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文档介绍
数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二上学期第一次月考数学试卷(理科) (解析版)
2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二(上)第一次月考数学试卷(理科) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.数列1,﹣3,5,﹣7,9,…的一个通项公式为( ) A.an=2n﹣1 B.an=(﹣1)n(1﹣2n) C.an=(﹣1)n(2n﹣1) D.an=(﹣1)n(2n+1) 2.若△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC=( ) A. B. C. D. 3.设数列{an}是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则a1=( ) A.1 B.2 C.±2 D.4 4.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若b7•b8=3,则log3b1+log3b2+…+log3b14等于( ) A.5 B.6 C.8 D.7 5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=60° B.a=6,c=5,B=60° C.a=7,b=5,A=60° D.a=14,b=16,A=45° 6.在△ABC中,若acosB=bcosA,则△ABC的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为( ) A. m B. m C. m D. m 8.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则( ) A. B. C. D. 9.已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根,则a2007+a2008的值是( ) A.18 B.19 C.20 D.21 10.已知数列{an},a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x﹣y+1=0上,则=( ) A. B. C. D. 11.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,a3,a5,a6成等差数列,则=( ) A. B. C. D. 12.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an=( ) A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an﹣3,则数列{an}的通项公式是 . 14.△ABC中,a、b、c成等差数列,∠B=30°,S△ABC=,那么b= . 15.等差数列{an} 共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为 . 16.在等差数列{an} 中,Sn是它的前n项的和,若a1>0,S16>0,S17<0,则当n= 时,Sn最大. 三、解答题:(本大题分6小题共70分) 17.在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,求A、C及c. 18.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,. (1)若△ABC的面积等于,求a,b; (2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积. 19.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*. (1)令bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 20.已知数列{an}的前n项和为 (1)求数列{an}的通项公式,并判断{an}是不是等差数列,如果是求出公差,如果不是说明理由 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 21.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知a3=5,S9=81, ①求数列{an}的通项公式; ②设bn=,证明{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn. ③设cn=an•bn,求数列{cn} 的前n项的和Mn. 22.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n∈N+,都有8Sn=(an+2)2. (1)写出数列{an}的前3项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有n∈N+都成立的最小正整数m的值. 2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二(上)第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.数列1,﹣3,5,﹣7,9,…的一个通项公式为( ) A.an=2n﹣1 B.an=(﹣1)n(1﹣2n) C.an=(﹣1)n(2n﹣1) D.an=(﹣1)n(2n+1) 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】首先注意到数列的奇数项为正,偶数项为负,其次数列各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列,从而易求出其通项公式. 