2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】计算出，得到对应点的坐标，从而确定象限.‎ ‎【详解】‎ 则对应的点为：，可得对应的点位于第二象限 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数对应的点，属于基础题.‎ ‎2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角至多有一个大于60度 C．假设三内角都大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：反证法第一步应假设结论不成立即结论的反面成立,所以“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设为:三个内角都大于．故C正确．‎ ‎【考点】反证法．‎ ‎3．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据可知函数单调递增，由此可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 单调递增 均存在单调递减区间，由此可得正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数确定函数的图象，属于基础题.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过三视图还原几何体可得四棱锥，从而确定球心为中点，进而求得外接球半径，从而求得所求结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图为如下图所示的四棱锥，连接交于点，取中点，连接 由三视图可知：面，面 则，，由此可得：‎ 可知为四棱锥外接球的球心 又， ‎ 外接球体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体外接球的问题，关键是能够通过三视图还原几何体，进而通过几何体特点求得外接球球心的位置，从而可得球的半径.‎ ‎5．有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据如下表：‎ 平均气温（℃）‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-5‎ ‎-6‎ 销售额（万元）‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎27‎ ‎30‎ 根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程的系数.则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为( )‎ A．34.6万元 B．35.6万元 C．36.6万元 D．37.6万元 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（-4，25）∵，‎ ‎∴y=-2.4x+a，‎ 把样本中心点代入得a=34.6‎ ‎∴线性回归方程是y=-2.4x+15.4‎ 当x=-8时，y=34.6，故选A．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎6．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列判断错误的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据依次证明出三个选项，由此可得错误.‎ ‎【详解】‎ 连接，可知为中点 又为中点，可知 选项：平面，平面 ‎ 又，所以，可知正确；‎ 选项：，， 平面 又，所以平面，可知正确；‎ 选项：，平面 平面，可知正确；‎ 选项：，，，可知与不平行，即错误.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系问题，属于基础题.‎ ‎7．函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将问题转化为在上恒成立，求解出的最大值，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意：‎ 在上单调递增等价于在上恒成立 即在上恒成立 当时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数在某一区间内的单调性，求解参数范围的问题，关键是能够通过单调性将问题转化为恒成立问题，从而利用分离变量的方法求解得到结果.‎ ‎8．已知实数x，y满足不等式组，若的最大值为3，则的值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数经过点时，取得最大值，联立解得，代入目标函数得. ‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输出i的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】按照选项依次运行程序，符合输出值为的即为正确选项.‎ ‎【详解】‎ 选项：第一次运行：；第二次运行：；第三次运行：；‎ 第四次运行：；第五次运行：，此时输出，则 不符合题意，可知错误；‎ 选项：第一次运行：；第二次运行：；第三次运行：；‎ 第四次运行：，此时输出，则 不符合题意，可知错误；‎ 选项：前五次运行与相同；第六次运行：，此时输出，则 不符合题意，可知错误；‎ 选项：前四次运行与相同；第五次运行：；第六次运行：‎ 此时输出，则，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用输出结果补全循环框图问题，关键是能够根据条件，准确运行程序，得到符合输出结果的选项.‎ ‎10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为P是双曲线C右支上一点，且PF2=F1F2,若直线PF1与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，且,由中位线的性质可知|AF2|＝2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，‎ 化简得，即，‎ 则双曲线的离心率为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎11．已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，则第222个“整数对”是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据整数对的分布规律，可知整数对的总个数为个，由此确定第个整数对的位置；当为奇数时，第个数恰为时的整数对，则可得所求整数对.‎ ‎【详解】‎ 将整数对记为：，由题意可知：‎ 的个数为个 的个数为个 的个数为个 ‎……‎ 以此类推，则可得：；‎ 可知第个整数对是中的第个 的整数对共个，则第个为：‎ 由此可得第个为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比、归纳的思想，关键是通过类似于杨辉三角的规律，确定所求整数对的位置，再利用整数对中数字的排列规律求解得到结果.‎ ‎12．已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过两函数图象关于轴对称，可知在上有解；将问题转化为与在上有交点，找到与相切时的取值，通过图象可得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 由题意可知在上有解 即：在上有解 即与在上有交点 ‎ ‎ 时，，则单调递增；，，则单调递减 当时，取极大值为：‎ 函数与的图象如下图所示：‎ 当与相切时，即时，‎ 切点为，则 若与在上有交点，只需 即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知复数,则的共轭复数为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求解出，从而得到共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 则 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数的求解，关键是利用复数的除法运算得到，属于基础题.‎ ‎14．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎15．