湖南省长沙二十一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

湖南省长沙二十一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

长沙市第二十一中学2018年下学期期中考试高二试卷 数 学（理科）‎ ‎ 时量：120分钟 满分：150分 命题人：鲁志文 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）‎ ‎1.命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 ‎ A．若ab=0,则a=0 B. 若a≠0，则ab≠0 ‎ C．若ab=0,则a≠0 D. 若ab≠0，则a≠0‎ ‎2.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)的距离为，则x= ‎ A．2 B．－8 C．2或－8 D．8或2‎ ‎3.已知条件p:都是偶数,条件q:是偶数，那么p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若双曲线x的离心率为，则其渐近线方程为 A． B. C. D.‎ ‎7.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则点A1到平面ABC1D1的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎8.过抛物线的焦点作直线交抛物线与，两点，若 ‎ ，则弦的长度为 A． B． C． D．‎ ‎9.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成 角的正弦值等于 A. B. C. D.‎ ‎10.过椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎11.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为 A． B． C． D． ‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）‎ ‎13.设条件p：；条件q：，那么p是q的　　　　　　　条件 ‎（填“充分不必要，必要不充分，充要”）. ‎ ‎14.在四面体PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.‎ 15. 已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0,2)，则△APF周长的最小值为 .‎ 16. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60º，且A1A=3，则A1C的长为 .‎ 三.解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）‎ ‎17.(本题满分10分) 已知：，不等式恒成立；：双曲线的焦点在轴上．‎ ‎（1）若“且”为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真命题，求实数m的取值范围．‎ 17. ‎（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线 的焦点为 （1） 若过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.‎ ‎19.（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，）在椭圆C上，且.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过右焦点且斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长.‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1 的菱形，, , ,为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：直线；‎ ‎（2）求点B到平面OCD的距离.‎ 21. ‎（本题满分12分）如图，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当点、、、共面时，求线段的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎22、（本题满分12分）已知椭圆和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线L的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎长沙市第二十一中学2018年下学期期中考试高二试卷 数 学（理科）答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A D A B C C A B B C 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎ 13、必要不充分 14、 15、 16、‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分 ）‎ ‎17、（10分）解：（1）（2）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：（1）已知 当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；‎ 当直线的斜率存在时，设方程为，代入得 ‎，‎ 当时，满足题意，；‎ 当时，令 综上，直线的方程为：或或 15. 由（1）易知，‎ ‎ 联立得，设，‎ 则，‎ ‎19.解：（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为．．．．．．2分 因为P在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。‎ 椭圆方程为 ． 　　　　　　 ．．．．．．4分 另解：依题意知,=4，得椭圆方程。‎ 16. 依题意知直线方程为，设两交点为 由 ．．．．．．8分 ‎ = ．．．．．．12分 ‎20．（12分）‎ 解： 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎ (1) ‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 ‎ ‎ ‎ (2)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ‎21. （12分）【解析】（1）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 ‎、，‎ 设，则， ‎ 从而、‎ 则，所以 ‎ ‎（2）当、E、F、共面时，，又,所以 ，因为AE=BF，所以E、F分别为AB,BC的中点，所以EF=AC=3‎ ‎（3）由（2）知、 ，设平面的一个法向量为，‎ 依题意 所以 ‎ 同理平面的一个法向量为 ‎ 由图知，面与面夹角的余弦值 ‎ ‎22（12分）解析：（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为．‎ ‎∴b＝1‎ ‎∵椭圆的离心率e＝，∴，解得a2＝3∴所求椭圆的方程是；‎ ‎（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0‎ ‎∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝‎ ‎∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且点E在以CD为直径的圆外。‎ ‎∴.>0 ∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2>0‎ ‎∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5>0‎ ‎∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5>0，解得k<，‎ 综上所述， k＜﹣1或 1

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