定义域为 ( , )  的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x   ．若 (1) 2f  ，则 (1) (2) (3) (50)f f f f    … （ C ） A． 50 B．0 C．2 D．50 10．已知函数 2( ) 2 ln xef x k x kxx    ，若 2x  是函数 ( )f x 的唯一极值点，则实数 k 的 取值范围是（ A） A． 2 , 4 e    B. , 2 e    C.  0,2 D.  2, 11. 已知函数   ln sinf x x a x  在区间 ,6 4       上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为 ( B ) A. 4 3,      B. 4 2,      C. 4 2 4 3,        D. 4 2 ,     12．已知函数     2sin 0,0f x x         ， 28f      ， 02f      ，且  f x 在 0, 上单调.下列说法正确的是（ C ） A． 1 2   B． 6 2 8 2f       C.函数  f x 在 , 2      上单调递增 D．函数  y f x 的图象关于点 3 ,04      对称 二、填空题（共 4 小题，20 分） 13. 已 知 函 数 ( ) 2sin( )( 0, )2 2f x x           的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 ( )f x  ________________________ 2sin(2 )3x  14. 若 3tan 4   ，则 2cos 2cos(2 )2    =__________________ 64 25 15. 已知 2 2( )( ) 1 x af x x bx    是奇函数．若关于 x 的不等式2 1m ＞ ( )f x 有解，则 m 的取值范 围是______ 0m 16．已知 ( ) | |xf x xe ，又 2( ) ( ) ( )g x f x tf x  （ t R ），若满足 ( ) 1g x   的 x 有四个， 则t 的取值范围是 ． 2 1( , )e e   三、解答题（共 6 题，70 分） 17. 已知 6( , ),sin cos2 2 2 2       . (1)求cos 的值； (2) 3sin( ) 5     ， ( , )2   ，求cos  的值． 17 解：(1)因为 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ， 两边同时平方，得 sin α＝1 2. 又π 2 <α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 3 2 . (2)因为π 2 <α<π，π 2 <β<π， 所以－π 2 <α－β<π 2 . 又由 sin(α－β)＝－3 5 ，得 cos(α－β)＝4 5 . 所以 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－ 3 2 ×4 5 ＋1 2 × －3 5 ＝－4 3＋3 10 . 18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的 极坐标为      42 ， ，直线 l 的极坐标方程为 cos 4 a      ，且 l 过点，曲线 1C 的参 数方程为      ， ，   sin3 cos2 y x ( 为参数). (Ⅰ)求曲线 1C 上的点到直线的距离的最大值； (Ⅱ)过点 )1,1(B 与直线 l 平行的直线与曲线 交于 NM , 两点，求 BNBM  的值. 解：(Ⅰ)由直线l 过点 A 可得 2cos 4 4 a      ，故 2a  ， 则易得直线l 的直角坐标方程为 2 0x y   ..............................2 分 根 据 点 到 直 线 的 距 离 方 程 可 得 曲 线 1C 上 的 点 到 直 线 l 的 距 离  2cos 3sin 2 7 sin 2 2 21,sin 7,cos7 72 2 a a a d           ， max 7 2 14 2 2 22 d     ..............................5 分 (Ⅱ)由（1）知直线l 的倾斜角为 3 4  ， 则直线 1l 的参数方程为 31 cos ,4 31 si ( n ,4 ) x t y t f x            （t 为参数）. 又易知曲线 1C 的普通方程为 2 2 14 3 x y  . 把直线 1l 的参数方程代入曲线 1C 的普通方程可得 27 7 2 5 02 t t   ， 1 2 10 7t t   ，依据参数t 的几何意义可知 1 2 7 10BM BN t t   ......................10 分 19.已知函数 4 4( ) cos 2sin cos sinf x x x x x   （Ⅰ）当 [0, ]2x  ，求 ( )f x 的值域 （Ⅱ）若将函数 ( )f x 向右平移 ( 0)  个单位得到函数 ( )g x ，且 ( )g x 为奇函数。则当 取最小值时，直线 1 2y  与函数 ( )g x 在 y 轴右侧的交点横坐标依次为 1 2, , , nx x x ，求 1 2 3 4x x x x   的值. 【详解】 (1) ( ) 2 sin(2 )4 ( ) [ 1, 2] f x x f x     (2) 1 4, ( ) 2 sin 2 , 38 g x x x x     20. 已知函数   1lg 1 xf x x   ． （1）求不等式     lg2 0f f x f  的解集; （2）函数   2 ( 0, 1),xg x a a a    若存在  1 2, 0,1 ,x x  使得    1 2f x g x 成立，求实 数 a 的取值范围； 【解析】（1）先判断出函数  f x 的是定义在区间 1,1 上的减函数，然后将所求不等式等 价转化为     lg2f f x f  ，即   1lg 2f x  ，由此求得解集为 1 9,3 11      ． （2）由题意知：  0,1x 时，    f x g x与 值域有交集．  