河北省张家口市宣化第一中学2020届高三上学期月考考试数学试卷
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若集合A={x|132<2-x≤12}，B={x∈N|-x2+3x+4>0}，则A∩B=( )
A. (1,4) B. [1,4) C. {1,2，3} D. {2,3}
2. 在公差d不为零的等差数列{an}中，a3=16，且a1，a3，a7成等比数列，则d=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知sin(π6+α)=-35，则cos(4π3-α)=( )
A. 45 B. 35 C. -45 D. -35
4. 若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，则a+2b的最小值等于( )
A. 9 B. 8 C. 3+22 D. 4+22
5. 已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2 B. 若a>b，c>d，则ac>bd
C. 若ac2>bc2，则a>b D. 若a>-b，则c-a>c+b
6. 已知点P为双曲线C：x236-y264=1上的动点，点A(-10,0)，点B(10,0).若PA=15，则PB=( )
A. 27 B. 3 C. 3或27 D. 9或21
7. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，点E是BD上靠近D的四等分点，则AE⋅AC=( )
A. 83 B. 43 C. 6 D. 4+23
8. 已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x，若f(log12m)+f(1-2log12m)<0，则实数m的取值范围是( )
A. (-∞,12) B. (12,+∞) C. (12,2) D. (0,12)
9. 已知三棱锥D-ABC中，AB=1，AC=AD=3，BD=2，BC=2，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 8π B. 6π C. 4π D. 86π
10. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ=4FQ，则|PF|=( )
A. 3或4 B. 245或8 C. 8或2 D. 8
11. 定义在R上的运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x+1)*(x-3)
x2>x1，则(x1+x2)⋅x3的取值范围是( )
A. (8,9) B. (48,54)
C. (4,1+2log23) D. (24,6+12log23)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b+c)2+(a+b-c)2=4c2+2ab，B=30°，a=2，则△ABC的面积为______．
2. 已知圆C：(x+5)2+y2=36和点B(5,0)，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是______．
3. 已知a=0.60.7，b=0.70.6，c=ln0.6，将a，b，c按从小到大的顺序排列______．
4. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，A，B是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⋅BF=0且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
5. 若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2n-1an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3sinB-2cos2A+C2=0．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，求△ABC的周长的取值范围．
7. 如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图(2)．
(1)求证：平面DAB⊥平面DAE；
(2)求二面角D-AB-E的大小．
1. 已知抛物线C：y2=-2px(p>0)上一点R(-4,m)到其焦点F的距离为5．
(1)求p与m的值；
(2)设动直线y=k(x+2)与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在与k的取值无关的定点M，使得∠AMF=∠BMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(-2,0)，F2(2,0)，且经过点M(2,1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
3. 已知函数f(x)=ex+m，g(x)=12ax2-12ax．
(1)若m=0，函数F(x)=g(x)+(1-x)f(x)在点(0,F(0))处切线方程为y=x+1，求实数a的值；
(2)证明m>0时，f(x)>x+1．
数学试卷答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|-5<-x≤-1}={x|1≤x<5}，B={x∈N|-10,b>0)过点(1,2)，
则1a+2b=1，
a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=5+4=9，当且仅当a=b时取等号，
故选：A．
利用1的巧妙代换，利用基本不等式求出即可．
考查基本不等式的应用，1的巧妙代换，中档题．
5.【答案】C
【解析】解：对于选项A：当c=0时，不等式不成立，故错误．
对于选项B：由于a>b，c>d，但是不确定a，b，c，d的符号，故错误．
对于选项C：成立，故正确．
对于选项D，若a>-b，则c-a1，
解可得：01，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
9.
