2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二上学期期末考试数学理试题 ‎（命题人: 孙宏伟 审核人:刘江泉 分值:150 时间：120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎ 2.将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎ 3.考试结束后，将答题卡交回。‎ ‎（Ⅰ）卷 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 已知直线，则是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2．下列命题中，说法正确的是（ ）‎ A．命题“使得”的否定是：“均有”‎ B.命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ C．若为真命题，则也为真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 ‎3.已知点，若则点C的坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知若三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）。‎ A. 0 B. C.9 D.‎ ‎5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 ‎6.已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为(　　)‎ A.5x2 - =1 B. - =1 C. - =1 D.5x2 - =1‎ ‎7. 椭圆上的点到直线的最大距离为( )．‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知抛物线方程为，则经过它的焦点的弦的中点轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为( )‎ A. 75° 　　 B. 60° 　　 C. 45° 　　 D. 30°‎ ‎10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. D1‎ A B C D A1‎ C1‎ B1‎ P ‎11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) ‎ A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎12若椭圆和椭圆的焦点相同且．给出如下四个结论：‎ ‎①椭圆与椭圆一定没有公共点 ②‎ ‎③ ④ ‎ 其中所有正确结论的序号是（ ） ‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D.②③④ ‎ ‎（Ⅱ）卷 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若﹁p是﹁q的充分不必要条件,则a的取值范围为　　　　. ‎ ‎14.过双曲线x2- =1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于　　　　.‎ ‎15.椭圆Γ: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　. ‎ ‎16．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分）‎ 17. ‎(10分） 已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:函数y=且y>1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=,=.‎ ‎(1)求与的夹角的余弦值; (2)若与k-2互相垂直,求实数k的值.‎ ‎19.(12分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.‎ ‎20.(12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.‎ ‎　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　图2‎ ‎(1)证明:CD⊥平面A1OC;]‎ ‎(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.‎ ‎21.(12分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;‎ ‎(2)如果·=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点.‎ ‎22.(12分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 数学答案 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ B ‎ C ‎ B ‎ D ‎ C ‎ D ‎ D ‎ B ‎ B ‎ A ‎ ‎ D ‎ B 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. [-1,6] 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分）‎ ‎17.解:若p是真命题,则01恒成立, 即y的最小值大于1,而y的最小值为2a,只需2a>1,所以a>, 所以q为真命题时,a>.‎ 又因为p∨q为真,p∧q为假,‎ 所以p与q一真一假,‎ 若p真q假, 则0===-,‎ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.‎ ‎(2)　因为ka+b=(k-1,k,2). ka-2b=(k+2,k,-4),‎ 且ka+b与ka-2b互相垂直,‎ 所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,‎ 所以k=2或k=-,‎ 所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.‎ ‎19. 解:(1)交线围成的正方形EHGF如图: ‎ ‎(2)作EM⊥AB,垂足为M,‎ 则AM=A1E=4,EM=AA1=8. ‎ 因为EHGF为正方形,‎ 所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10. 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).‎ 设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量, 则即 所以可取n=(0,4,3).‎ 又=(-10,4,8),‎ 故|cos|==.‎ 所以AF与平面α所成角的正弦值为.‎ ‎20. (1)证明:在题图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,‎ 所以BE⊥AC,BE∥CD,‎ 即在题图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,‎ 从而BE⊥平面A1OC,‎ 又CD∥BE,‎ 所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)解:因为平面A1BE⊥平面BCDE,‎ 又由(1)知BE⊥OA1,BE⊥OC,‎ 所以∠A1OC为二面角A1BEC的平面角,‎ 所以∠A1OC=.‎ 如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,‎ 因为A1B=A1E=BC=ED=1,‎ BC∥ED,‎ 所以B ‎,0,0,E-,0,0,‎ A10,0,,C0,,0,‎ 得=-,,0,=0,,-,‎ ‎==(-,0,0).‎ 设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为θ,‎ 则 得 取n1=(1,1,1);‎ 得 取n2=(0,1,1),‎ 从而cos θ=|cos|==,‎ 即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.‎ ‎21解:(1)由题意,抛物线焦点坐标为(1,0),‎ 设l:x=ty+1, 代入抛物线y2=4x, 消去x得y2-4ty-4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4t, y1y2=-4,‎ 所以·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.‎ ‎(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x, 消去x得y2-4ty-4b=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,‎ 所以·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2‎ ‎=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.‎ 令b2-4b=-4, 所以b2-4b+4=0, 所以b=2,‎ 所以直线l过定点(2,0).所以若·=-4,则直线l必过一定点(2,0).‎ ‎22解:(1)由题意知m≠0,‎ 可设直线AB的方程为y=-x+b.‎ 由 消去y,得+x2-x+b2-1=0.‎ 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点, 所以Δ=-2b2+2+>0,①‎ 将线段AB中点M,代入直线方程y=mx+,解得b=-.②‎ 由①②得m<-或m>.‎ ‎(2)令t=∈-,0∪0,,‎ 则|AB|=·,‎ 且O到直线AB的距离为d=.‎ 设△AOB的面积为S(t),‎ 所以S(t)=|AB|·d=≤.‎ 当且仅当t2=时,等号成立.‎ 故△AOB面积的最大值为.‎