0,1x 时，   2lg 1 1f x x       是减函数    - 0f x  ， ， 当 1a  时，    2 , 0,1xg x a x   时单调递减，    2 1g x a  ，， 2 0a   2a  当 0 1a  时，    2 , 0,1xg x a x   时单调递增，    1,2g x a  ，显然不符合． 综上： a 的取值范围为  2, ． 21．已知函数    ln 4f x ax x a   R . （Ⅰ）讨论  f x 的单调性； （Ⅱ）当 2a  时，若存在区间  1, ,2m n     ，使  f x 在 ,m n 上的值域是 ,1 1 k k m n       ， 求 k 的取值范围. 21.（Ⅰ）函数  f x 的定义域是  0 +， ，   1axf x x   ， 当 a≤0 时，   0f x ≤ ，所以  f x 在 0 +， 上为减函数， 当 a  0 时，令   0f x  ，则 1x a  ，当 10x a     ， 时，   0f x  ，  f x 为减函数， 当 1 +x a      ， 时，   0f x  ，  f x 为增函数， ∴当 a≤0 时，  f x 在  0 +， 上为减函数； 当 a  0 时，  f x 在 10 a      ， 上为减函数，在 1 +a     ， 上为增函数. （Ⅱ）当 2a  时，   2 ln 4f x x x   ，由（Ⅰ）知：  f x 在 1 +2     ， 上为增函数，而   1, ,2m n     ，∴  f x 在 ,m n 上为增函数，结合  f x 在 ,m n 上的值域是 ,1 1 k k m n       知：    ,1 1 k kf m f nm n    ，其中 1 2 m n≤ ，则   1 kf x x   在 1 ,2    上至少有两个 不同的实数根， 由   1 kf x x   得  2=2 2 1 ln 4k x x x x    ， 记    2=2 2 1 ln 4x x x x x     ， 1 ,2x     ，则   1=4 ln 3x x xx     ， 记     1=4 ln 3F x x x xx     ，则    22 2 2 2 1 34 1 0x xx xF x x x       ， ∴  F x 在 1 ,2    上为增函数，即  x 在 1 ,2    上为增函数， 而  1 =0 ，∴当 1 ,12x     时，   0x  ，当  1,x  时，   0x  ， ∴  x 在 1 ,12      上为减函数，在  1, 上为增函数， 而 1 3ln2 9 2 2       ，  1 = 4  ，当 x   时，  x   ，故结合图像得：   1 3ln 2 91 42 2k k         ≤ ≤ ，∴ k 的取值范围是 3ln 2 94, .2     22.已知函数      ln 1 0axf x x ax a     . （Ⅰ）若  f x 在 0, 存在最小值，求 a 的取值范围；（Ⅱ）当 0x  时，证明：     21 ln 1xe x x   . 解：          2 22 2 2 21 1 1 x a a xaf x x x a x x a              2 2 2 1 x x a a x x a       ， 令   0f x  ，解得： 0x  或 2 2x a a  . （1）当 2 2 0a a  时，即 0 2a  ，由  0,x  知，   0f x  ， 故  f x 在 0, 上单调递增，从而  f x 在 0, 上无最小值. （2）当 2 2 0a a  时，又 0a  ，故 2a  ， 当  20, 2x a a  时，   0f x  ，当  2 2 ,x a a   时，   0f x  ， 从而  f x 在 20, 2a a 上单调递减，在 2 2 ,a a  上单调递增， 从而  f x 在 2 2x a a  处取得最小值，所以 2a  时，  f x 存在最小值. 综上所述：  f x 在 0, 存在最小值时， a 的取值范围为 2, . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 2a  时，  f x 在 0, 上单调递增； 于是 0x  时，    0 =0f x f ，即 0x  时，   2ln 1 2 xx x    .① 下证： 2 21 2 x x xe   ， 令   2 21 2 x x xh x e    ，则   1xh x e x    ，故   1xh x e   ， 由于 0x  ，所以   0h x  ，从而  h x 在 0, 上单调递增， 于是    0 0h x h   ， 从而  h x 在 0, 上单调递增， 故    0 0h x h  ，所以 2 21 2 x x xe   ，② 由 于 0x  ， 所 以 ① ② 可 得 ：    2 22 2ln 1 1 2 2 x x x xx e xx      ， 即 ：    2ln 1 1xx e x   . 22．已知函数   1xf x e a  ，函数   ln ,g x ax x a R   . （Ⅱ）若不等式     1f x g x  在 1, 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若  1,x  ，求证：不等式： 1 2ln 1xe x x     . （1）设   1 ln 1xF x e x a ax     ，考虑到  1 0F    1 1xF x e ax     ，在 1, 上为增函数 1 11, 0xx e x    ，  当 0a  时，   0F x   F x 在  1, 上为增函数，   0F x  恒成立 当 0a  时，  1 0F  ，  'F x 在 1, 上为增函数  0 1,x   ，在 01, x 上，   0F x  ，  F x 递减，   0F x  ，这时不合题意， 综上所述， 0a  （ Ⅲ ） 要 证 明 在  1, 上 ， 1 2ln 1xe x x     只 需 证 明    1 ln 1 ln 0xe x x x      由（Ⅱ）当 a=0 时，在 1, 上， 1 ln 1 0xe x    恒成立 再令   lnG x x x  在  1, 上，   1 11 0xG x x x     ，  G x 递增，所以    1 1 0G x G   即 1 1 0{ 0 xe lnx x lnx       ，相加，得   1 ln 1 ln 0xe x x x     