【解析】2019届江西省新余市第四中学高三10月月考数学（理）试题Word版含解析

【解析】2019届江西省新余市第四中学高三10月月考数学（理）试题Word版含解析

‎2019届江西省新余市第四中学 高三10月月考数学（理）试题 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知，，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2．设命题，使得，则为 A． ，使得 B． ，使得 C． ，使得 D． .使得 ‎3．把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4．函数 与这两个函数在区间上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a的范围是 A． B． C． D． ‎ ‎5．在中，内角， ， 所对的边分别是， ， ，已知， ，则 A． B． C． D． ‎ ‎6．若定义在上的偶函数，满足且时，，则方程的实根个数是 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个 ‎7．已知中， ，则为 A． 等腰三角形 B． 的三角形 C． 等腰三角形或的三角形 D． 等腰直角三角形 ‎8．一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， 后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，则再经过，容器中的沙子只有开始时的八分之一.‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．若函数，且，，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ‎13．由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎14．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则= ____________‎ ‎15．已知函数在区间上至少有一个极值点，则的取值范围为__________．‎ ‎16．已知△ABC的三个内角的正弦值分别与的三个内角的余弦值相等,且△ABC的最长边的边长为6,则△ABC面积的最大值为_____________.‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列前项和.‎ ‎18．在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.‎ ‎(1)求证: 平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求获得复赛资格的人数；‎ ‎（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?‎ ‎（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎20．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求函数在上的值域；‎ ‎（2）若 ，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．‎ ‎（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎2019届江西省新余市第四中学 高三10月月考数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合与中不等式的解集，确定两个结合，求出两个集合的交集即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合或，集合，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合中交集的运算，其中熟记集合的运算和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 命题，使得，则为，使得。‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了否命题的写法，只否结论，全称命题的否定为特称命题，满足换量词，否结论不变条件这一结论.‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．‎ ‎【详解】‎ 把函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度，得y=sin（2x+），即y=cos2x的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，是基础题．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数和反比例函数的性质得a-1且a-1>0，取交集即可.‎ ‎【详解】‎ 函数 与这两个函数在区间上都是减函数 则根据二次函数的性质得到a-1,根据反比例函数的性质得到a-1>0‎ 两者取交集得到,充分不必要条件是实数a的范围比这一范围小就可以了.‎ 故可以是：.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数单调性的应用，考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档；注意二次函数的单调性和对称轴有关，反比例和x的系数有关.‎ ‎5．A ‎【解析】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得 ‎，故，由二倍角公式得.‎ 考点：正弦定理及二倍角公式.‎ ‎【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理， 实现边与角的互相转化.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得函数周期为2，问题转化为f（x）与y=log3|x|图象的交点个数，作图可得．‎ ‎【详解】‎ 由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，‎ 又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f（x）=x，‎ 故可作出函数f（x）得图象，‎ ‎∴方程f（x）=log3|x|的解个数等价于f（x）与y=log3|x|图象的交点，‎ 由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）=log3|x|的解个数为4‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质，涉及函数的周期性和对称性，属基础题．此题具体涉及到方程的根的问题，一般方程的根和图像的交点，函数的零点可以互相转化，这个题目即将方程的根转化为了图像的交点问题，注意画图时函数的渐近线等问题.‎ ‎7．C ‎【解析】∵,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得,‎ ‎∴，‎ ‎∴或。‎ 当时，则，三角形为等腰三角形；‎ 当时，则，可得。‎ 综上为等腰三角形或的三角形。选C。‎ ‎8．B ‎【解析】依题意有= ,即 ，两边取对数得 当容器中只有开始时的八分之一，则有 两边取对数得，所以再经过的时间为24-8=16.‎ 故选B.‎ ‎9．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，周期，‎ 又存在实数，对任意实数总有成立，‎ ‎，‎ 的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为且，即在是增函数，得出，而在不是增函数，利用导数得出，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 因为且，即在是增函数，‎ 所以，‎ 而在不是增函数，而，‎ 所以当是增函数时，有，当不是增函数时，有，‎ 综上所述，可得的取值范围是，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的应用，以及利用导数判定函数的单调性的应用，其中正确理解题意，合理转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题．‎ ‎11．B ‎【解析】‎ 画出函数的图像如图，设，则，所以问题转化为方程在区间内和区间分别各有一个根。令，由此可得不等式组，由于，则画出图形如下图可知： ，故由几何概型的计算公式可得其概率为，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是理解题设中的具体要求．明确要解决的问题的特征，进而采用切实可行的求解方法．求解过程中巧妙运用数形结合的思想先将有５个实数根的问题进行等价转化为程在区间内和区间分别各有一个根的问题．