北京市丰台区2020届高三一模数学试题

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丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）‎ 高三数学 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，再求并集即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知向量，，满足，则（ ）‎ A. 1 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标运算求解即可.‎ ‎【详解】向量，，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题.‎ ‎3.若复数z满足，则z对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算化简复数，确定对应复平面的点，即可得出答案.‎ ‎【详解】，其对应复平面的点为，在第二象限 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.‎ ‎4.圆的圆心到直线的距离为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为 则圆心到直线的距离 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题.‎ ‎6.“ x>‎1”‎是“<‎1”‎的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式可得：等价于或，再由“”是“或”的充分而不必要条件，即可得解.‎ ‎【详解】解：因为等价于等价于或，‎ 又“”是“或”的充分而不必要条件，‎ 即“ x>‎1”‎是“<‎1”‎的充分而不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论.‎ ‎【详解】该几何体对应直观图如下图所示 ‎；；‎ ‎，‎ ‎，‎ 则面积等于的有3个 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.‎ ‎8.过抛物线C：（）的焦点F作倾斜角为的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B（点A在x轴上方），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何关系以及抛物线的定义得出，由直角三角形的边角关系得出，再由直线和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，结合 ‎，对应边成比例，即可得出答案.‎ ‎【详解】设，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴的垂线，垂足于点，直线与准线交于点，准线与轴交于点 直线的倾斜角为，，即 由抛物线的定义知，，则，即点为中点 由于，则，即，则 设直线的方程为，即 并代入中，得：，即，则 由于，则 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题.‎ ‎9.将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）‎ A. 为偶函数 B. ‎ C. 当时，在上有3个零点 D. 若在上单调递减，则的最大值为9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A选项；将代入函数的解析式，即可判断B选项；由余弦函数的性质判断C，D.‎ ‎【详解】由题意得，由，得出 则 对A项，函数的定义域为，，则函数为偶函数 对B项，‎ 对C项，当时，，由得：‎ ‎，可以取，即当时，在上有3个零点 对D项，由，解得 则函数在区间上单调递减 因为在上单调递减，所以，解得 即的最大值为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.‎ ‎10.已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设 当时，，，不存在非零实数，使得成立，则不满足题意 当时，若存在非零实数，使得成立，则方程有非零的正根，即函数与有交点 先考虑函数与直线相切的情形 设切点为，则，整理得 令，则，即函数在上单调递增 则，所以方程的根只有一个，且，即 则函数与直线相切时，切点为原点 所以要使得函数与有交点，则，即 所以实数k的取值范围是 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.‎ 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.设等差数列的前n项和为，，则______.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎12.若，则函数的最小值为______，此时______.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为，再由基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当，即时，取等号 即函数的最小值为，此时 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎13.已知平面和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①；②‎ ‎；③；④；⑤；⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号）‎ ‎【答案】①④（或③⑥）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.‎ ‎【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故可填①④‎ 对①⑤，若，，则；‎ 对①⑥，若，，则无法判断的位置关系；‎ 对②④，若，，则；‎ 对②⑤，若，，则可能相交，平行或异面；‎ 对②⑥，若，，则无法判断位置关系；‎ 对③④，若，，则无法判断的位置关系；‎ 对③⑤，若，，则无法判断的位置关系；‎ 对③⑥，由平行的传递性可知，若，，则，故可填③⑥‎ 故答案为：①④（或③⑥）‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.‎ ‎14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：‎ ‎①对，变换：求集合A的补集；‎ ‎②对任意，变换：求z的共轭复数；‎ ‎③对任意，变换：（k，b均为非零实数）.‎ 其中是“回归”变换的是______.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.‎ ‎【详解】对①，集合的补集为集合，集合的补集为集合，故①为“回归”变换 对②，设，，复数的共轭复数为，复数的共轭复数为，故②为“回归”变换 对③，当时，，，由于k，b均为非零实数，则不一定为，则③不是“回归”变换 故答案为：①②‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.‎ ‎15.已知双曲线M：的渐近线是边长为1的菱形的边，所在直线.若椭圆N：（）经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线渐近线的斜率得出，进而得出点的坐标，根据题意得出椭圆的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出的值.‎ ‎【详解】因为为双曲线的渐近线，所以，则 所以，，则 因为，所以椭圆的半焦距 设椭圆的左焦点为，则，连接 由椭圆的定义可得 即，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求是解题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.‎ ‎（1）当时，求a；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理，即可得出值；‎ ‎（2）由，结合三角恒等变换得，再由的范围确定的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）由余弦定理，‎ 得.‎ 所以.