浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期教学质量调测数学试题

浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期教学质量调测数学试题

‎2019学年第二学期高三第二次教学质量调测 数学试卷 参考公式：‎ 球的表面积公式； 球的体积公式，其中表示球的半径.‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知等比数列满足，，则 A．2 B． C． D．‎ 4． 如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图 都是矩形，则该几何体的体积为 A． B． C．24 D．36‎ 5． 若函数的图象上存在点，满足约束条件，则实数的 取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记 ‎，，则 A． B． C． D． ‎ ‎7. 甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里 分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则 A．，且 B．，且 C.，且 D．，且 ‎8．双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎ 9．如图，在正方体中，点是棱的中点，（非端点）是 棱上的动点.过点作截面四边形交棱于（非端点）.设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则 A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎10.已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.‎ ‎11．复数，是虚数单位．若，则 ；‎ 若，则 ．‎ ‎12．若，则 ； ．‎ ‎13．已知函数，则=_______；设函数存在3个零点，则实数的取值范围是_______.‎ ‎14．已知圆，直线与轴交于点．若，则直线截圆所得弦的长度为 ； 若过上一点作圆的切线，切点为，且，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为 ．‎ ‎16．在中点是的外心，则 ．‎ ‎17．已知中，角,,所对的边分别是，且，则的面积的最大值是 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本题满分14分）设函数，其中，且.‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求函数的最大值．‎ ‎19．（本题满分15分）如图，在中，，，分别是的中点.将沿折成大小是的二面角. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（本题满分15分）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，对于任意的，总有成等差数列. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎21．（本题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段中点，直线交直线于点, 为线段的中点，若四边形的面积为，求直线的方程．‎ ‎22．（本题满分15分）已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数对任意的恒成立，求正整数的最大值.‎ ‎2019学年第二学期高三第二次教学质量调测 ‎ 数学参考答案（2020.6）‎ 一、选择题：每小题4分，共40分.‎ ‎ 1-10 ‎ 二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.‎ ‎11． ， ； 12． 2， 254； 13． 0 ，； 14． ， ； 15． 114 ； 16． ； 17．．‎ ‎9．解析：分别延长，显然三线交 于一点，则只需比较与的 距离大小.或者作出截面分别在底面、左 侧面、后侧面的投影面，然后比较投影面的大小.‎ ‎10．解析：因为，则，故，即，‎ 这说明方程有实数解.于是逐一代入检验得：正确.‎ 另解：特殊法，不妨令，则，逐一代入检验得：只有才有解，于是正确.‎ ‎17．解析：如图建立坐标系，设，点，则由可得：，这说明点在以为圆心，为半径的圆上（不含轴上两点），于是 .‎ ‎（当且仅当，，取到等号）.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本题满分14分）（Ⅰ）‎ ‎ ------------------4分 ‎∵，∴，，∴，， ----------------6分 ‎∵，∴． ------------------8分 ‎（Ⅱ）得，当时，，‎ ‎∴， ------------------11分 ‎∴． ∴当时，．---------------14分 ‎19．(本题满分15分) 解：（Ⅰ）不妨设，则由题意可知： 且. ------------------2分 于是，所以.‎ 取的中点，连，则.‎ 易得：，在中，.‎ ‎ 显然， ，，即.--------------6分 又因为，，而，所以.‎ ‎ ------------------9分 ‎（Ⅱ）取之中点，连，则由平几知识知：四边形为矩形，与平面所成的角就是与平面所成的角. ------------------12分 显然，到平面距离是，------------------14分 而，所以与平面所成角的正弦值.------------------15分 说明：利用空间坐标系求解，酌情给分.‎ ‎20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：由已知：对于任意的，总有 ①， （） ②. ‎ 由①-②得： ， ------------------3分 即，因为，所以 （）.‎ ‎------------------5分 于是，①令，得，所以. ------------------7分 ‎（Ⅱ）得， ------------------9分 则．‎ ‎∴， ------------------12分 则，‎ 错位相减得：，‎ 化简得：． ------------------15分 ‎21．（本题满分15分）（Ⅰ）由且得：，，‎ ‎ ------------------2分 以点代入得：，， ‎ 所以椭圆的标准方程为． ------------------5分 ‎（Ⅱ）设，则，且．因为为线段中点， ‎ 所以．又，所以直线的方程为． ------------------7分 因为 令，得． 又，为线段的中点，有． ------------------9分 设直线与轴交于，‎ 由得：，∴，‎ ‎∴．‎ 又，∴，‎ ‎ ------------------13分 解得：，代入椭圆方程得：，∵，∴，‎ ‎∴直线的方程为． ------------------15分 另法：所以． 因此，‎ ‎=．从而．‎ 因为，，‎ 所以在中，，因此．‎ 下同法一．‎ ‎22．（本题满分15分）解：（Ⅰ）显然，，则令，解得：或. ------------------4分 于是在上单调递增，在、上单调递减.‎ ‎ ------------------6分 ‎（Ⅱ）由得：，令，则.‎ ‎ ------------------7分 ‎ 1、若，则①当时，‎ ‎.‎ 或者由，得：，于是.‎ ‎②当时，对于而言，‎ ‎，故，，所以.‎ ‎③当时，. ------------------10分 ‎2、若，则①当时，对于而言，‎ 此时，，=‎ 显然，时，；，，故，于是；‎ ‎②当时，. ------------------13分 ‎3、若，则令，，显然.‎ 综上所述，正整数的最大值为3. ------------------15分 另法一（必要性优选）分别令、，得，，‎ 解得：，为此猜想：正整数的最大值为3. ------------------9分 此时.以下给出证明：此时，，=‎ 显然，时，；，，故，于是； ------------------13分 当时，. ‎ 综上所述，正整数的最大值为3. ------------------15分 另法二（优函数）：由知，‎ ‎------------------8分 令，则，当 即时，，于是. ------------------13分 另一方面，当，则令，，显然.‎ 综上所述，正整数的最大值为3. ------------------15分