2018届二轮复习高考中的三角函数与平面向量问题课件（江苏通用）

2018届二轮复习高考中的三角函数与平面向量问题课件（江苏通用）

高考专题突破二 高考 中的 三角函数 与平面 向量 问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2016· 江苏镇江中学质检 ) 已知函数 y ＝ 2sin ωx ( ω >0) 在 上 的最大值 为 ， 则 ω 的值是 ____. 答案 解析 由题意 得 ， 即 T >π ， 从而 > π ， 1 即 0< ω <2 ，故函数在 x ＝ 时 取得最大值， 解得 ω ＝ 1. 2. 在 △ ABC 中， AC ·cos A ＝ 3 BC ·cos B ，且 cos C ＝ ， 则 A ＝ _____. 答案 解析 由题意及正弦定理得 sin B cos A ＝ 3sin A cos B ， 45° ∴ tan B ＝ 3tan A ， ∴ 0° ＜ A <90° ， 0°< B ＜ 90° ，又 cos C ＝ ， 故 sin C ＝ ， ∴ tan C ＝ 2 ，而 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ， ∴ tan( A ＋ B ) ＝－ tan C ＝－ 2 ， 即 ＝－ 2 ， 将 tan B ＝ 3tan A 代入， 得 ＝－ 2 ， ∴ tan A ＝ 1 或 tan A ＝ ， 而 0° ＜ A ＜ 90° ，则 A ＝ 45°. 3. 在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点， 则 ＝ ____. 答案 解析 将 △ ABC 的各边均赋予向量， 10 4.(2016· 天津改编 ) 已知 △ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ， E 分别 是边 AB ， BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2 EF ， 则 的 值 为 ____. 答案 解析 如图所示， 又 D ， E 分别为 AB ， BC 的中点 ， 且 DE ＝ 2 EF ， 5.( 2017· 江苏如东中学月考 ) 若函数 f ( x ) ＝ sin( ω π x － ) ( ω >0) 在区间 ( － 1 ， 0 ) 上 有且仅有一条平行于 y 轴的对称轴，则 ω 的最大值是 ___. 答案 解析 ∴ 当 k ＝－ 1 时，得 y 轴左侧第 1 条对称轴 为 ； 当 k ＝－ 2 时，得 y 轴左侧第 2 条对称轴 为 ， 题型分类　深度剖析 题型一　三角函数的图象和性质 例 1 　 已知函数 f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ ) ＋ sin( ωx － ) － 2cos 2 ， x ∈ R ( 其中 ω >0). (1) 求函数 f ( x ) 的值域； 解答 由－ 1 ≤ sin( ωx － ) ≤ 1 ，得－ 3 ≤ 2sin( ωx － ) － 1 ≤ 1 ， 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ － 3 ， 1 ]. (2) 若函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝－ 1 的两个相邻交点间的距离均 为 ， 求函数 y ＝ f ( x ) 的单调增区间 . 解答 由题设条件及三角函数图象和性质可知， y ＝ f ( x ) 的周期为 π ， 所以 ＝ π ，即 ω ＝ 2. 所以 f ( x ) ＝ 2sin(2 x － ) － 1 ， 所以函数 y ＝ f ( x ) 的单调增区间为 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ k 的形式，然后将 t ＝ ωx ＋ φ 视为一个整体，结合 y ＝ sin t 的图象求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　已知函数 f ( x ) ＝ 5sin x cos x － ( 其中 x ∈ R ) ，求： (1) 函数 f ( x ) 的最小正周期； 解答 所以函数的周期 T ＝ ＝ π. (2) 函数 f ( x ) 的单调区间； 解答 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 (3) 函数 f ( x ) 图象的对称轴和对称中心 . 解答 所以函数 f ( x ) 的对称轴方程为 所以函数 f ( x ) 的对称中心为 ( ， 0)( k ∈ Z ). 题型二　解三角形 例 2 　 (2016· 苏北四市期中 ) 在 △ ABC 中，已知角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 tan B ＝ 2 ， tan C ＝ 3. (1) 求角 A 的大小； 解答 因为 tan B ＝ 2 ， tan C ＝ 3 ， A ＋ B ＋ C ＝ π ， 所以 tan A ＝ tan [ π － ( B ＋ C ) ] ＝－ tan( B ＋ C ) 又 A ∈ (0 ， π) ，所以 A ＝ . (2) 若 c ＝ 3 ，求 b 的长 . 解答 因为 tan B ＝ ＝ 2 ，且 sin 2 B ＋ cos 2 B ＝ 1 ， 又 B ∈ (0 ， π) ，所以 sin B ＝ ， 同理可得， sin C ＝ . 由正弦定理得 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (2016 · 无锡 期中 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 b sin A ＝ . (1) 求角 B 的值； 解答 因为 ， 所以 b sin A ＝ a sin B ， (2) 若 cos A sin C ＝ ， 求角 A 的值 . 