专题10 导数（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校好题精选系列

专题10 导数（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校好题精选系列

好题1. 【2017届河北唐山市高三第一次模拟考试】已知函数，若，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【推荐理由】数的大小比较主要考查了函数的单调性，尤其在给定函数的解析式的前提下.本题中函数的解析中含有对数式，一次式，分式，对其单调性的判断主要利用导数的方法来判断.利用导数来判断单调性时要注意函数的定义域.本题的另一个难点是利用函数的解析式将转化为.‎ 好题2.【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设是函数的图像上任意一点，则其关于点对称的点必在函数的图像上，即有解，也即有解，所以有解.令则，则当时，，函数单调递减；当 时，，函数单调递增，故函数在处取最小值，即，故应填答案.‎ ‎【推荐理由】解答本题的思路是先借助题设条件逐步将问题进行一步步地等价转化，从而将问题等价转化为所以有解.然后构造函数，借助导数的有关知识求出该函数的值域，从而使得问题获解.‎ 好题3.【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试】已知是定义在上的函数的导函数，若方程无解，且，，设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【推荐理由】此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点.有三个关键点：1.由方程无解，可知函数在上为单调函数；2.由，可知是定值；3. 对于对数函数，在真数相同底数不同的函数值中，当时，底数越小，函数值越大；当时，底数越大，函数值越小.‎ 好题4.【甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性】设函数在上的导函数为，对有，在上，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，．∴函数为奇函数．时，．故函数在上是减函数，故函数在上也是减函数．由，可得在上是减函数，∴，∴ ∴ 解得： 故本题选A．‎ ‎【推荐理由】本题考查的是构造函数，利用条件构造，进而将不等式转化为.根据知识：若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.‎ 好题5.【山西省2017届高三下学期名校联考】若函数满足，且，则的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【推荐理由】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ 好题6.【陕西省宝鸡市2017届高三教学质量检测（一）】已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数， 的图象相切，则必满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设与函数， 的图象的切点为,则由得,所以.令,则由零点存在定理得,选D.‎ ‎【推荐理由】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ 好题7.【四川省高2017届第一次名校联考（广志联考）】已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【推荐理由】本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用.求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答.先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解.‎ 好题8.【河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟】已知函数，则方程（）的根的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】设，则方程中，所以方程必有两根，由，不妨设.因为或，列表可得 ‎【推荐理由】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 好题9.【四川省高2017届第一次名校联考（广志联考）】在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，，函数单调递增；故当时，，函数单调递减，故当时，函数，应填答案.‎ ‎【推荐理由】解答本题的关键是如何建构以切点的横坐标为变量的函数.求解时先设切点坐标为切点，然后再依据题设条件建立关于线段的中点的纵坐标为 的目标函数，最后再运用导数的知识求函数的最大值，从而使得问题获解．‎ 好题10.【2017届安徽省合肥市高三第一次教学质量】函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【推荐理由】本题考查的是存在唯一的正整数，使得的问题.利用转化与归思想转化为两个函数和的图象的问题，解决本题的关键是充分 利用是过定点的一条直线，让其在旋转过程中满足存在唯一的正整数 ，则需要满足.解得.‎ 好题11.【2017届重庆市高三第一次诊断模拟】已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【推荐理由】本题的求解思路是先求函数的导数，再求出其极值点分别为，最后再依据题设条件是函数的极小值点建立不等式，通过解此二次不等式使得问题获解.‎ 好题12. 【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】已知函数，其中．‎ ‎（1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，函数在上为增函数，求证：．‎ ‎【解析】（1）由题意可得， 则 ，即,，当时，，此时在上递增；②当时，当时，；当时，；在上递增，在上递减；③当时，当时，；当时，；在上递增，在上递减； ‎ ‎（2）由题意可得对恒成立，∵，∴，即对恒成立，∴，即对恒成立， 设，， 则，∴在上递增，∴，∴． 又，∴．‎ ‎【推荐理由】讨论函数的单调性是导数这道题比较常见的类型，一般求导后，判断函数的类型，有没有恒成立的类型，求函数的极值点，讨论函数的极值点和定义域的关系，得到不同情况下的单调区间，导数的第二问，对于恒成立的类型也比较常见，可通过参变分离后，将问题转化为最值问题求解.‎ 好题13.【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】已知函数与的图象在点处有相同的切线．‎ ‎（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．‎ ‎（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，，令，得，其判别式，函数有两个极值点，，等价于方程在内有两不等实根，又，故．所以，且，，，令，，则，由于，∴，故在上单调递减．故．所以，所以．‎ ‎【推荐理由】‎ 此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.‎