2018-2019学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ）‎ A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据生产的零件外直径符合正态分布，根据原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围同两个零件的外直径进行比较，得到结论.‎ ‎【详解】‎ 因为零件外直径，‎ 所以根据原则，在与之外时为异常，‎ 因为上、下午生产的零件中随机取出一个，，，‎ 所以下午生产的产品异常，上午的正常，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态分布的原则，属于简单题目.‎ ‎2．已知三个正态分布密度函数（, ‎ ‎）的图象如图所示则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．‎ ‎【详解】‎ 根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，‎ ‎∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，‎ ‎∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，‎ 只能从A，D两个答案中选一个，‎ ‎∵σ越小图象越瘦长，‎ 得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．‎ ‎3．已知两个随机变量满足，且，则依次（ ）‎ A．，2 B．，1 C．，1 D．，2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，得，，然后由得，再根据公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得，，‎ 因为，所以，‎ 所以，，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.‎ ‎4．已知集合,则中所含元素的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 列举法得出集合，共含个元素。‎ 故答案选 ‎5．设，且，若能被100整除，则等于（ ）‎ A．19 B．91 C．18 D．81‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为，根据二巷展开式展开后再根据余数的情况进行分析后可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由题意得 ‎，‎ 其中能被100整除，‎ 所以要使能被100整除，‎ 只需要能被100整除．‎ 结合题意可得，当时，能被100整除．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项，本题考查二项展开式的应用，属于中档题．‎ ‎6．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（ ）‎ A．残差平方和变小 B．方差变大 C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.‎ ‎【详解】‎ 由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，‎ 所以变大，变大，残差平方和变小，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关线性相关性强弱的问题，涉及到的知识点有相关系数，相关指数，以及残差平方和与相关性的关系，属于简单题目.‎ ‎7．下列命题中：‎ ‎①“”是“”的充要条件；‎ ‎②已知随机变量服从正态分布，则；‎ ‎③线性回归直线方程一定经过样本中心；‎ ‎④命题“”的否定是“”.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①充要条件即等价条件，不等价则不充要；‎ ‎②根据正态分布的特征，且，得到，判断其正确；‎ ‎③根据回归直线的特征，得出其正确；‎ ‎④写出命题的否定，判定其错误；‎ 最后得出结果.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由，可以推出，充分性成立，推不出，当 取负数时不成立，必要性不成立，所以①错误；‎ 对于②，根据题意得，所以②正确；‎ 对于③，根据回归直线一定会过样本中心点，所以③正确；‎ 对于④，命题“”的否定为：“”，所以④错误；‎ 所以正确命题有两个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关判断命题的正误的问题，涉及到的知识点有充要条件，正态分布，含有一个量词的命题的否定，回归直线方程的特征，属于简单题目.‎ ‎8．设，则随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ 则当在（0，1）内增大时（ ）‎ A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据期望公式求得随机变量X的期望，之后应用方差公式求得随机变量X的方差，根据二次函数的性质求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得，‎ ‎，‎ 所以在上单调减，在上单调增，‎ 所以是先减小后增大，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关离散型随机变量方差的变化趋势，涉及到的知识点有离散型随机变量的期望和方差公式，属于简单题目.‎ ‎9．若，则（ ）‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对等式中的分别赋0，1，求出常数项和各项系数和得到要求的值.‎ ‎【详解】‎ 令，得，‎ 令，得，‎ 所以 ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有二项展开式中系数和的有关运算问题，涉及到的知识点有应用赋值法求二项式系数和与常数项，属于简单题目.‎ ‎10．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A．27 B．81 C．54 D．108‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 甲在五楼有种情况，‎ 甲不在五楼且不在二楼有种情况，‎ 由分类加法计数原理知共有种不同的情况，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.‎ ‎11．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项( )‎ A．32 B．24 C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出；再由求出，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，‎ 所以，因此，‎ 又，所以，‎ 令，则，‎ 又，所以，因此，‎ 所以展开式的通项公式为，‎ 由得，‎ 因此展开式中常数项为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.‎ ‎12．下列有关结论正确的个数为（ ）‎ ‎①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；‎ ‎②设，则“”是“的充分不必要条件；‎ ‎③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，，所以，故①正确；对于②，当，有，而由有，因为 ，所以是的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线对称，且 所以，故③正确。