解答 因为 cos A sin C ＝ ， 题型三　三角函数和平面向量的综合应用 例 3 　 已知向量 a ＝ (cos x ， sin x ) ， b ＝ ( － cos x ， cos x ) ， c ＝ ( － 1,0). (1) 若 x ＝ ， 求向量 a 与 c 的夹角； 解答 设 a 与 c 的夹角为 θ ， (2) 当 x ∈ [ ] 时，求函数 f ( x ) ＝ 2 a·b ＋ 1 的最大值，并求此时 x 的值 . 解答 f ( x ) ＝ 2 a·b ＋ 1 ＝ 2( － cos 2 x ＋ sin x cos x ) ＋ 1 ＝ 2sin x cos x － (2cos 2 x － 1 ) ＝ sin 2 x － cos 2 x (1) 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题 . (2) 三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响 . 思维 升华 跟踪训练 3 　在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a > c . 已知 ＝ 2 ， cos B ＝ ， b ＝ 3 ，求： (1) a 和 c 的值； 解答 由 ＝ 2 ，得 c · a cos B ＝ 2. 又 cos B ＝ ， 所以 ac ＝ 6. 由余弦定理，得 a 2 ＋ c 2 ＝ b 2 ＋ 2 ac cos B . 又 b ＝ 3 ，所以 a 2 ＋ c 2 ＝ 9 ＋ 2 × 2 ＝ 13. 解 得 a ＝ 2 ， c ＝ 3 或 a ＝ 3 ， c ＝ 2. 因为 a > c ，所以 a ＝ 3 ， c ＝ 2. (2)cos( B － C ) 的值 . 解答 因为 a ＝ b > c ，所以 C 为锐角， 于是 cos( B － C ) ＝ cos B cos C ＋ sin B sin C 课时作业 1. 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( x ＋ ) ， x ∈ R ， 且 . (1) 求 A 的值； 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2.(2016· 山东 ) 设 f ( x ) ＝ sin(π － x )sin x － (sin x － cos x ) 2 . (1) 求 f ( x ) 的单调递增区间； 解答 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 1 2 3 4 5 (2) 把 y ＝ f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再把得到的图象向 左平移 个 单位，得到函数 y ＝ g ( x ) 的图象， 求 的 值 . 解答 由 (1) 知 f ( x ) ＝ 把 y ＝ f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ). 得到 y ＝ － 1 的图象 . 再把得到的图象向 左平移 个 单位，得到 y ＝ 2sin x ＋ － 1 的图象， 即 g ( x ) ＝ 2sin x ＋ － 1. 1 2 3 4 5 3.(2016· 江苏南京学情调研 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于点 A ， B . 若点 A 的横坐标 是 ， 点 B 的纵坐标 是 . (1) 求 cos( α － β ) 的值 ； 解答 1 2 3 4 5 因为锐角 α 的终边与单位圆交于点 A ，且点 A 的横坐标 是 ， 所以，由任意角的三角函数的定义可知， cos α ＝ ， 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B ，且点 B 的纵坐标 是 ， cos( α － β ) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β 1 2 3 4 5 (2) 求 α ＋ β 的值 . 解答 sin( α ＋ β ) ＝ sin α cos β ＋ cos α sin β 因为 α 为锐角， β 为钝角，故 α ＋ β ∈ ( ) ， 所以 α ＋ β ＝ . 1 2 3 4 5 4.(2016· 江苏仪征中学期初测试 ) 设函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， ω >0 ， ， x ∈ R ) 的部分图象如图所示 . (1) 求函数 y ＝ f ( x ) 的解析式 ； 解答 1 2 3 4 5 由图象知， A ＝ 2 ， 所以 T ＝ 2π ＝ ， 得 ω ＝ 1. 所以 f ( x ) ＝ 2sin( x ＋ φ ) ，将点 ( ， 2) 代入， 得 ＋ φ ＝ ＋ 2 k π( k ∈ Z ) ， 所以 f ( x ) ＝ 2sin( x ＋ ). 1 2 3 4 5 (2) 当 x ∈ [ ] 时，求 f ( x ) 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 5. 已知向量 a ＝ ( ) ， b ＝ ( ) ，实数 k 为大于零的常数，函数 f ( x ) ＝ a·b ， x ∈ R ，且函数 f ( x ) 的最大值 为 . (1) 求 k 的值； 解答 1 2 3 4 5 由题意，知 f ( x ) ＝ a·b 因为 x ∈ R ，所以 f ( x ) 的最大值 为 ， 则 k ＝ 1. 1 2 3 4 5 (2) 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边，若 < A <π ， f ( A ) ＝ 0 ，且 a ＝ ，求 的最小值 . 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5