‎ ‎（2）由可知，，即.‎ ‎.‎ 因为，所以.故.‎ 因此.‎ 于是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题.‎ ‎17.如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面平行判定定理证明即可；‎ ‎（2）由勾股定理得出，进而得，再由面面垂直的性质定理即可证明平面；‎ ‎（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.‎ ‎【详解】证明：（1）因为，‎ 平面，‎ 平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）取的中点N，连接.‎ 在直角梯形中，‎ 易知，且.‎ 在中，由勾股定理得.‎ 在中，由勾股定理逆定理可知.‎ 又因平面平面，‎ 且平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎（3）取的中点O，连接，.‎ 所以，‎ 因为平面，‎ 所以平面.‎ 因为，‎ 所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为.‎ 不妨设（），‎ 所以，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则 即 令，，所以.‎ 从而.‎ 解得或.‎ 因为，所以.‎ 由题知二面角为锐二面角.‎ 所以在棱上存在一点E，使得二面角的大小为，‎ 此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.‎ ‎18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：‎ 社区 社区服务总人数 服务类型 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询 A ‎100‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎20‎ B ‎120‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎20‎ ‎25‎ C ‎150‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；‎ ‎（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；‎ ‎（3）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“，，”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系.（只需写出结论）‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用古典概型概率公式求解即可；‎ ‎（2）先求出A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率，得出X的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；‎ ‎（3）根据方差的意义进行判断即可.‎ ‎【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D，‎ ‎.‎ 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为.‎ ‎（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，.‎ X的所有可能取值为0，1，2，3.‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（3）‎ ‎【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义求解即可；‎ ‎（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；‎ ‎（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以.‎ 由题知，‎ 解得.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以.‎ 当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 所以是在区间上的最小值.‎ 所以.‎ ‎（3）由（1）知，.‎ 若，则当时，，在区间上单调递增，‎ 此时无极值.‎ 若，令，‎ 则.‎ 因为当时，，所以在上单调递增.‎ 因为，‎ 而，‎ 所以存在，使得.‎ 和的情况如下：‎ x ‎0‎ 极小值 因此，当时，有极小值.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线，分别交y轴于M，N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在；点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可；‎ ‎（2）假设存在点Q使得，根据几何关系得出，进而得到，设出直线，的方程，得出的纵坐标，进而得到，结合，解出的值，求出点Q的坐标.‎ ‎【详解】解：（1）由题意 解得，.‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（2）假设存在点Q使得.设 因为，所以.则.‎ 即，所以.‎ 因为直线交椭圆C于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.‎ 设，（），‎ 因为，则直线的方程为：.‎ 令，得.‎ 直线的方程为：.‎ 令，得.‎ 因为，所以.‎ 又因为点在椭圆C上，所以.‎ 所以.即.‎ 所以存在点使得成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题.‎ ‎21.已知有穷数列A：（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.‎ ‎（1）写出下列数列的“伴生数列”：‎ ‎①1，2，3，4，5；‎ ‎②1，，1，，1.‎ ‎（2）已知数列B的“伴生数列”C：，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.‎ ‎（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；‎ ‎（ⅱ）求数列C所有项的和.‎ ‎【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i）证明见解析（ⅱ）所有项的和或（n是3的倍数）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据“伴生数列”的定义求解即可；‎ ‎（2）（i）设存在，使得，讨论和，结合“伴生数列”的定义证明即可；‎ ‎（ⅱ）利用反证法得出不可能存在，，再对数列的前三项，，的值进行讨论，当时，得出所有项的和；当，，时，得出与已知矛盾；当，，时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和，同理可以得出当，，及，，时，所有项的和.‎ ‎【详解】解：（1）①1，1，1，1，1；‎ ‎②1，0，0，0，1.‎ ‎（2）（i）由题意，存在，使得.‎ 若，即时，.‎ 于是，.‎ 所以，所以.即.‎ 依次类推可得（，3，…，）.‎ 所以（，2，…，n）.‎ 若，由得.‎ 于是.所以.‎ 依次类推可得.‎ 所以（，2，…，n）.‎ 综上可知，数列B中的每一项均为1.‎ ‎（ⅱ）首先证明不可能存在使得.‎ 若存在使得，‎ 则.‎ 又得与已知矛盾.‎ 所以不可能存在，.‎ 由此及（ⅰ）得数列的前三项，，的可能情况如下：‎ 当时，由（i）可得（，2，…，n）.‎ 于是（，2，…，n）.‎ 所以所有项的和.‎ 当，，时，，‎ 此时与已知矛盾.‎ 当，，时，，，.‎ 于是，.‎ 故，，‎ 于是，，，‎ 于是，，，且，，.‎ 依次类推且n恰是3的倍数满足题意.‎ 所以所有项的和.‎ 同理可得，，及，，时，‎ 当且仅当n恰是3的倍数时，满足题意.‎ 此时所有项的和.‎ 综上，所有项的和或（n是3的倍数）.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求数列的前项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.‎