【解答】解:∵数列{an}各项值为1,﹣3,5,﹣7,9,… ∴各项绝对值构成一个以1为首项,以2为公差的等差数列, ∴|an|=2n﹣1 又∵数列的奇数项为正,偶数项为负, ∴an=(﹣1)n+1(2n﹣1)=(﹣1)n(1﹣2n). 故选B. 2.若△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC=( ) A. B. C. D. 【考点】余弦定理. 【分析】通过正弦定理求出,a:b:c=2:3:4,设出a,b,c,利用余弦定理直接求出cosC即可. 【解答】解:因为sinA:sinB:sinC=2:3:4 所以a:b:c=2:3:4,设a=2k,b=3k,c=4k 由余弦定理可知: cosC===﹣. 故选A. 3.设数列{an}是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则a1=( ) A.1 B.2 C.±2 D.4 【考点】等差数列的性质. 【分析】依题意,设其公差为d,则d>0;利用等差数列的性质易知a2=4,由4(4﹣d)(4+d)=48可求得d,从而可得答案. 【解答】解:∵数列{an}是单调递增的等差数列,前三项的和为12, ∴3a2=12,解得a2=4,设其公差为d,则d>0. ∴a1=4﹣d,a3=4+d, ∵前三项的积为48, ∴4(4﹣d)(4+d)=48, 解得d=2或d=﹣2(舍去), ∴a1=4﹣2=2, 故选:B. 4.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若b7•b8=3,则log3b1+log3b2+…+log3b14等于( ) A.5 B.6 C.8 D.7 【考点】数列与函数的综合. 【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3,代入log3b1+log3b2+…+log3b14,根据对数的运算法则即可求的答案. 【解答】解:∵数列{bn}为等比数列 ∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3, ∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3(b1b14b2b13…b7•b8)=log337=7 故选D. 5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=60° B.a=6,c=5,B=60° C.a=7,b=5,A=60° D.a=14,b=16,A=45° 【考点】解三角形. 【分析】原式各项利用正弦定理或余弦定理,利用三角形的三边关系判断即可得到结果. 【解答】解:A.B=75°,由正弦定理可得,∴a唯一; B.利用余弦定理可得,有唯一解; C.由正弦定理可得,∴sinB=,∵B<A,∴有唯一解; D.由正弦定理可知,有两解. 故选:D. 6.在△ABC中,若acosB=bcosA,则△ABC的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理的应用. 【分析】应用正弦定理和已知条件可得,进而得到sin(A﹣B)=0,故有A﹣B=0,得到△ABC为等腰三角形. 【解答】解:∵在△ABC中,acosB=bcosA,∴,又由正弦定理可得, ∴,sinAcosB﹣cosAsinB=0,sin(A﹣B)=0. 由﹣π<A﹣B<π 得,A﹣B=0,故△ABC为等腰三角形, 故选D. 7.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为( ) A. m B. m C. m D. m 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系,由tan60°= 求出BE值,从而得到塔高x的值. 【解答】解:如图所示:设山高为AB,塔高为CD为 x,且ABEC为矩形,由题意得 tan30°===,∴BE=. tan60°==,∴BE=, ∴=,x=(m), 故选A. 8.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则( ) A. B. C. D. 【考点】等差数列的性质. 【分析】根据等差数列的性质知,求两个数列的第五项之比,可以先写出两个数列的前9项之和之比,代入数据做出比值. 【解答】解:∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn, , ==== 故选D. 9.已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根,则a2007+a2008的值是( ) A.18 B.19 C.20 D.21 【考点】等比数列的性质. 【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a2005+a2006=﹣=2和a2005•a2006=;再把所得结论用a2005和q表示出来,求出q;最后把所求问题也用a2005和q表示出来即可的出结论. 【解答】解:设等比数列的公比为q. 因为a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根 所以a2005+a2006=﹣=2,a2005•a2006=. ∴a2005(1+q)=2 ① a2005•a2005•q=② ∴==, 又因为q>1,所以解得q=3. ∴a2007+a2008=a2005•q2+a2005•q3 =a2005•(1+q)•q2=2×32=18. 故选A. 10.已知数列{an},a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x﹣y+1=0上,则=( ) A. B. C. D. 【考点】数列的求和. 【分析】由“P(an,an+1)(n∈N*)在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型,再求其通项,求其前n项和,进而得到新数列的规律,选择合适的方法求新数列的和. 