数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

河北省定州中学高三第一学期第二次考试 数学试题 一、选择题 ‎1. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当直线 ‎ 令， ‎ ‎,函数在上为减函数，在上为增函数，当时，取得极小值为，时，，当时，，若存在唯一的整数，使得，即，只需 解得： ，选D.‎ ‎2. 如图是函数 图象的一部分，对不同，若，有，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数 图象的一部分，可得，周期为，∴，由，可得函数的图象关于直线对称，故，由五点法作图可得，，∴，结合，可得，∴，故选D.‎ 点睛：本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象特征，属于中档题；由最大值求出，结合图象可得，由五点法作图求得，由，可得的值，从而求得的值.‎ ‎3. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，当时，，函数在上为增函数，，‎ 设，‎ 对任意的，总存在唯一的，使得成立，则 是的不含极值点的单调区间的子集， ，在上递减，在上递增，最小值，，最大值为，‎ ‎①要使得对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的最大值不大于的最大值，解得；‎ ‎②在上递减，在上递增， 的值域为 时，有两个 值与之对应，若只有唯一的，则的最小值要比大，即： ，‎ 综上：的取值范围是，选D.‎ ‎4. 若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x2,函数,则函数在区间［-5，10］内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),说明函数是周期为2的周期函数，且x∈(-1,1］时f(x)=1-x2,画出抛物线的图象，去内的部分，恰好一个周期，在画出前边和后边各个周期的图象，再函数的图象，注意过点，函数在区间［-5，10］内零点的个数就是函数与函数的图象再内的交点个数，共14个.选B.‎ ‎【点睛】函数y=f(x)零点问题有三种理解方式：一、函数y=f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标；二、函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的解；三、函数y=f(x)-g(x)的零点就是函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标；理解了这三种对零点的解释，灵活应用去解决零点问题.‎ ‎5. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. (1，＋∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先，其次， ，又时， ，则的取值范围是.选D.‎ ‎6. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,=， ， ， ‎ 中恰含有一个整数，所以 ，‎ 即 ， ，即.‎ 若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是.‎ ‎7. 定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时， ,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对恒成立，所以，选C.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎8. 已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，方程无解；当时，，方程，即至多一解；当时，，当时方程，即必有一解；当时方程，因此有三个不同的实数解，选C.‎ ‎9. 已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出函数的图象如图所示，的对称轴为，若原方程有个不同的根，则在内有且仅有个值，由对称轴可知，另外一个根，在内，即方程，在内各有一个根，，故选A.‎ ‎【方法点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组），再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ ‎10. 已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得mx2=+3，‎ ‎∵x≠0，∴方程等价为，‎ 设f（x）=，则函数f（x）是偶函数，‎ 当x＞0时，f（x）=，‎ 则f′（x）=，‎ 由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x＞，此时函数单调递减，‎ 即当x＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值f（）==，‎ 作出函数f（x）的图象如图：‎ 要使，有4个不同的解，即y=与f（x）=有四个不同的交点，‎ 则满足0＜＜，‎ 故答案为：‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解．‎ ‎11. 已知满足，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件画出可行域，如下图。目标函数变形为y=x-z，所以直线的截距为-z,由图可知当直线过点C（-1,0）时截距最大，z取最小值-1，当直线与圆相切时，截距最小，z取最大值。选D.‎ ‎【点睛】线性规划或规划问题一定要根据约束条件画出正确的可行域，再由几何意义求得最优解，一定不能用偷懒的办法认为最优解一定在交点（端点）处。‎ ‎12. 定义在上的函数满足，当时， ，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的周期为， 当时， 时， ，故函数在上是增函数， 时， ，故函数在上是减函数，且关于 轴对称，又定义在上的满 足，故函数的周期是，所以函数在上是增函数，在上是减函数，且关于 轴对称，观察四个选项选项中 ，，故选A.‎ 二、填空题 ‎13. 已知点在正方体的对角线上， ，则与所成角的大小为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】以D点为原点，以DA,DC，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，，连接，在平面中，延长DP交于点H,设，由，可得，‎ ‎，填。