【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-8条件概率、n次独立重复试验与二项分布学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-8条件概率、n次独立重复试验与二项分布学案

‎§11.8　条件概率、n次独立重复试验与二项分布 考纲展示►　‎ ‎1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ ‎2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．‎ 考点1　条件概率 条件概率 ‎(1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率．‎ ‎(2)性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ 条件概率的性质．‎ ‎(1)有界性：0≤P(B|A)≤1.(　　)‎ 答案：√‎ ‎(2)可加性：如果B和C为互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(　　)‎ 答案：√‎ ‎[典题1]　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个．‎ 事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，‎ 故P(B|A)＝＝.‎ 解法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.‎ 由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.‎ 由题意，P(A)＝＝，‎ P(B|A)＝＝，‎ 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)‎ ‎＝×＝，‎ 所以两次都取到红球的概率为.‎ ‎[点石成金]　条件概率的两种求解方法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ 考点2　事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B 相互独立．‎ ‎(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、与B、A与也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________.‎ 答案：(1)P(A)P(B)　(2)P(B)　P(A)‎ ‎[典题2]　为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：‎ 乘坐里程x(单位：km)‎ ‎0＜x≤6‎ ‎6＜x≤12‎ ‎12＜x≤22‎ 票价(单位：元)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过‎22千米．已知甲、乙乘车不超过‎6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过‎6千米且不超过‎12千米的概率分别为，.‎ ‎(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．‎ ‎[解]　(1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，.‎ 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1＝×＋×＋×＝，‎ 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.‎ ‎(2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10.‎ P(ξ＝6)＝×＝，‎ P(ξ＝7)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，‎ P(ξ＝9)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝10)＝×＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎[点石成金]　1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.‎ 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“作物产量为‎300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，‎ 由题设知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，‎ 因为利润＝产量×市场价格－成本，‎ 所以X所有可能的取值为 ‎500×10－1 000＝4 000，‎ ‎500×6－1 000＝2 000，‎ ‎300×10－1 000＝2 000，‎ ‎300×6－1 000＝800.‎ P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，‎ P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.‎ 所以X的分布列为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，‎ 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，‎ P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C‎1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；‎ ‎3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C‎2C3)＋P(C‎1‎C3)＋P(C‎1C2)‎ ‎＝3×0.82×0.2＝0.384.‎ 所以，3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.‎ 考点3　独立重复试验与二项分布 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作________，并称p为________‎ 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A‎1A2A3…An)＝‎ P(A1)P(A2)·…·‎ P(An)‎ 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)‎ 答案：X～B(n，p)　成功概率 ‎(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列{an}，使得an＝ 记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．‎ 答案： 解析：依题意得知，“S4＝‎2”‎表示在连续4次抛掷中恰有3次出现正面，因此“S4＝‎2”‎的概率为C3×＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．‎ 答案： 解析：所求概率P＝C·3－1＝.‎ 二项分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．‎ 设随机变量X～B，则P(X＝3)的值是________．‎ 答案： 解析：P(X＝3)＝C33＝.‎ ‎[典题3]　[2017·湖南长沙模拟]博彩公司对2016年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为.‎ ‎(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；‎ ‎(2)随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解]　(1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A，“马刺队以4∶1胜利”为事件B，“马刺队以4∶2胜利”为事件C，“马刺队以4∶3胜利”为事件D，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E，‎ 则P(A)＝4＝，‎ P(B)＝C4×＝，‎ P(C)＝C4××＋C4×2＝，‎ P(D)＝C4×3＋C4×C×××＋C4×××＝.‎ P(E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.‎ ‎(2)随机变量X的可能取值为4,5,6,7，‎ P(X＝4)＝4×2＝，‎ P(X＝5)＝C4·＝，‎ P(X＝6)＝‎2C4＋C4·＋＝，‎ P(X＝7)＝1－P(X＝4)－P(X＝5)－P(X＝6)＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎[点石成金]　利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：‎ ‎(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；‎ ‎(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；‎ ‎(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.‎ 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重‎3 kg)测试，成绩在‎6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.‎ ‎(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；‎ ‎(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ 表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．‎ 解：(1)由直方图知，成绩在[9.9,11.4)的频率为 ‎1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.‎ 因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，‎ 故抽取的总人数为＝40.‎ 又成绩在‎6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.‎ ‎(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，‎ 从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，‎ 成绩不合格的概率为1－＝，‎ 可判断ξ～B.‎ P(ξ＝0)＝C×2＝，‎ P(ξ＝1)＝C××＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2＝，‎ 故所求分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎[方法技巧]　1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．‎ ‎2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．‎ ‎3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.‎ ‎[易错防范]　1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝‎ P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B．0.432 ‎ C．0.36 D．0.312‎ 答案：A 解析：3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75 ‎ C．0.6 D．0.45‎ 答案：A 解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 误用“二项分布与超几何分布”‎ 二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．‎ ‎[典例1]　某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[思路分析]　‎ →→ ‎[解]　X的所有可能取值为0,1,2,3,4，‎ 且P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ 易错提示 本题容易错误地得到X服从二项分布，每块地种植甲的概率为，故X～B(4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X，则这时X～B(4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C)．‎ ‎[典例2]　某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．‎ ‎(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；‎ ‎(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的所有可能取值分别为1,2,3；η的所有可能取值分别为0,1,2,3.‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以考生甲正确完成题数的概率分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ 因为P(η＝0)＝C3＝，‎ 同理，P(η＝1)＝，‎ P(η＝2)＝，P(η＝3)＝.‎ 所以考生乙完成题数的概率分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎(2)因为P(ξ≥2)＝＋＝0.8，‎ P(η≥2)＝＋＝，‎ 所以P(ξ≥2)>P(η≥2)．‎ 故从正确完成题数的数学期望分析，两人水平相当；‎ 从至少完成2题的概率分析，甲通过的可能性大．‎ 因此可以判断甲的实验操作能力较强．‎ 易错提示 本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．‎