数学理卷·2018届山东省临沂市某重点中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届山东省临沂市某重点中学高二下学期期中考试（2017-04）

‎ 高二理科数学试题 2017.04‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. ‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；‎ ‎2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，假设正确的是 ‎ A.假设三内角都不大于60 度 ‎ B. 假设三内角都大于60度 ‎ C. 假设三内角至少有一个大于60度 ‎ D. 假设三内角至多有二个大于60 度 ‎2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于 ‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎ ‎ A. B. C.2 D.4 ‎ ‎4. 用数学归纳法证明，的第一个取值应当是 ‎ ‎ A.1 B.3 C. 5 D. 10‎ ‎5. 定义一种运算“*”：对于自然数满足以下运算性质：（i）1*1=1，‎ ‎（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1 等于 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若直线与曲线相切，则 ‎ ‎ A.-1 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎7. 若复数满足其中为虚数单位，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 下列等式中，不正确的是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9. 编号为1，2，3，4，5，6，7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有 ‎ ‎ A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 ‎10. 函数的图象大致是  ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有 ‎ A.个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. ‎ ‎13.设，则 __．（不用化简）‎ ‎14. 若，则等于  .‎ ‎15. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为  （结果用数值表示）．‎ ‎16. 已知是曲线：的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为  ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 ‎17. (本小题满分12分) ‎ ‎ 设复数（,），满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．‎ ‎ (1)求复数；‎ ‎ (2)若为纯虚数，求实数的值．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若在处取得极小值，求实数的值；‎ ‎（2）若在区间为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎ 设，，令．‎ ‎ （1）求 的值；‎ ‎ （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时,求的取值范围．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 设，‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）如果对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ ‎（1）已知椭圆，是椭圆上不同的两个点，线段 的垂直平分线与轴相交于点．证明：；‎ ‎（2）对于双曲线写出类似的结论．‎ 高二理科数学试题答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ BCDCA DBBCC DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎ 13. 14. 15.120 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17. 解:（1） 由得………① ………………………2分 又复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，‎ 则，即，………② …………………………4分 ‎ 由 ①②联立的方程组得或．‎ ‎∵，∴． …………………………………………………………6分 ‎（2） 由（1）得，‎ ‎.………………………………10分 ‎∵为纯虚数，‎ ‎∴. …………………………………………………………………12分 ‎18.解：（1）， ……………………………………………2分 由在处取得极小值，得，……………………4分 ‎∴（经检验适合题意）. ……………………………………………………6分 ‎（2），∵在区间为增函数，‎ ‎∴在区间恒成立，……………………8分 ‎∴恒成立，即恒成立， ………………………………10分 由于，得. ‎ ‎∴的取值范围是. …………………………………………………12分 ‎19. （1）∵，∴， ……………………1分 ‎，………………………………………………………………3分 ‎. ……………………………………………………………5分 ‎（2） 猜想：．………………………………………7分 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，，猜想成立；…………………………………………………8分 假设当 时猜想成立，即：， ………9分 当，‎ ‎.……………………………10分 ‎∴当 时猜想也成立． ………………………………………………11分 由①，②可知，对任意都有 成立．……………………12分 ‎20. 解：（1）的定义域为, …………………………2分 若,则,所以在单调递增， ………………………4分 若，则当时,；当时，，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减． ………………………6分 ‎（2）由（1）知，当,则,所以在无最大值；…………7分 当时,在取得最大值，‎ 最大值为，………………………………8分 因此等价于。……………………………………9分 令，则在单调递增，…………………10分 于是，当时，；当时，，……………………11分 ‎∴的取值范围是． ………………………………………………………12分 ‎21. （1） 当时，，…………1分 ‎ ，…………………………………………………… 2分 ‎ 时，，， ……………4分 ‎ ∴ 曲线在处的切线方程为． ……………………5分 ‎（2）对任意的，恒有成立，‎ 即， …………………………………………6分 ‎ ∵，∴， ………………………7分 ‎ 当时，，则为减函数；‎ ‎ 当时，，则为增函数；‎ ‎ 又 ，，，‎ ‎∴， ………………………………………………………8分 ‎∴恒成立，即恒成立，等价于 恒成立，只需求 ， ………………………………………………………………9分 令 ，则，且，‎ 当时，，，∴，‎ 即在区间上为增函数；‎ 当时，，，∴，‎ 即在区间上为减函数， ∴，……………………11分 ‎∴． …………………………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎22. 解：（1） 设，，由在线段的垂直平分线上，‎ 得．…………………………………………… 2分 由两点在椭圆上，得，，‎ ‎ ‎ ‎ 即 ．‎ ‎∵，∴．……………………4分 ‎∵， 又，∴，‎ ‎∴ ． ………………………………………………6分 ‎（2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点 ，则.（或）. ………10分