‎ ‎【点睛】本题选择设H点，比设P点简化了运算，是处理设点的一种技巧。‎ ‎14. 已知椭圆： ，双曲线： ，以的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与轴正半轴交于点， 为椭圆右焦点， 为椭圆右顶点， 为直线与轴的交点，且满足是与的等差数列，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题，，由正六边形得．于是，可 得．当所成二面角为时，设双曲线左顶点为，则，设双曲线左焦点为，则，所以．‎ ‎15. 已知椭圆： ，双曲线： ，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点， 为椭圆右焦点， 为椭圆右顶点， 为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题，，由正六边形得．于是，可得．当所成二面角为时，设双曲线左顶点为，则，设双曲线左焦点为，则，所以．‎ ‎16. 设的最小值为___________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，∴，∵，∴ ，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上， 为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点， 为等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于两个独立条件：，，解方程组可得，（2）设直线的方程为，，将条件用坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得．因为，所以利用韦达定理计算．最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域.‎ 试题解析：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得， ‎ 从而得到，故而椭圆经过， ‎ 代入椭圆方程得，解得， ‎ 所求的椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意，设直线的方程为，‎ ‎，‎ 由得，‎ 则 ‎ ‎．‎ ‎∵，∴，解得． ‎ 由消得．‎ 设，‎ ‎，，‎ 则 ‎． ‎ 设，则，其中， ‎ ‎∵关于在上为减函数， ‎ ‎∴，即的面积的取值范围为．‎ ‎18. 设函数，‎ ‎（I）当时，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的范围；‎ ‎（III）证明不等式.‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由导函数研究函数的单调性可得；‎ ‎(Ⅱ)利用题意讨论函数的单调性，结合函数零点存在定理可得实数的范围是；‎ ‎(Ⅲ)设函数结合函数的性质构造新函数，综合(Ⅰ)(Ⅱ)的结论即可证得题意不等式的结论.‎ 试题解析：‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎（II）‎ 若上递增，且，所以在 上没有零点 若 ‎ 所以 ‎ 当时，极值点，又，在无零点 当时，极值点 ‎，在上递减， ‎ ‎，在上递增 所以，所以在上有零点 所以，的取值范围是 .‎ ‎（III）证明：设函数 ‎(1)当，在上递减 ‎(2)当时，设 ‎ 即当时，，在上递增，‎ 由（1）（2）知，‎ 即.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎19. 设函数，函数 ‎ ‎（1）当时，解关于的不等式： ；‎ ‎（2）若且，已知函数有两个零点和，若点， ，其中是坐标原点，证明： 与不可能垂直.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：代入b=1列出所要解的不等式，分解因式化为（ax-2）(x-1)<0，由于所等式含参，所以针对参数a进行分类讨论，求出解集；s和t为函数的零点就是二次方程 的两个根，根据根与系数的关系，写出s,t与系数a,b的关系，假设OA与OB垂直，利用数量积为0，得出g(s)g(t)=-1,把根与系数关系中的s+t及st代入，利用基本不等式会产生矛盾，说明与不可能垂直.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，由有，即，当时，有，解得： 当时， ，解得： 或，当时， ，所以 当时， ，解得： 当时， ，此时无解 当时， ，解得： ，综上： 当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： .‎ ‎（2）时， 由为的两根可得， ， ‎ 假设，即，故，即，所以从而有 ，即 ‎ 故即，这与矛盾.故与不可能垂直. ‎ ‎20. 设函数， .‎ ‎(1)当 (为自然对数的底数)时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)讨论函数的零点的个数；‎ ‎(3)若对任意， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I) ；(II)详见解析；（III）。‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，，由此利用导数性质能求出的极小值；（2）由，得，令，则 ‎，，由此利用导数性质能求出函数零点的个数；（3）当时，在上恒成立，由此能求出的取值范围.‎ 试题解析：(1)当时，，所以， ，切点坐标为所以曲线在点处的切线方程为. ‎ ‎(2)因为函数令，得，设所以，当时，，此时在上为增函数；当时，，此时在上为减函数，所以当时，取极大值，‎ 令，即，解得或，由函数的图像知：‎ 当时，函数和函数无交点；‎ ‚当时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ ƒ当时，函数和函数有两个交点；‎ ‎④当时，函数和函数有且仅有一个交点。‎ 综上所述，当时，函数无零点；‎ 当或时，函数有且仅有一个零点 当时，函数有两个零点 ‎（3）对任意恒成立，等价于恒成立，设则在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为，所以，当且仅当时，，‎ 所以实数的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