数学文卷·2018届山西省实验中学高三上学期第二次月考（2017

数学文卷·2018届山西省实验中学高三上学期第二次月考（2017

山西省实验中学2018届高三上学期第二次月考 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎2.已知是虚数单位，化简为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎3.三个内角所对的边为，已知且，则角等于（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎4.若两个非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎5.设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．14 B．10 C. 6 D．4‎ ‎6.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C．16 D． ‎ ‎7.函数的零点是和，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8. 设有一个正方形格(线条宽度忽略不计，部分格如图)，其中每个最小正方 形的边长都等于.现用目前流通的直径是的—元硬币投掷到此格上，则硬币完全落入格内（与格线没有公共点）的概率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.函数在的图像大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题：‎ ‎①若，则；②若，则；③，则；④若，‎ 则.其中正确的命题个数是（ ）‎ A．0 B．1 C. 2 D．3‎ ‎12.若函数在上的图象与直线恰有两个交点.则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知双曲线的渐近线过圆的圆心，则 ．‎ ‎14.执行如图所示的程序框图，则输出的 ．‎ ‎15.已知，则 ．‎ ‎16.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本.进行5次试验，收集到的数据如表：‎ 由最小二乘法得到回归方程，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.某校高一、高二、高三人数分别是400人、350人、350人.为调査该校学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取的同学有8人 ‎（1）求样本容量的值和高二抽取的同学的人数 ‎（2）若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选中的概率.‎ ‎19.如图所示，为的直径，点在上（不与重合)，平面，点 分别为线段的中点.为线段上(除点外）的一个动点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎20. 设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与曲线相交于两点，若是否存在实数，使得的面积为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求的单调性；‎ ‎（2）设，若关于的方程有解，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中.直线的参数方程为为（为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点.以轴非负半轴为极轴）中.圆的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程，并把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆上的点到直线的距离最小，点到直线的距离最大，求点的横坐标之积.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACADD 6-10: BCACB 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 4 14. 15. 16. 68‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵ ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①得 即 ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎∴‎ ‎（2）由，∴‎ ‎∴ ③‎ 左右两边乘于2得 ④‎ ‎③-④得 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎18.解：（1）由题意可得，解得，‎ 从高二抽取的同学人 ‎（2）由（1）知，从高二抽取的同学为7人，‎ 其中2位女生记为，4位男生记为,则从这7位同学中任选2人，不同的结果有 , 共21种 ‎ 从这7位同学中任选2人，有女生的有： 共 11 种 ‎ 故至少有1名女同学被选中的概率.‎ ‎19．（1）证明：∵是的中点，是的中点，∴平面 点不与点重合，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）证明：∵平面,平面,∴,‎ 又∵是的直径，∴,‎ 又,平面,‎ ‎∵平面,∴.‎ ‎20.解：设点的坐标为，因为点的坐标是，‎ 所以直线的斜率 同理，直线的斜率 所以化简得点的轨迹方程为 ‎ ‎（2）设联立，化为：，‎ ‎，∴.‎ ‎∴ ‎ 点到直线的距离 ‎∴，‎ 解得：，‎ 解得.‎ 因为当时直线过点，‎ 当时直线过点，‎ 因此不存在实数，使得的面积为.‎ ‎21. （1）解：依题意，函数的定义域为 ‎ ‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故的单调增区间为，单调减区间为 ‎（2）由已知，关于的方程有正根. ‎ 令，则，‎ 由,得；‎ 由得.‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ ‎ ‎∵关于的方程有正根.‎ ‎∴.‎ ‎22.（1）由直线的参数方程为（为参数)，消去，得 圆的极坐标方程是 ‎ 即，化为直角坐标方程：，‎ 配方为.‎ ‎(2)依题意，直线的方程满足经过圆心且与直线垂直，则直线的方程为：.‎ 联立，化为：.‎ ‎∴.∴点的横坐标之积为.‎ ‎23.解：∵函数，‎ ‎∴当时，；‎ 当时，；‎ 当时， ‎ ‎（1）当时，不等式化为，解得，‎ 当时，不等式化为，无解，‎ 当时，不等式化为，解得，‎ 综上，不等式的解集为或 ‎ ‎（2） 由上述可知的最小值为9，‎ 因为不等式恒成立，所以 所以，故实数的取值范围为.‎