【数学】安徽省示范高中培优联盟2020年高二春季联赛试题（文）（解析版）

【数学】安徽省示范高中培优联盟2020年高二春季联赛试题（文）（解析版）

安徽省示范高中培优联盟2020年高二春季联赛试题（文）‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ ‎1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。‎ ‎2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ ‎4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎(1)已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合M＝{1，3，5，7}，集合N＝{3，4，5，6，7}，则(M)∩N＝‎ ‎(A){1，2，4，6} (B){3，5，7} (C){4，6} (D){2}‎ ‎(2)设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎(3)在集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同的数x，y，则事件x＋y≤5的概率等于 ‎(A)0.3 (B)0.4 (C) (D)0.5‎ ‎(4)“a<1”是“方程ax2＋2x＋1＝0有两个不同实根”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是 ‎(A)甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 ‎(B)甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 ‎(C)甲的六维能力指标值整体水平优于乙的六维能力指标值整体水平 ‎(D)甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 ‎(6)已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点D，E分别是边BC和AC的中点，则＝‎ ‎(A) (B)－ (C)－2 (D)‎ ‎(7)圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的公共弦的长为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)关于函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－有下述三个结论：‎ ‎①f(x)在区间[，]上是减函数； ‎ ‎②f(x)的图象关于直线x＝－对称；‎ ‎③f(x)在区间[，π]上的值域为[－1，]‎ 其中正确结论的个数是 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎(9)已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P(x0，y0)在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝‎ ‎(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)‎ ‎(10)已知A(4，0)，B(0，2)，若点C(a，b)在线段AB(不含端点)上，则的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)函数f(x)＝sinx·的部分图象大致为 ‎(12)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，G、H、M、N、P、Q为圆O上的点，△GAB，△HBC，△MCD，△NDE，△PEF，△QAF分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△GAB，△HBC，△MCD，△NDE，△PEF，△QAF，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥。当正六边形ABCDEF的边长变化时，所得六棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 考生注意事项：‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)‎ ‎(13)已知函数，若f(m)≥2，则实数m的取值范围为 。‎ ‎(14)已知长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的面积为πab。现用随机模拟的方法来估计π的近似值，先用计算机产生n个数对(xi，yi)，i＝1，2，3……，n，其中xi，yi均为[0，2]内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件的数对有m个，由此可估计π的近似值为 。‎ ‎(15)以双曲线C：的右焦点F为圆心，半焦距为半径作圆，与双曲线的渐近线交于O，A，B三点。若△AOB的周长为7a，则双曲线C的离心率为 。‎ ‎(16)已知对一切x>0，不等式>a恒成立，则a的取值范围为 。‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎(17)(本题满分10分)‎ 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，anan＋l＝4Sn－1。‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(II)bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。‎ ‎(18)(本题满分12分)‎ 已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，。