福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高一上学期期中考试（B）卷数学试题

福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高一上学期期中考试（B）卷数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年高一上期数学期中考试卷（B卷）‎ 一、选择题：‎ ‎1.设合集，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设合集，，根据集合的补集的概念得到 故答案为：B。‎ ‎2.函数的定义域是 （ ）‎ A. [1，+∞) B. (1,+∞) C. (2，+∞) D. [2，+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查函数的定义域.‎ 根据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.‎ 要使函数有意义，需使所以函数的定义域是 故选C ‎3.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，A中，若，则与平行或异面，所以不真确；B中，若，则与也可能是平行的，所以不正确；C中，若 ‎，则与平行或异面、相交，所以不正确；根据直线与平面平行的性质定理可知，D是正确，故选D．‎ 考点：线面位置关系的判定．‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在上单调递增的函数．‎ ‎【详解】对于．，有，偶函数，但时为减函数，故排除；‎ 对于.，由，为奇函数，故排除；‎ 对于.，由于定义域，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故排除；‎ 对于.，由，为偶函数，当时，，是增函数，故正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．‎ ‎5.函数的零点所在区间是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．‎ ‎【详解】在上为增函数，‎ 且，，，‎ ‎，‎ 的零点所在区间为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.‎ ‎6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，‎ 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，‎ 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ 四棱锥的体积是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎7.函数与在同一坐标系中的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的解析式，判断函数的图象，然后判断的形状即可．‎ ‎【详解】解：因为函数过，排除A；‎ 是减函数，且与轴的交点为，排除B和D，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的判断，注意常见函数的性质的应用，是基础题．‎ ‎8.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示斜二测画法下的三角形的面积为，那么原来平面图形的面积,故选B.‎ 考点：斜二测画法 ‎9.已知函数 是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.‎ ‎【详解】若f（x）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，‎ 则满足 ‎ 即 ，整理得.故选：B ‎【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.‎ ‎10.某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）‎ A. 与相交 B. 与平行 C. 与平行 D. 与异面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意得到立体图如图所示：‎ A与是异面直线，故不相交；‎ B与平行，由立体图知是正确的；‎ C 与位于两个平行平面内，故不正确；‎ D与是相交。‎ 故答案为：B。‎ ‎11.函数有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点，画出函数的图象，根据图象可得的取值范围．‎ ‎【详解】解：函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点点，‎ 函数的图象如下：根据图象可得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．属于中档题．‎ ‎12.若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可作出函数图象，结合图象分析；‎ ‎【详解】①当时，作 的图象(图1)，再作轴右边的图象的中心对称图形，‎ 与轴左边图象只有一个交点，符合题意.‎ ‎ ‎ 时，作 的图象(图2)，再作轴右边的图象的中心对称图形，‎ 若对称的图象过点,则，所以要满足与轴左边的图象只有一个交点，则有.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解。‎ 二、填空题 ‎13.计算： _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对数的运算性质计算，，‎ ‎【详解】原式 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题。‎ ‎14.在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角大小为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接、、，可得为异面直线与所成的角，利用三角形的性质可求．‎ ‎【详解】解： 如图，连接、、，，分别是，的中点 且 故四边形为平行四边形 故为异面直线与所成的角 又因为为正方体，所以 即三角形为等边三角形，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，涉及到正方体的结构特征、三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．‎ ‎15.棱长为2的正方体外接球的体积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出外接球的半径，然后求解球的体积．‎ ‎【详解】解：正方体的外接球直径为正方体的体对角线，‎ ‎．．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎16.已知，，，则，，的大小关系是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：，，根据的单调性可知，‎ 故 ‎．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ 三．解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知集合，，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况分类讨论，能求出实数的范围．‎ ‎【详解】由已知得，‎ ‎∵，∴①若，则，此时．‎ ‎②若，则．解得．‎ 由①、②可得，符合题意的实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义及性质的合理运用．‎ ‎18.已知函数的两零点为.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的值；‎ ‎(Ⅱ)恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）令，得，可求出两根，进而求得；（2）图象是开口向上，对称轴为为抛物线，讨论轴和区间的关系，得到函数的最值即可。‎ 解析：‎ ‎(I)令，得，‎ 不妨设，解得，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，‎ ‎(1)当即时，，符合题意；‎ ‎(2)当，即时，‎ ‎，故；‎ 综合(1)(2)得.‎ ‎19.如图所示，在正方体中，是的中点，分别是，和的中点，求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，由已知得，再由线面平行的判定定理可得直线平面；（2）连接，由已知得，从而得平面，又平面，由此可证明平面平面．‎ 试题解析：（1）如图所示，连接．∵分别是的中点，‎ ‎∴．‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴直线平面．‎ ‎（2）连接．∵分别是的中点，∴．‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，且平面，平面，，‎ ‎∴平面平面．‎ 考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面平行的判定．‎ ‎20.已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）判断的奇偶性并证明.‎ ‎（Ⅲ）判断在上的单调性，并给予证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，即可求出的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；‎ ‎（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得， 解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为关于原点对称 ‎ ‎，∴为奇函数 ； ‎ ‎（Ⅲ）函数在上是单调减函数 ，证明如下：设，且 ‎ ‎ 因为，所以，∴ ‎ 所以，即 ，所以在上是单调减函数。‎ ‎【点睛】判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；第二步：作差；第三步：变形；第四步：判断符号；第五步：下结论。其中第三步主要采用通分，因式分解的方法。‎ ‎21.如图，四棱锥中，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）存在的中点满足要求，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，即可证明平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得．又平面，所以平面，结合（1），即可证明平面平面．‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接，，‎ 因为为的中点，所以，，‎ 又，．所以，，‎ 因此四边形是平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，，所以，‎ 又，所以，‎ 又，所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，所以平面，‎ 由（1）可知平面，‎ 又，故平面平面，‎ 故存在的中点满足要求．‎ ‎【点睛】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确证明直线与平面平行是关键．‎ ‎22.定义在上的函数对任意，都有（为常数）.‎ ‎（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，是上的增函数，且，解不等式.‎ ‎【答案】(1) ，证明见解析；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴时，为奇函数，然后对抽象函数进行证明 ‎⑵根据已知条件解出集合，结合求出的取值范围 ‎⑶将其转化为利用单调性求解 ‎【详解】（1）当时，为奇函数，‎ 证明：当时，，所以,‎ 所以,‎ ‎∴∴是奇函数.‎ ‎（2）∵,‎ ‎∴∴,‎ ‎∴∴∴.‎ ‎（3）∵，∴∴,‎ ‎∵∴,‎ ‎∵是增函数∴∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数的综合题目，关键在运用已知条件中的来进行化简，然后按照函数的奇偶性和单调性的概念和性质进行解题 ‎ ‎