【答案】B
【解析】解：三棱锥D-ABC中，AB=1，AC=AD=3，BD=2，BC=2，
所以：AB2+BC2=AC2，
故：AB⊥BC，且BC⊥AD，
则BC⊥平面ABD，
由于BD=2，BC=2，
利用勾股定理，解得DC=6．
由于AD=AC=3，
所以AD2+AC2=DC2，整理得AD⊥AC，
设球心为O，球的半径为R，所以R=(32)2+(32)2=62，
所以S=4π×(62)2=6π．
如图所示：
故选：B．
首先利用线面的垂直的应用求出球心的位置，进一步利用勾股关系式求出球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球心的确定和求的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10.【答案】D
【解析】解：焦点F(0,1)，准线方程y=-1，所以焦点到准线的距离为：2，由题意过Q做QM⊥l于M，因为PQ=4FQ，由抛物线的性质知，
所以QMPQ=4，设直线PQ的倾斜角为α，则sinα=14，所以由三角形相似可得：2|PF|=14，所以|PF|=8，
故选：D．
由抛物线的性质得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再由相似三角形可得对应比成比例可得结果．
考查抛物线的性质，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：由题意得，不等式(x+1)*(x-3)[(x+1)(4-x)]max，x∈(2,5)；
而y=(x+1)(4-x)在(2,5)上单调递减，故∀x∈(2,5)，都有y<(2+1)(4-2)=6；
∴a2-5a≥6，解得a≤-1或a≥6；
故选：A．
根据定义，不等式等价于(x+1)[1-(x-3)][(x+1)(4-x)]max，x∈(2,5)，解出a的范围即可．
本题考查了函数的恒成立问题，注意转化为最值问题解决；同时还考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由题意，当x<4时，y=-x2+6x=-(x-3)2+9．
则函数f(x)大致图象如下：
根据二次函数的对称性，可知x1+x22=3，即x1+x2=6．
根据题意及图，可知8<2x3-1<9，
解得4|BC|，根据双曲线的定义判断轨迹双曲线，求出a、b值，即得双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，得出|MC|-|MB|=6<|BC|，是解题的关键和难点．
15.【答案】cb得a+c>3；
所以33，即可得解△ABC周长的取值范围．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)证明：∵AE⊥CD，AB//CD，
∴AE⊥AB；
∵DE⊥EC，AB//EC，
∴DE⊥AB；
又AE∩DE=E，
∴AB⊥平面DAE，
∵AB⊂平面DAB，
∴平面DAB⊥平面DAE．
(2)以E为原点，EA为x轴，EC为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE=EC=ED=2，则A(2,0，0)，D(0,0，2)，E(0,0，0)，B(2,2，0)，AD=(-2,0,2)，AB=(0,2,0)，
设平面DAB的法向量n=(x,y,z)，
则，取x=1，得n=(1,0,1)，
平面ABE的法向量m=(0,0,1)，
设二面角D-AB-E的大小为θ，
则n=m=cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=12=22，θ=45°，
∴二面角D-AB-E的大小为45°．
【解析】(1)关键是证明AE⊥AB，DE⊥AB，进而可得AB⊥平面DAE，再由面面垂直的判定得出结论；
(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．
本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据抛物线定义，点R(-4,m)到焦点的距离等于它到准线的距离，即|-4|+p2=5，解得p=2，∴抛物线方程为y2=-4x，
点R(-4,m)在抛物线上，得m2=(-4)⋅(-4)，∴m=±4．
(2)抛物线方程为：y2=-4x，
当k=0，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，
当k不存在时，与x轴垂直，与抛物线有两个交点，显然成立；
当k≠0时，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，设存在点M(a,0)满足条件，∠AMF=∠BMF即：kAM=-kBM，
即y1x1-a+y2x2-a=0，
整理得：(y1y2+4a)(y1+y2)=0，y=k(x+2)y2=-4x整理得y2+4yk-8=0，
∴y1+y2=-4k，y1y2=-8，
∴(4a-8)(-4k)=0，
∴4a-8=0，解的a=2，
因此存在点M(2,0)满足题意．
【解析】(1)由抛物线性质可知：|-4|+p2=5，解得p值，求出抛物线方程，然后求解m即可．
(2)分类讨论k的取值，当k≠0时，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，设存在点M(a,0)满足条件，由已知得kAM=-KBM，整理得(y1y2+4a)(y1+y2)=0；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得a的值．
本题主要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由椭圆的定义，可知2a=|AF1|+|AF2|=(22)2+1+1=4．
解得a=2．
又b2=a2-(2)2=2．
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1．
(2)设直线l的方程为y=2x+m，
联立椭圆方程，得9x2+8mx+2m2-4=0.△=64m2-72m2+144>0，得-320时，f(x)=ex+m>ex+0，下证ex≥x+1：
令h(x)=ex-x-1；h'(x)=ex-1；
可得：当x>0时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x<0时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
所以h(x)min=h(0)=0，
所以h(x)≥0；即ex≥x+1
而ex+m>ex+0=ex≥x+1，
所以ex+m>x+1，得证．
【解析】(1)表示出F(x)，求导，利用导数的几何意义容易得解；
(2)即证ex≥x+1，构造函数h(x)=ex-x-1，易得证．
本题考查导数的几何意义及利用证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题．