【解答】解:∵点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x﹣y+1=0上 ∴an﹣an+1+1=0 ∴数列{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列. ∴an=n ∴ ∴= = 故选C 11.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,a3,a5,a6成等差数列,则=( ) A. B. C. D. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由等差数列中项的性质,结合等比数列通项公式,解得公比,再由通项公式即可得到所求值. 【解答】解:各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,a3,a5,a6成等差数列, 可得2a5=a3+a6, 即2a1q4=a1q2+a1q5, 即有q3﹣2q2+1=0, (q﹣1)(q2﹣q﹣1)=0, 解得q=1(舍去)或q=或q=(舍去), 则===. 故选:B. 12.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an=( ) A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 ,用迭代法整理出结果,约分后选出正确选项. 【解答】解:∵, , … ∴ = 故选:A. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an﹣3,则数列{an}的通项公式是 ﹣2•3n . 【考点】数列递推式. 【分析】根据数列的前n项和通项公式之间的关系,即可得到结论. 【解答】解:∵Sn=an﹣3, ∴当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣3﹣an﹣1+3=an﹣an﹣1, 即an=3an﹣1, 则数列{an}是公比q=3的等比数列, 当n=1时,a1=a1﹣3,解得a1=﹣6, 则数列{an}的通项公式为an=﹣6×3n﹣1=﹣2•3n. 故答案为:﹣2•3n 14.△ABC中,a、b、c成等差数列,∠B=30°,S△ABC=,那么b= . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由三边成等差数列得2b=a+c,两边平方待用,由三角形面积用正弦定理得到ac=6,用余弦定理写出b2的表示式,代入前面得到的两个等式,题目变化为关于b2方程,解出变量开方即得. 【解答】解:∵a、b、c成等差数列, ∴2b=a+c, ∴4b2=a2+c2+2ac,① ∵S△ABC=, ∴ac=6② ∵b2=a2+c2﹣2accosB③ 由①②③得, ∴. 故答案为:. 15.等差数列{an} 共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为 29 . 【考点】等差数列的性质. 【分析】利用奇数项与偶数项的差为a(2n+1)﹣nd,从而可求. 【解答】解:设数列公差为d,首项为a1 奇数项共n+1项:a1,a3,a5,…,a(2n+1),令其和为Sn=319 偶数项共n项:a2,a4,a6,…,a2n,令其和为Tn=290 有Sn﹣Tn=a(2n+1)﹣{(a2﹣a1)+(a4﹣a3)+…+[a(2n)﹣a(2n﹣1)]}=a(2n+1)﹣nd=319﹣290=29 有a(2n+1)=a1+(2n+1﹣1)d=a1+2nd,则a(2n+1)﹣nd=a1+nd=29 数列中间项为a(n+1)=a1+(n+1﹣1)d=a1+nd=29. 故答案为:29 16.在等差数列{an} 中,Sn是它的前n项的和,若a1>0,S16>0,S17<0,则当n= 8 时,Sn最大. 【考点】等差数列的性质;数列的函数特性. 【分析】根据所给的等差数列的S16>0且S17<0,根据等差数列的前n项和公式,看出第九项小于0,第八项和第九项的和大于0,得到第八项大于0,这样前8项的和最大. 【解答】解:∵等差数列{an}中,S16>0且S17<0 ∴a8+a9>0,并且a9<0, ∴a8>0, ∴数列的前8项和最大 故答案为8. 三、解答题:(本大题分6小题共70分) 17.在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,求A、C及c. 【考点】正弦定理. 【分析】根据正弦定理和已知条件求得sinA的值,进而求得A,再根据三角形内角和求得C,最后利用正弦定理求得c. 【解答】解:根据正弦定理,sinA===. ∵B=45°<90°,且b<a,∴A=60°或120°. 当A=60°时,C=75°,c===; 当A=120°时,C=15°,c===. 18.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,. (1)若△ABC的面积等于,求a,b; (2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积. 【考点】解三角形;三角形中的几何计算. 【分析】(1)由c及cosC的值,利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4,再由已知三角形的面积及sinC的值,利用三角形的面积公式得出ab的值,与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组,求出方程组的解即可求出a与b的值; (2)利用正弦定理化简sinB=2sinA,得到b=2a,与(1)得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组,求出方程组的解得到a与b的值,再由sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积. 【解答】解:(1)∵c=2,cosC=, ∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得:a2+b2﹣ab=4, 又△ABC的面积等于,sinC=, ∴, 整理得:ab=4, 联立方程组, 解得a=2,b=2; (2)由正弦定理,把sinB=2sinA化为b=2a, 联立方程组, 解得:,, 又sinC=, 则△ABC的面积. 