‎ 点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题。这几个知识点都是属于难点，容易做错。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解绝对值不等式求得集合A，根据偶次根式的条件求得集合B，之后求得两集合的交集，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解不等式得，‎ 根据，解得，所以，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义域，两集合的交集的求解，属于简单题目.‎ ‎14．在的展开式中，含项的系数是_______________.‎ ‎【答案】56‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求出各项二项展开式中项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 的展开式中，含项的系数为：‎ ‎，‎ 故答案是：56.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.‎ ‎15．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 __________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找到满足题意的所有情况，分别求得每种情况下的概率，由分类计数原理进行加法运算即可.‎ ‎【详解】‎ 甲乙两人合起来共猜对三个谜语的所有情况包括：甲猜对2个，乙猜对1个和甲猜对1个，乙猜对2个，‎ 若甲猜对2个，乙猜对1个，则有=，‎ 若甲猜对1个，乙猜对2个，则有，‎ ‎∴比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为+.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相互独立事件的概率的求法，考查了分类计数原理的应用，属于基础题.‎ ‎16．甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.‎ ‎【详解】‎ 甲赢得比赛的概率：‎ ‎，‎ 令，‎ 则，令，解得：‎ 当时，；当时，‎ 即在上单调递增；在上单调递减 当时，取最大值，即取最大值 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（I）解不等式：；‎ ‎（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：‎ ‎【答案】（I）（2，6）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；‎ ‎（II）由函数，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）当时，，‎ 解得，；‎ 当时，，‎ 解得，；‎ 当时，，‎ 解得，无解.‎ 综上所述，原不等式的解集为（2，6）.‎ ‎（II）证明：=，‎ 即 ‎ ‎（当且仅当时，等号成立）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等式的关键，同时注意基本不等式在不等式证明中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知 ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解不等求得p，根据m的值求得q；根据p∧ q为真可知p、q同时为真，可求得x的取值范围。‎ ‎(2)先求得q。根据p是q的充分不必要条件，得到不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.‎ 当m=2时,q:-1≤x≤3.‎ 若p∧q为真,p,q同时为真命题,‎ 则即1≤x≤3.‎ ‎∴实数x的取值范围为[1,3].‎ ‎(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.‎ ‎∵p是q的充分不必要条件,‎ ‎∴解得m≥4.‎ ‎∴实数m的取值范围为[4,+∞).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题的简单应用，充分必要条件的关系，属于基础题。‎ ‎19．某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）．现有、两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取100名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训．培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图．‎ ‎（1）记表示事件“参加类培训工人的生产能力不低于130件”，估计事件的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为工人的生产能力与培训类有关：‎ 生产能力件 生产能力件 总计 类培训 ‎50‎ 类培训 ‎50‎ 总计 ‎100‎ ‎（3）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由．‎ 参考数据 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析；(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图用频率估计概率，求得对应的频率值，用频率估计概率即可；‎ ‎（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（3）根据频率分布直方图，判断、类生产能力在130以上的频率值，比较得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由频率分布直方图，用频率估计概率得，所求的频率为，‎ 估计事件的概率为；‎ ‎（2）根据题意填写列联表如下，‎ 类培训生产能力件的人数为，‎ 类培训生产能力件的人数为，‎ 类培训生产能力件的人数为，‎ 类培训生产能力件的人数为，‎ 生产能力件 生产能力件 总计 类培训 ‎36‎ ‎14‎ ‎50‎ 类培训 ‎12‎ ‎38‎ ‎50‎ 总计 ‎48‎ ‎52‎ ‎100‎ 由列联表计算，‎ 所以有的把握认为工人的生产能力与培训类有关；‎ ‎（3）根据频率分布直方图知，类生产能力在130以上的频率为0.28，‎ 类培训生产能力在130以上的频率为0.76，‎ 判断类培训更有利于提高工人的生产能力．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20．(1)设是两个正实数，且，求证：；‎ ‎（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，， 中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 而均为正数，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴成立．‎ ‎(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，‎ 则，，．‎ 相加有，‎ ‎．①‎ 则，与由题意、、互不相等矛盾．‎ ‎∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