数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试（2018

数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试（2018

南阳市一中2015级高三第七次考试 理数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 ，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.的展开式中的系数是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 设变量满足约束条件，若目标函数（其中）的最大值为，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知一个四棱锥的三视图及有关数，如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.世界数学命题“问题”：任取衣蛾自然数，如果它是偶数，我们就把它除以，如果它是奇数，我们就把它乘再加上，在这一的一个变换下，我们就得到了一个现的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为，现根据此问题设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图，输入的 ‎，则输出 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ）‎ A．或 B． C．或 D． ‎ ‎8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.在直角坐标系中，设为双曲线 的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知函数，若在区间 内没有零点，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足 ，则在上的零点个数为 （ ）‎ A． B． C．或 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知5件产品中2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，‎ 则 ．‎ ‎14.已知为等比数列，且，则 的值为 ．‎ ‎15.在中，分别在线段上，‎ 且，则 ．‎ ‎16.已知四面体，则该四面体外接球的大圆的面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列为数列的前项和且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的通项公式为，令 为的前项和，求.‎ ‎18. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下：‎ 将河流水位在以上6段的频率作为相应段的频率，并假设每年河流水位互不影响.‎ ‎（1）求未来三年，至多有1年河流水位的概率（结果用分数表示）；‎ ‎（2）该河流对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响下；当时，损失10000元；当时，损失60000元，为减少损失，现有种对应方案：‎ 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；‎ 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；‎ 方案三：不采取措施；‎ 试比较哪种方案好，并说明理由.‎ ‎19.如图，四棱锥 中，底面为梯形，底面，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的焦点为，‎ 且 .‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）如图所示，过的直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点（两点相邻），过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值.‎ ‎21.已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得当时，函数的最大值为？若存在，取实数的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，），以原点为极点，轴作的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为 ，求的值.‎ ‎23.已知函数 .‎ ‎（1）当时，解不等式 ；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCAC 6-10:ACBCB 11、D 12、D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，，则，‎ 当时，由，得，得，‎ 综上，是公比为，首项为的等比数列，所以.‎ 易得，‎ 令，‎ ‎ ‎ 得，‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）由二项分布可得，未来三年，至多有1年河流水位的概率 ‎，‎ 所以未来三年，至多有1年河流水位的概率.‎ ‎（2）由题意知：,‎ 用分别表示采取方案的损失，由题知，‎ 分布列如下：‎ 所以,‎ 分布列如下：‎ 所以,‎ 因为采取方案2的平均损失最小所以采取方案2较好.‎ ‎19.解：（1）由，可得，又，‎ 所以，从而，因为底面，所以，因为，‎ 所以平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由可知为底面所成的角，所以，所以，‎ 又 及，可得，‎ 以点为坐标原点，分别 轴建立直角坐标系，‎ 则，设平面的法向量，‎ 则由 ，取，同理平面的法向量为，‎ 所以,‎ 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）由已知 ，‎ 因为，所以 ，得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设 ‎ 联立方程，得，由，得，‎ 所以直线，即，‎ 同理可求得，‎ 联立，解得，所以到的距离为，‎ 所以，‎ 当且仅当取等号，‎ 当时与面积之积的最小值为.‎ ‎21.解：（1）当时，，则，‎ 化简得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 且，‎ 所以函数在处取到极小值为，在处取得极大值.‎ ‎（2）由题意，‎ ‎①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为，‎ ‎②当时，令有或，‎ ‎（1）当时，函数在上单调递增，显然符合题意.‎ ‎（2）当即时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ ‎ 此时由题意，只需，解得，又，‎ 所以此时实数的取值范围是.‎ ‎（3）当即时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，‎ 则，代入化简得，‎ ‎，因为恒成立，‎ 故恒有，所以时，所以恒成立，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，‎ 由曲线的极坐标方程得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设曲线上任意一点，‎ 则点到曲线的距离为，‎ 因为，所以，‎ 当时，，即，‎ 当时，，即，‎ 所以或.‎ ‎23.解：（1）当时，原不等式可化为，‎ ‎①当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式可化为，解得，所以.‎ ‎③当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 综上所述，当时，不等式的解集为或.‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在恒成立，‎ 所以，即，‎ 即，所以，‎ 解得，故所求实数的取值范围是.‎