‎ ‎(I)求角A；‎ ‎(II)若a＝，求b2＋bc的取值范围。‎ ‎(19)(本题满分12分)‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD。‎ ‎(I)求证：平面APC⊥平面BPD；‎ ‎(II)若AB＝2AP＝2，求三棱锥C－PBD的体积。‎ ‎(20)(本题满分12分)‎ Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数。已知Fibonacci数列的递推关系式为。‎ ‎(I)证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列；‎ ‎(II)Fibonacci数列{an}的偶数项依次构成一个新数列，记为{bn}，证明：{bn＋1－H2·bn}为等比数列。‎ ‎(21)(本题满分12分)‎ 已知椭圆C：的离心率为，且经过点M(1，)。‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(II)已知直线l不过点P(0，1)，与椭圆C交于A、B两点，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＝1，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标。‎ ‎(22)(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ex－ax。‎ ‎(I)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(II)证明：当a＝3时，函数g(x)＝f(x)－xlnx有且只有两个零点。‎ 参考答案 选择题：1-12 CABBA CCDDA CB 1. C【解析】∵，，∴ ．‎ 1. A【解析】，所以对应的点位于第一象限．‎ 2. B【解析】不妨令，则的不同取值有，，，，，，，，，共10种，其中满足的有，，，共4种，，所以事件的概率为．‎ 3. B【解析】方程有两个不同实根且，所以“”是“方程有两个不同实根”的必要不充分条件．‎ ‎5.A【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，，故C错误；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选A.‎ ‎6.C【解析】设，，则，，，．‎ ‎7.C【解析】两圆方程相减得公共弦方程为，圆心，到公共弦的距离为，所以所求弦长为．‎ ‎8.D 【解析】，由，，得，，所以的单调递减区间为，．可知①正确；由，可知的图象关于直线对称，所以②正确；当时，，所以，故③正确．‎ ‎9.D【解析】抛物线的标准方程为，则，准线方程为，由 得到准线的距离为，所以，所以．‎ ‎10.A【答案】由条件知（），则（当且仅当时等号成立）．‎ ‎11.C【解析】因为和都是奇函数，所以是偶函数，排除B和D．当取接近于的正数时，应有，所以排除A，因此选择C项．‎ ‎12.B【解析】由题，连接，交与点，由题，，设，则，，六棱锥的高，，则，‎ 令，，，令，即，，则，则，所以体积最大值为。‎ ‎13.【答案】或．或或．‎ ‎14.【答案】． 因为，，所以表示的数对对应的点在椭圆的内部，且在第一象限，其面积为，故，得．‎ ‎15.【答案】．由点到直线的距离公式得圆心到渐近线的距离为，因为圆的半径为，所以，同理．因为，所以，所以，所以，得，所以，解得．‎ ‎16.【答案】．时，，令，则，当时，，所以，符合题意；当时，由得（），易得时，，所以，‎ 这与矛盾．所以的取值范围为． ‎ ‎17.【解】（1）∵，∴，两式相减得，∵为正项数列，∴，∴，∴数列的奇数项和偶数项分别成等差数列．在中令得，，∵，∴解得，故数列为等差数列，且公差为，∴，即数列的通项公式为． （5分）‎ ‎（2）由（1）知，则 ‎． （10分）‎ ‎18.【解】（1）由得，即 ，也即，所以 ，所以或（不成立），所以，则． （6分）‎ ‎（2）由正弦定理得，所以，．因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以，故的取值范围为． （12分）‎ ‎19.【解】（1）证明：记与交点为，∵，为的中点，∴，又∵为菱形，∴．‎ ‎∵和是平面内两条相交直线，∴平面．‎ 又平面，∴平面平面． （6分）‎ ‎（2）设，∵，∴，又，所以，所以，因为，所以在中，由勾股定理得，∴．过作，垂足为，由（1）知，平面，∴平面平面．又平面平面，所以平面．在中，得，所以三棱锥的体积． （12分）‎ ‎20.【解】（1）证明：（反证法）假设存在，，三项成等比数列，则，所以，所以，解得，由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0，所以，又Fibonacci数列的所有项均为整数，所以应该为有理数，这与（无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）证明：由条件得，，‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 所以，所以为等比数列，公比为．‎ ‎ （12分）‎ ‎21.【解】（1）设椭圆焦距为，则，又，得，所以的方程化为，将代入解得，所以椭圆的标准方程为． （4分）‎ ‎（2）设，．将直线的方程与椭圆方程联立，解得，，同理，解得，．所以直线的斜率为 ‎，所以直线的方程为，即 （*）．取，得直线，取，得直线，联立两直线解得交点，经检验，符合方程（*），所以直线过定点． （12分）‎ ‎22.【解】（1）的定义域为，．‎ ‎①时，，则在是单调递增；‎ ②时，由得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 综上，时在是单调递增；时，在单调递减，在单调递增． （5分）‎ ‎（2），令，则，令，显然时，，时，，易知存在唯一，使，且时，，即，单调递减；时，，即，单调递增，所以至多有两个零点．又，，，故在区间和各有一个零点．所以，函数有且只有两个零点． （12分）‎