19.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*. (1)令bn=an+1﹣an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 【考点】等比关系的确定;数列递推式. 【分析】(1)先令n=1求出b1,然后当n≥2时,求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项,为公比的等比数列得证; (2)由(1)找出bn的通项公式,当n≥2时,利用an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)++(an﹣an﹣1)代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项,然后n=1检验也符合,所以n∈N,an都成立. 【解答】解:(1)证b1=a2﹣a1=1, 当n≥2时, 所以{bn}是以1为首项,为公比的等比数列. (2)解由(1)知, 当n≥2时,an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)++(an﹣an﹣1)=1+1+(﹣)+…+ ==1+ [1﹣(﹣)n﹣1]=, 当n=1时,. 所以. 20.已知数列{an}的前n项和为 (1)求数列{an}的通项公式,并判断{an}是不是等差数列,如果是求出公差,如果不是说明理由 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 【考点】数列的求和. 【分析】(1)n=1时,a1=S1=﹣6,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣8,故通项公式an=2n﹣8,根据等差数列的定义即可判断该数列是等差数列,且公差d=2; (2)由an=2n﹣8≥0,得n≥4,故数列{an}前三项为负项,从第四项起为非负项,对n分类讨论,利用等差数列的前n项和公式即可得Tn. 【解答】解:(1)n=1时,a1=S1=﹣6, n≥2时,, an=Sn﹣Sn﹣1=(n2﹣7n)﹣(n2﹣9n+8)=2n﹣8, a1=﹣6也符合上式 故an=2n﹣8,n∈N+ ∵n≥2时,an﹣an﹣1=(2n﹣8)﹣(2n﹣10)=2 ∴{an}是等差数列,公差d=2. (2)由an=2n﹣8≥0,得n≥4,故数列{an}前三项为负项,从第四项起为非负项. n≤3时,Tn=﹣Sn=﹣n2+7n, n≥4时,Tn=﹣(a1+a2+a3)+(a4+…+an)=﹣S3+(Sn﹣S3)=n2﹣7n+24 故. 21.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知a3=5,S9=81, ①求数列{an}的通项公式; ②设bn=,证明{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn. ③设cn=an•bn,求数列{cn} 的前n项的和Mn. 【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 【分析】①由等差数列中,a3=5,S9=81,利用通项公式和前n项和公式列出方程组,求出a1=1,d=2,由此能求出an=2n﹣1. ②由bn=,知bn=22n﹣1=,由此能够证明{bn}是以2为首项,以4为公比的等比数列.并能求出其前n项和Tn. ③由cn=an•bn=(2n﹣1),知Mn=(2﹣1)+(2ו+(2×3﹣1)+…++(2n﹣1)×4n,由错位相减法能够求出数列{cn} 的前n项的和Mn. 【解答】解:①∵等差数列,a3=5,S9=81, ∴, 解得a1=1,d=2, ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. ②∵bn=, ∴bn=22n﹣1=, ,, , ∴{bn}是以2为首项,以4为公比的等比数列. Tn==. ③∵cn=an•bn=(2n﹣1), ∴Mn=(2﹣1)+(2ו+(2×3﹣1)+…++(2n﹣1)×4n, ++…++(2n﹣1)×4n+1, ∴4n+1 =2+﹣(2n﹣1) =2+, ∴. 22.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n∈N+,都有8Sn=(an+2)2. (1)写出数列{an}的前3项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有n∈N+都成立的最小正整数m的值. 【考点】数列与不等式的综合. 【分析】(1)在8Sn=(an+2)2中,令n=1求a1,令n=2,求a2,l令n=3,可求a3. (2))根据Sn与an的固有关系an= ,得an2﹣an﹣12﹣4an﹣4an﹣1=0,化简整理可证. (3)把(2)题中an的递推关系式代入bn,根据裂项相消法求得Tn,最后解得使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 【解答】解:(1)n=1时 8a1=(a1+2)2∴a1=2 n=2时 8(a1+a2)=(a2+2)2∴a2=6 n=3时 8(a1+a2+a3)=(a3+2)2∴a3=10 (2)∵8Sn=(an+2)2∴8Sn﹣1=(an﹣1+2)2(n>1) 两式相减得:8an=(an+2)2﹣(an﹣1+2)2即an2﹣an﹣12﹣4an﹣4an﹣1=0 也即(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣4)=0 ∵an>0∴an﹣an﹣1=4即{an}是首项为2,公差为4的等差数列 ∴an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2 (3) ∴=… ∵对所有n∈N+都成立∴即m≥10 故m的最小值是10. 2017年1月20日查看更多