结合函数的图像可知这里在区间内有一个实数根等价于方程区间内有四个根，这是较难理解的地方．当求得不等式组后依据几何概型的计算公式使得问题巧妙获解．本题的求解过程中综合运用了等价转化＼函数方程等重要数学思想．‎ ‎12．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数 故进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果.‎ ‎【详解】‎ 对任意的实数都有,变形得到=‎ 构造函数 ‎ 故根据，得到 进而得到，对函数求导得到 根据导函数的正负得到函数在，， 由此可得到函数的图像，‎ 不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故 ‎ ‎ 解得m的范围是：.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值的问题中的应用，体现了数形结合的思想以及极限的画图的思想；较为综合. 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分的几何意义得到直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为 ‎【详解】‎ 根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的几何意义得到， .‎ ‎【详解】‎ 曲线，求导得到，函数在点处的切线的倾斜角为，则得到， ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在区间中至少有一个极值点，等价与方程在其判别式的条件下在区间有解，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 因为，而在区间中至少有一个极值点，‎ 等价于方程在其判别式的条件下在区间有解，‎ 所以由可得，‎ 令，求导数可得，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 解得，此时满足，故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是在区间中至少有一个极值点转化为方程在判别式的条件下在区间有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，可得A1，B1，C1 都为锐角，又A为钝角，‎ 则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：‎ A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，相加可解得A=，利用余弦定理可得，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，‎ ‎∴不妨设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，‎ ‎∵cosA1＞0，cosB1＞0，cosC1＞0，‎ ‎∴A1，B1，C1 都为锐角，‎ 又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，‎ 相加可得：A﹣B﹣C+90°=A1+B1+C1，‎ 解得：A=，则角A对应边长最长的边为6，根据余弦定理得到 ‎ 解得，三角形的面积最大为 ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎17．（1），即. ‎ ‎（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，利用分组法求出数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知，等差数列{an}的公差为d，‎ 且方程的两个根分别为﹣1，3．‎ 则根据韦达定理得到：‎ 解得，‎ 故数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎（2）据（1）求解知，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18．（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 连接，根据几何关系得到, 由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果 ‎【详解】‎ ‎（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.‎ ‎（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.‎ ‎19．（1）20；（2）5，2；（3）见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；（Ⅱ）由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；（Ⅲ）先求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知之间的频率为:，‎ ‎∴获得参赛资格的人数为 ‎ ‎（Ⅱ）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人 分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，则 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.‎ ‎20．(1) ；(2) 直线的斜率成等差数列 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可设直线AB的方程为y=k（x﹣2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ) 因为点在上，且轴，所以． ‎ 设椭圆左焦点为，则，．‎ 中，，所以．‎ 所以，． ‎ 又，‎ 故椭圆的方程为。‎ ‎(Ⅱ) 由题意可设直线的方程为，‎ 令得，的坐标为． ‎ 由得，．‎ 设，，则有，…①． ‎ 记直线的斜率分别为，‎ 从而，，．‎ 因为直线的方程为，所以，‎ 所以 ‎…②． ‎ ‎①代入②得，‎ 又，所以，‎ 故直线的斜率成等差数列 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．（1）． ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，得到函数的单调性，进而得到值域；（2）令，只需要证明此函数小于等于0即可，对函数求导，分情况研究函数的单调性得到函数最值使得最大值小于等于0即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知， ‎ 在上单调递减，， ‎ 时，， ‎ 在上的值域为． ‎ ‎（2）令，‎ 则，‎ ‎①若，则由（1）可知，，在上单调递增，‎ ‎，与题设矛盾，不符合要求； ‎ ‎②若，则由（1）可知，，在上单调递减，‎ ‎，符合要求； ‎ ‎③若，则，使得，‎ 且在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎．‎ 由题：，即，，‎ 即． ‎ 且由（1）可知在上单调递减，‎ ‎． ‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义和函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.‎ ‎22．（1）普通方程为．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据参数方程和极坐标方程化为普通方程的方法得到普通方程；（2）到直线的距离为，‎ ‎，根据三角函数的有界性得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为，‎ 直线的极坐标方程为：，化为普通方程为．‎ ‎（2）设到直线的距离为，‎ ‎ = ， ‎ ‎∴到直线的距离的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程及极坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用,属于基础题型.‎ ‎23．（1）或（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解绝对值不等式.(2)先求m的值，再利用柯西不等式求的最小值.‎ 详解：（1）‎ 所以等价于或或 解得或，所以不等式的解集为或 ‎（2）由（1）可知，当时，取得最小值，‎ 所以，即 由柯西不等式，‎ 整理得，当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ 点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论的思想.(2)柯西不等式：，在求最值时经常用到，要理解掌握并灵活运用. ‎