记等差数列得前n项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即；类似地，记等比数列的前n项积为，，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式 ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.‎ 详解：在等差数列得前项和为，‎ 因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，‎ 所以各项均为正的等比数列的前项积，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.‎ ‎16．已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，利用正弦定理可得：，，∵，，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴（当且仅当时，取等号），∴面积为，则面积的最大值为，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．设是数列的前n项和，已知，‎ ‎⑴求数列的通项公式； ‎ ‎⑵设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用可证得数列为等比数列，从而可求得通项公式；（2）通过（1）可得，分为为奇数和为偶数两种情况分别求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以当时，‎ 两式相减得， 所以 当时，，，则 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故 ‎（2）由（1）可得 所以 故当为奇数时， ‎ 当为偶数时，‎ 综上 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式的求解、数列前项和的求解问题，在解决含的数列求和的问题时，要注意进行为奇数和偶数两种情况的讨论.‎ ‎18．如图，在四棱锥中， ，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若， ，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，得， ．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.‎ 试题解析：（1）由已知，得， ．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知， 面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得， ．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而， ， ．‎ 可得四棱锥的侧面积为 ‎ ．‎ ‎19．近年来郑州空气污染较为严重.现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的检测数据，统计结果如下：‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为，当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为2000元.‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.74‎ ‎5.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.82‎ 附：‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）有的把握认为空气重度污染与供暖有关．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于的分段函数即可.‎ ‎（2）利用样本频率估计总体概率即可.‎ ‎（3）根据题中的数据求出的观测值，再与比较大小，得出是否有的把握认为空气重度污染与供暖有关的结论即可.‎ 试题解析：（1）根据在区间对企业没有造成经济损失;在区间对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元,当PM2.5指数为时,造成的经济损失为元）;当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元,可得：‎ ‎ ‎ ‎（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于元且不超过元”为事件，‎ 由得频数为39， ‎ ‎（3）根据以上数据得到如下列联表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 的观测值 ‎ 所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关． ‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线l：上的点和椭圆O上的点的距离的最小值为1．‎ Ⅰ求椭圆的方程；‎ Ⅱ已知椭圆O的上顶点为A，点B，C是O上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，记直线AC与AB的斜率分别为，．‎ 求证：为定值；       求的面积的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得 的值，结合椭圆焦点位于 轴上写出标准方程即可；‎ ‎(2)①中，分别求得 的值，然后求解其乘积即可证得结论；‎ ‎②中，联立直线与椭圆的方程，利用面积公式得出三角形面积的解析式，最后利用均值不等式求得面积的最小值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题知，由，‎ 所以．‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）① 证法一：设，则，‎ 因为点B，C关于原点对称，则，‎ 所以．‎ 证法二：直线AC的方程为， ‎ 由得，‎ 解得，同理，‎ 因为B，O，C三点共线，则由，‎ 整理得，‎ 所以． ‎ ‎②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，‎ 令y＝2，得，‎ 而，‎ 所以，△CEF的面积 ‎ ． ‎ 由得，‎ 则 ，当且仅当取得等号，‎ 所以△CEF的面积的最小值为．‎ 点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．‎ 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．‎ ‎21．已知,函数其中 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，‎ ‎(i)求的取值范围；‎ ‎(ii)设的两个零点分别为x1,x2，证明：x1x2>e2．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）(i)；(ii)见解析 ‎【解析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到单调区间；（2）(i)将问题转化为与函数的图象在上有两个不同交点，通过求解相切时的临界值，得到的取值范围；(ii)将问题转化为证明成立，通过构造函数，证得，从而证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ ‎①当时，，在单调递增；‎ ‎②当时，由得，‎ 则当时，，在单调递增；‎ 当时，，在单调递减 ‎（2）(i)函数有两个零点即方程在有两个不同根 转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点 如图：‎ 可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只需 设切点，所以 又，所以，解得 于是，所以 ‎(ii)原不等式 不妨设 ‎ ‎ ‎，‎ 令，则，于是 设函数，‎ 求导得：‎ 故函数是上的增函数 ‎ 即不等式成立，故所证不等式成立 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、根据零点个数求解参数范围和与零点有关的不等式证明问题.解决不等式证明问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为恒成立的问题，从而通过求解最值证得结果.‎